21년 1회차

A점에 대한 모멘트의 크기는 24 kN·m이다.

두 힘을 성분으로 나눈다. P(1)은 수평 5, 수직 12의 비율이므로 $P_{1x}=5,\ P_{1y}=12\ \mathrm{kN}$, P(2)는 45° 방향이므로 $P_{2x}=P_{2y}=7\ \mathrm{kN}$이다.

O점은 A점의 바로 위 2 m에 있으므로 수직성분은 A를 지나 모멘트가 없고, 수평성분만 팔길이 2 m로 작용한다.
$M_A=(5+7)\times2=24\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 26은 P(1)의 크기 13에 팔길이 2 m를 곱한 값으로, 성분 분해를 하지 않은 결과다.
• 28·30은 수직성분까지 모멘트에 넣은 듯한 값이지만, 수직성분은 A를 지나는 작용선이라 모멘트가 0이다.

옳지 않은 설명은 B점 휨모멘트반력이 16 kN·m라는 것이며, 실제 값은 12 kN·m이다.

내부 힌지 C를 경계로 AC는 A(힌지)와 C로 지지된 단순보이다. 등분포하중 합력 $2\times4=8\ \mathrm{kN}$이 중앙에 작용하므로 $R_A=R_C=4\ \mathrm{kN}$이다.

CB는 B 고정의 캔틸레버로, C에 전달력 4 kN, C에서 1 m 위치에 4 kN이 작용한다.
$R_B=4+4=8\ \mathrm{kN}$
$M_B=4\times2+4\times1=12\ \mathrm{kN\cdot m}$

• A점 수직반력 4 kN은 AC 단순보의 반력과 같아 옳다.
• B점 수직반력 8 kN은 두 하중의 합으로 옳다.
• C점 전단력 4 kN은 힌지에서 전달되는 힘과 같아 옳다.

B점 휨모멘트의 영향선은 AB 구간에서 0이고, B에서 C까지 음(−)으로 커졌다가 D에서 0으로 돌아오는 삼각형이다.

단위하중이 AB 위에 있으면 B 오른쪽의 내민 부분 BC에는 하중이 없으므로 $M_B=0$이다. 하중이 CD 위에 있으면 힌지 C로 전달된 힘이 내민 부분 끝에 작용해 B에 부모멘트를 만들고, 그 크기는 하중이 C에 있을 때 $-1\times\overline{BC}$로 최대, D에서 0이다.

• B에서 양(+)으로 최대인 형상은 B가 지점이어서 하중이 B에 있을 때 $M_B=0$이라는 점과 맞지 않는다.
• C에서 양(+)으로 최대가 되는 형상은 B의 휨모멘트 부호와 반대다.
• A에서 음, C에서 양으로 지나가는 직선형은 B점 전단력 계열의 영향선 형상이다.

단면계수의 크기 순서는 (가) ＞ (나) ＞ (다) ＞ (라)이다.

단면계수는 $S=\dfrac{I}{y_{max}}$로 각각 계산한다.
(가) 정사각형: $S=\dfrac{a^3}{6}\approx0.167a^3$
(나) 45° 회전 정사각형: $I=\dfrac{a^4}{12},\ y_{max}=\dfrac{a}{\sqrt2}$ → $S=\dfrac{a^3}{6\sqrt2}\approx0.118a^3$

(다) 원(지름 a): $S=\dfrac{\pi a^3}{32}\approx0.098a^3$
(라) 삼각형(밑변·높이 a): $I=\dfrac{a^4}{36},\ y_{max}=\dfrac{2a}{3}$ → $S=\dfrac{a^3}{24}\approx0.042a^3$

• (나)를 (가)보다 크게 둔 순서는 회전으로 연단거리가 늘어 단면계수가 작아지는 점을 놓쳤다.
• (라)를 (다)보다 크게 둔 순서는 삼각형의 도심축이 비대칭이라 큰 연단거리 2a/3를 써야 함을 놓쳤다.

좌굴하중은 $P_{cr}=kL+\dfrac{k_\theta}{L}$이다.

강체봉이 A를 중심으로 미소각 θ만큼 회전하면 B의 횡변위는 $L\theta$이고, 스프링 반력은 $kL\theta$, 회전스프링 모멘트는 $k_\theta\theta$이다.

