20년 1회차

O점에 작용하는 힘의 합력 크기는 5 kN이다.

P3은 x축에서 120°, P5는 x축 아래 60° 방향이라 서로 정반대이고 크기가 같아 상쇄된다.

남은 힘의 성분: $\Sigma F_x=9-6=3\ \mathrm{kN}$, $\Sigma F_y=4\ \mathrm{kN}$
$R=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{kN}$

• 2는 수평 성분이나 수직 성분과도 맞지 않는 값이다.
• 3은 수평 성분만 취한 값이다.
• 4는 수직 성분만 취한 값이다.

도심까지의 거리는 4.0h이다.

단면을 상부 플랜지(5b×h)와 세로 웨브(b×5h)로 나눈다. 두 면적은 모두 $5bh$로 같다.

플랜지 도심 $5.5h$, 웨브 도심 $2.5h$
$y_0=\dfrac{5bh\times5.5h+5bh\times2.5h}{10bh}=\dfrac{5.5h+2.5h}{2}=4.0h$

면적이 같으므로 도심은 두 부분 도심의 중점에 놓인다.

• 3.6h와 3.8h는 플랜지 쪽 면적을 실제보다 작게 본 값이다.
• 4.2h는 플랜지 쪽으로 과하게 치우친 값이다.

x-x축에 대한 회전 반지름은 √15/3 cm이다.

x축은 도형의 밑변이므로 밑변 기준 공식 $I=\dfrac{bh^3}{3}$을 쓰고 구멍을 뺀다.

$I_x=\dfrac{2\times2^3}{3}-\dfrac{1\times1^3}{3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3}=5\ \mathrm{cm^4}$
$A=2\times2-1\times1=3\ \mathrm{cm^2}$
$r=\sqrt{\dfrac{I_x}{A}}=\sqrt{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\ \mathrm{cm}$

• 2√3/3은 구멍이 없는 정사각형의 값이다.
• √13/3은 단면2차모멘트나 면적 계산이 어긋난 값이다.
• √14/3도 $I_x/A=5/3$과 맞지 않는다.

B점 반력이 0이 되는 하중은 P2 = 20 kN이다.

B의 반력이 0이므로 A점에 대한 모멘트 평형에는 두 하중만 남는다. P1은 A에서 4 m, 위로 향하는 P2는 A에서 12 m 지점에 있다.

$\Sigma M_A=0:\ 60\times4-P_2\times12=0$
$P_2=\dfrac{240}{12}=20\ \mathrm{kN}$

• 25는 P2가 만드는 모멘트가 300이 되어 평형을 만족하지 않는다.
• 30은 팔 길이를 8 m로 잡은 값이다.
• 35는 모멘트 평형을 만족하지 않는다.

상수 C1은 14/81이다.

하중점까지 거리 $a=\dfrac{2L}{3}$, 그 너머 길이 $b=\dfrac{L}{3}$이다. 하중점 이후 구간은 휘지 않고 하중점 처짐각만큼 직선으로 기운다.

$\delta_B=\dfrac{Pa^3}{3EI}+\dfrac{Pa^2}{2EI}\,b$
$=\dfrac{P}{EI}\left(\dfrac{8L^3}{81}+\dfrac{4L^2}{18}\cdot\dfrac{L}{3}\right)=\dfrac{P L^3}{EI}\left(\dfrac{8}{81}+\dfrac{6}{81}\right)=\dfrac{14}{81}\dfrac{PL^3}{EI}$

• 16/81은 처짐각에 의한 추가분을 잘못 계산한 값이다.
• 14/27은 분모 81을 27로 줄인 값으로 크기가 세 배다.
• 16/27은 두 항 모두 맞지 않는다.

부재 CG의 부재력 크기는 10 kN이다.

지점 반력: $R_A=\dfrac{20\times6}{15}=8\ \mathrm{kN}$
CG는 수평 3 m, 수직 4 m인 사재로 길이 5 m이다.

CD·CG·HG를 자르는 단면에서 왼쪽 부분의 수직 평형을 보면 수평 부재 CD·HG는 수직 성분이 없으므로 사재 CG의 수직 성분이 반력과 평형한다.

$F_{CG}\times\dfrac{4}{5}=8\ \Rightarrow\ F_{CG}=10\ \mathrm{kN}$

• 8은 수직 성분만 취한 값이다.
• 12는 오른쪽 지점 반력이다.
• 14는 평형 조건을 만족하지 않는다.

C점의 수평변위는 0.4 mm이다.

양단이 고정되어 있으므로 C점의 변위는 AC 구간의 신장과 BC 구간의 압축이 같다. 두 구간은 병렬 스프링처럼 하중을 나눠 받는다.