A점에 대한 모멘트 평형:
$P\cdot L\theta=k_\theta\theta+kL\theta\cdot L$
$P_{cr}=kL+\dfrac{k_\theta}{L}$

• 회전스프링 항을 2L로 나눈 형태는 팔길이를 잘못 잡은 것이다.
• 병진스프링 항이 2kL인 형태는 B 변위의 팔길이가 L 하나뿐임을 놓쳤다.

두 반력이 같으려면 x＝0.75L이어야 한다.

A에서 0, x 위치에서 ω인 삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{\omega x}{2}$이고, 작용점은 A에서 $\dfrac{2x}{3}$이다.

단순보의 두 반력이 같으려면 합력이 경간 중앙에 있어야 한다.
$\dfrac{2x}{3}=\dfrac{L}{2}$ → $x=0.75L$

• 0.25L·0.5L이면 합력이 A 쪽에 치우쳐 A 반력이 더 크다.
• 1.0L이면 합력 위치가 2L/3로 B 쪽에 치우쳐 B 반력이 더 크다.

A점 수평반력의 크기는 6 kN이다.

케이블 정리를 쓴다. 같은 하중을 받는 경간 8 m 단순보의 C점 휨모멘트를 구하면
$R_{left}=\dfrac{10\times6+18\times2}{8}=12\ \mathrm{kN}$
$M_C=12\times2=24\ \mathrm{kN\cdot m}$

현 AB는 수평 8 m에 높이 8 m(기울기 1)이므로 C 위치(x＝2 m)에서 현의 높이는 A보다 2 m 위, 케이블은 A보다 2 m 아래라 현으로부터의 처짐은 4 m이다.
$H=\dfrac{M_C}{y_C}=\dfrac{24}{4}=6\ \mathrm{kN}$

• 8은 처짐을 3 m로 잡은 경우의 값이다.
• 12는 단순보 환산 반력을 수평반력으로 혼동한 값이다.
• 10은 C점 하중 크기일 뿐 수평장력과 무관하다.

늘어난 봉의 길이는 0.5 mm이다.

자유 열팽창량: $\delta_T=\alpha\Delta TL=10^{-5}\times30\times2000=0.6\ \mathrm{mm}$
봉의 축강성: $\dfrac{EA}{L}=\dfrac{200000\times100}{2000}=10000\ \mathrm{N/mm}$

스프링이 압축되며 봉에 압축력 F가 생기고, 봉의 실제 신장 = 스프링 압축량이다.
$0.6-\dfrac{F}{10000}=\dfrac{F}{2000}$ → $F=1000\ \mathrm{N}$
$\delta=\dfrac{1000}{2000}=0.5\ \mathrm{mm}$

• 0.2·0.3·0.4는 봉의 압축량을 실제 0.1 mm보다 크게 뺀 값으로, 봉과 스프링에 같은 힘 1000 N이 걸린다는 조건을 만족하지 않는다.
• 스프링이 없으면 자유팽창 0.6 mm, 스프링이 강체면 0 mm이므로 실제 신장은 그 사이 값이다.

최대전단변형률은 150 × 10^-6이다.

게이지 A는 x축(0°), B는 y축(90°), C는 x축에서 135° 아래, 즉 225° 방향이며 변형률은 180° 주기라 45° 방향 변형률과 같다.
$\varepsilon_{45}=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}$ → $\gamma_{xy}=2(235)-250-130=90$

$\gamma_{max}=\sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}=\sqrt{120^2+90^2}=150$

• 100은 $\gamma_{xy}=90$와 차이 120으로 구한 반경보다 작다.
• 200·250은 같은 식의 결과 150보다 크다.

A점 휨모멘트의 크기는 1.0 N·mm이다.

한 끝 힌지·다른 끝 고정인 보의 힌지단에 모멘트 M을 가하면 강성은 4EI/L이다.
$\theta_A=\dfrac{ML}{4EI}$

L＝4 m＝4000 mm를 대입하면
$M_A=\dfrac{4EI\theta_A}{L}=\dfrac{4\times40000\times0.025}{4000}=1.0\ \mathrm{N\cdot mm}$

• 0.5는 힌지단 강성 4EI/L보다 작은 강성을 쓴 값이다.
• 5.0·10.0은 길이 4000 mm로 대입한 결과 1.0과 자릿수가 다르다.

상수 C(1)은 1/6이다.

자유단에서 x 떨어진 단면의 휨모멘트는 $M=Px$이다.
$U=\int_0^L\dfrac{M^2}{2EI}dx=\dfrac{P^2}{2EI}\int_0^Lx^2dx=\dfrac{P^2L^3}{6EI}$

따라서 $U=C_1\dfrac{P^2L^3}{EI}$와 비교하면 C(1)＝1/6이다(검산: $U=\dfrac{P\delta}{2},\ \delta=\dfrac{PL^3}{3EI}$).

• 1/3은 자유단 처짐 계수로, 변형에너지는 그 절반이다.
• 1/4·1/12는 적분 결과 1/6과 다르다.

C점의 수직반력은 (5/4)ωL이다.

내부 힌지 B, E로 나누면 AB(길이 L/2)와 EF(길이 L/2)는 단순보이므로 힌지에 전달되는 힘은 각각 $\dfrac{\omega L}{4}$이다.

중앙부 BCDE(길이 2L)는 C, D로 지지되고 좌우 대칭이다. 전체 하중은 등분포 $2\omega L$와 양 끝 전달력 $2\times\dfrac{\omega L}{4}$이므로
$R_C=\dfrac{1}{2}\left(2\omega L+\dfrac{\omega L}{2}\right)=\dfrac{5}{4}\omega L$

• (6/5)ωL·(4/3)ωL은 대칭 분배 결과와 맞지 않는다.
• (3/2)ωL은 힌지 전달력을 ωL/2로 과대하게 잡은 값이다.

상수 C(1)은 5/48이다.

단순보 끝 처짐각을 중첩한다.
등분포하중: $\theta=\dfrac{\omega L^3}{24EI}=\dfrac{PL^2}{24EI}$ ($\omega=P/L$ 대입)
중앙 집중하중: $\theta=\dfrac{PL^2}{16EI}$

$\theta_A=\left(\dfrac{2}{48}+\dfrac{3}{48}\right)\dfrac{PL^2}{EI}=\dfrac{5}{48}\dfrac{PL^2}{EI}$이므로 두 처짐각의 합이 답이다.

• 7/48은 두 계수의 합 5/48보다 크다.
• 7/24·11/24는 처짐각 계수 범위를 크게 벗어난 값이다.

부정정 차수의 합은 7차이다.

보의 부정정 차수는 $n=r-3-h$(r: 반력 수, h: 내부 힌지 수)로 구한다.

(가) 롤러 2개 + 고정단: $n=5-3=2$
(나) 고정단 2개 + 힌지 지점 1개, 내부 힌지 1개: $n=8-3-1=4$
(다) 힌지 지점 1개 + 롤러 3개, 내부 힌지 1개: $n=5-3-1=1$
합계 $2+4+1=7$

• 5차·6차는 고정단 반력(각 3개)을 덜 센 값이다.
• 8차는 내부 힌지 하나를 빼지 않은 값이다.

최대전단응력은 50 MPa, 최대주응력은 80 MPa이다.

회전된 요소의 좌표(x', y')에서 법선응력은 y' 면에만 인장 60 MPa, x' 면은 0이고 전단응력은 40 MPa이다.
$\sigma_{avg}=\dfrac{0+60}{2}=30\ \mathrm{MPa}$
$R=\sqrt{30^2+40^2}=50\ \mathrm{MPa}$

$\tau_{max}=R=50\ \mathrm{MPa}$, $\sigma_{max}=30+50=80\ \mathrm{MPa}$

• 최대전단응력이 10인 조합은 전단응력 40 MPa를 반영하지 않은 값이다.
• 최대주응력이 110인 조합은 평균응력 30이 아닌 60에 반경 50을 더한 값이다.
• 최대주응력 40·60은 주어진 응력값을 그대로 옮긴 것으로 주응력이 아니다.

A점 휨모멘트반력의 크기는 44 kN·m이다.