$k_{AC}=\dfrac{EA}{L}=\dfrac{50000\times500}{5000}=5000\ \mathrm{N/mm}$
$k_{BC}=\dfrac{200000\times500}{5000}=20000\ \mathrm{N/mm}$
$\delta_C=\dfrac{P}{k_{AC}+k_{BC}}=\dfrac{10000}{25000}=0.4\ \mathrm{mm}$

• 0.2는 강성 합 25000 N/mm로 나눈 값의 절반으로 맞지 않는다.
• 0.5는 BC 구간 하나만 있을 때의 변위다.
• 1.6은 두 구간 강성을 함께 고려한 값과 맞지 않는다(AC 구간 하나만 있어도 2 mm).

상승한 온도는 20℃이다.

양단이 고정되어 열팽창이 완전히 구속되면 열변형률만큼 압축 변형률이 생긴다. 길이는 결과에 영향을 주지 않는다.

$\sigma=E\alpha\Delta T$
$40=200000\times1.0\times10^{-5}\times\Delta T=2\,\Delta T$
$\Delta T=20\ \mathrm{^\circ C}$

• 5는 응력이 10 MPa에 그친다.
• 10은 응력이 20 MPa에 그친다.
• 30은 응력이 60 MPa가 되어 크다.

그림 (b) 기둥의 좌굴하중은 250 kN이다.

단면과 재료가 같으므로 오일러 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$는 유효길이의 제곱에 반비례한다.

(a) 양단 힌지: $KL=1.0\times5=5\ \mathrm{m}$
(b) 일단 고정 타단 자유: $KL=2.0\times3=6\ \mathrm{m}$
$P_b=360\times\dfrac{5^2}{6^2}=250\ \mathrm{kN}$

• 125는 유효길이를 과대하게 잡은 값이다.
• 500은 (b) 기둥의 유효길이를 6 m보다 짧게 본 값이다.
• 720은 (a) 좌굴하중의 두 배로, 유효길이 비 $5^2/6^2$와 맞지 않는다.

지점 A의 모멘트 반력 크기는 9 kN·m이다.

축방향 변형을 무시하면 절점 B는 이동하지 않고 회전만 한다. 내민 부분 BC의 하중이 절점 B에 $9\times3=27\ \mathrm{kN\cdot m}$의 모멘트로 작용한다.

강도: $k_{BA}=\dfrac{4EI}{6}=\dfrac{2EI}{3}$(타단 고정), $k_{BD}=\dfrac{3EI}{9}=\dfrac{EI}{3}$(타단 힌지)
분배: $M_{BA}=27\times\dfrac{2/3}{2/3+1/3}=18\ \mathrm{kN\cdot m}$
전달률 1/2: $M_A=\dfrac{18}{2}=9\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 6은 분배·전달 계산 어느 단계와도 맞지 않는다.
• 12는 분배 모멘트 18의 전달 결과가 아니다.
• 18은 전달률을 빠뜨린 B단 분배 모멘트다.

변형률의 비는 0.25이다.

변형률은 $\varepsilon=\dfrac{P}{EA}$로 길이와 무관하고 단면적에 반비례한다.

지름이 2배이면 단면적은 4배이므로
$\dfrac{\varepsilon_b}{\varepsilon_a}=\dfrac{A_a}{A_b}=\dfrac{1}{4}=0.25$

• 0.5는 길이 2배를 곱해 신장량의 비를 구한 값이다.
• 0.75는 근거가 없는 값이다.
• 1.0은 단면적 변화를 무시한 값이다.

최대 휨모멘트는 16 kN·m이다.

최대 휨모멘트는 전단력이 0인 점에서 생기며, 그 값은 A부터 그 점까지 전단력선도의 면적과 같다.

전단력이 6 m 동안 4에서 −8로 선형 감소하므로 0이 되는 곳은 3 m 지점에서 $6\times\dfrac{4}{12}=2\ \mathrm{m}$ 더 간 곳이다.
$M_{max}=4\times3+\dfrac{1}{2}\times4\times2=12+4=16\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 10은 면적 합과 맞지 않는다.
• 12는 첫 3 m 구간 면적만 더한 값이다.
• 14는 삼각형 면적을 절반으로 잘못 잡은 값이다.

E점의 하중은 P = 3 kN이다.

휨모멘트선도의 기울기는 그 구간의 전단력이고, 집중하중 지점에서 전단력이 하중 크기만큼 급변한다.

DE 구간: $V=\dfrac{16-19}{3}=-1\ \mathrm{kN}$
EB 구간: $V=\dfrac{0-16}{4}=-4\ \mathrm{kN}$
$P=-1-(-4)=3\ \mathrm{kN}$

검산: AC 기울기 5 → CD 3(2 kN 감소) → DE −1(4 kN 감소)로 다른 하중과도 맞는다.

• 2는 C점 하중 크기다.
• 4는 D점 하중 크기이자 EB 구간 전단력이다.
• 5는 A점 반력이다.

최대 집중하중은 3.0 kN이다.