힌지 C 오른쪽 CDE는 C와 D로 지지된 내민보다. C에서 s만큼 떨어진 곳의 하중강도는 $w=4-\dfrac{s}{3}$이므로 D점 모멘트 평형으로
$4R_C=\int_0^6\left(4-\dfrac{s}{3}\right)(4-s)ds=24$ → $R_C=6\ \mathrm{kN}$

캔틸레버 AC에는 B의 10 kN과 C의 전달력 6 kN이 작용한다.
$M_A=10\times2+6\times4=44\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 20은 C에서 전달되는 힘을 빠뜨린 값이다.
• 52·60은 내민 부분 DE의 하중이 C 반력을 줄이는 효과를 반영한 전달력 6 kN과 맞지 않는다.

최소정지마찰계수는 1/2이다.

케이블은 물체 상단(400 mm)에서 도르래 상단(460 mm)까지 수평 80 mm, 수직 60 mm로 올라가므로 3:4:5 경사이다. 도르래 마찰이 없어 케이블 장력은 P＝250 kN 그대로다.
$T_x=250\times\dfrac{4}{5}=200\ \mathrm{kN}$, $T_y=250\times\dfrac{3}{5}=150\ \mathrm{kN}$

$N=550-150=400\ \mathrm{kN}$
$\mu_{min}=\dfrac{F}{N}=\dfrac{200}{400}=\dfrac{1}{2}$

• 3/10·4/11은 수평성분 200 kN과 수직항력 400 kN의 비와 다르다.
• 7/11은 장력의 성분 분해를 반영한 결과와 맞지 않는다.

부재 AB의 부재력 크기는 10 kN(인장)이다.

A에 대한 모멘트 평형으로 롤러 C의 반력을 구한다(D의 30 kN은 A의 연직선 위라 모멘트 0).
$R_C\times10=20\times5$ → $R_C=10\ \mathrm{kN}$

절점 B에는 하중이 없고 BE만 연직이므로 BE＝0, AB＝BC이다. 절점 C에서
$\Sigma F_y:\ 10+\dfrac{F_{CE}}{\sqrt2}=0$ → $F_{CE}=-10\sqrt2$
$\Sigma F_x:\ F_{BC}=10\ \mathrm{kN}$

• 10√2는 사재 CE의 부재력 크기다.
• 50·50√2는 연직하중 30 kN과 수평하중 20 kN을 단순 합산한 값으로 평형 조건과 맞지 않는다.

휨모멘트가 0이 되는 위치는 x＝1.0L이다.

C에 대한 모멘트 평형으로 A 반력을 구한다.
$R_A\times2L=\omega L\times1.5L-\omega L\times0.5L$ → $R_A=\dfrac{\omega L}{2}$

AB 구간($0\le x\le L$)의 휨모멘트:
$M(x)=\dfrac{\omega L}{2}x-\dfrac{\omega x^2}{2}=0$ → $x=L$
B점에서 휨모멘트가 0이 되고, BC 구간은 직선으로 내민 부분의 부모멘트로 넘어간다.

• 0.7L은 휨모멘트가 양(+)인 구간 내부로 0이 아니다.
• 1.2L·1.5L은 BC 구간으로 이미 부모멘트 영역이다.

상수 C(1)은 163/1944이다.

전 구간 등분포하중의 처짐에서 AB 구간(길이 2L/3)에만 하중이 있을 때의 C점 처짐을 뺀다.

AB 하중에 의한 B점: $\delta_B=\dfrac{\omega(2L/3)^4}{8EI}=\dfrac{2}{81}\dfrac{\omega L^4}{EI}$, $\theta_B=\dfrac{\omega(2L/3)^3}{6EI}=\dfrac{4}{81}\dfrac{\omega L^3}{EI}$
C점: $\dfrac{2}{81}+\dfrac{4}{81}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{243}$

$C_1=\dfrac{1}{8}-\dfrac{10}{243}=\dfrac{243-80}{1944}=\dfrac{163}{1944}$으로 중첩 후 차감한 결과다.

• 41/384는 하중 구간을 마지막 L/2로 잡은 경우의 계수다.
• 4/81·49/648은 중첩 후 차감한 결과 163/1944과 다르다.