하중점의 휨모멘트: $M=\dfrac{Pab}{L}=\dfrac{P\times2\times4}{6}=\dfrac{4P}{3}$

단면계수: $Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{100\times200^2}{6}=\dfrac{2}{3}\times10^6\ \mathrm{mm^3}$
허용 모멘트: $M=\sigma Z=6\times\dfrac{2}{3}\times10^6=4\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm}=4\ \mathrm{kN\cdot m}$

$\dfrac{4P}{3}=4\ \Rightarrow\ P=3.0\ \mathrm{kN}$로 허용 휨응력 조건이 결정한다.

• 2.7은 하중이 경간 중앙에 있다고 본 값이다.
• 4.5는 하중점 모멘트가 6 kN·m가 되어 허용치를 넘는다.
• 5.0은 휨모멘트가 허용치를 넘는다.

전단탄성계수는 100 GPa이다.

균질 등방성 탄성체에서 탄성계수·전단탄성계수·포아송비는 독립이 아니다.

$G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}=\dfrac{240}{2\times(1+0.2)}=\dfrac{240}{2.4}=100\ \mathrm{GPa}$

• 200은 분모의 2를 빠뜨린 값이다.
• 280은 전단탄성계수가 탄성계수보다 클 수 없다는 관계에 어긋난다.
• 320도 탄성계수 240 GPa보다 커서 성립하지 않는다.

최대 휨모멘트 크기는 80 kN·m로 고정단에서 생긴다.

힌지와 롤러 사이 구간에는 하중이 없으므로 힌지에서 전달되는 힘이 0이다. 따라서 왼쪽 캔틸레버가 10 kN과 50 kN·m 우력을 모두 받는다.

우력 위치(6 m)부터 힌지까지: $M=0$
3~6 m 구간: $|M|=50\ \mathrm{kN\cdot m}$
고정단: $|M_A|=50+10\times3=80\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 60은 우력에 집중하중 모멘트를 일부만 더한 값이다.
• 70은 우력과 집중하중 모멘트의 합과 맞지 않는다.
• 90은 고정단 모멘트를 과대하게 잡은 값이다.

상수 C1은 1/48이다.

내민 부분 BC에는 하중이 없으므로 휘지 않고 B점 처짐각만큼 직선으로 기운다.

단순보 등분포하중의 단부 처짐각: $\theta_B=\dfrac{wL^3}{24EI}$
$\delta_C=\theta_B\times\dfrac{L}{2}=\dfrac{wL^4}{48EI}$

• 1/24는 내민 길이를 L로 본 값이다.
• 1/36은 내민 길이를 2L/3으로 본 값이다.
• 1/60은 처짐각 공식과 맞지 않는다.

최대 주응력은 100+50√2 MPa이다.

그림의 응력은 $\sigma_x=150$, $\sigma_y=50$, $\tau_{xy}=50\ \mathrm{MPa}$이다.

$\sigma_1=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$
$=100+\sqrt{50^2+50^2}=100+50\sqrt{2}\ \mathrm{MPa}$

평균응력 100에 모어원 반지름 $50\sqrt{2}$를 더한 값이다.

• 150은 수직응력 σx를 그대로 취한 값이다.
• 200은 반지름을 100으로 잡은 값이다.
• 200+50√2는 평균응력 대신 두 수직응력의 합을 쓴 값이다.

고정단 모멘트가 0이 되는 하중은 P = 15 kN이다.

등분포하중의 합력 $4\times2=8\ \mathrm{kN}$은 A에서 $8+6+1=15\ \mathrm{m}$ 지점에 작용한다.

$\Sigma M_A=0:\ P\times8=8\times15$
$P=15\ \mathrm{kN}$로 위쪽 하중과 아래쪽 분포하중의 모멘트가 상쇄된다.

• 20은 P의 모멘트가 160이 되어 120을 넘는다.
• 25는 P의 모멘트가 200이 되어 평형을 만족하지 않는다.
• 30은 P의 모멘트가 240으로 분포하중 모멘트의 두 배다.

지점 B의 수직반력은 6 kN이다.

A를 원점으로 두면 B는 오른쪽 7 m, 아래 1 m에 있다. 전체 평형과 힌지 C의 모멘트 0 조건을 함께 쓴다(반시계 +).

전체 $\Sigma M_A=0:\ 7B_y+B_x-6\times3-3\times7=0$, 즉 $7B_y+B_x=39$
C 오른쪽 $\Sigma M_C=0:\ 4B_y+4B_x-3\times4=0$, 즉 $B_y+B_x=3$

두 식을 빼면 $6B_y=36$, $B_y=6\ \mathrm{kN}$이다($B_x=-3\ \mathrm{kN}$). 지점 높이가 달라 수평반력이 수직반력에 영향을 준다.

• 2는 두 평형식을 동시에 만족하지 않는다.
• 4는 힌지 C 조건에서 $B_x=-1$이 되어 전체 모멘트 평형이 깨진다.
• 8은 $B_x=-5$가 되어 전체 모멘트 평형이 깨진다.