23년 1회차

곡률은 휨모멘트에 비례하므로, 휨모멘트에 반비례한다는 설명이 옳지 않습니다.

보의 곡률은 곡률반경의 역수이며 휨모멘트를 휨강성으로 나눈 값입니다.
$\kappa = \dfrac{1}{\rho} = \dfrac{M}{EI}$

• 곡률은 정의상 곡률반경의 역수이므로 곡률반경에 반비례한다는 설명은 옳습니다.
• 탄성계수는 분모에 있으므로 탄성계수에 반비례한다는 설명은 옳습니다.
• 단면2차모멘트도 분모에 있으므로 단면2차모멘트에 반비례한다는 설명은 옳습니다.

B점의 휨모멘트 크기는 340 kN·m이다. B점 오른쪽 BC 구간만 자유물체로 잡으면 고정단 반력 없이 바로 구할 수 있다.

BC 구간 등분포하중의 합력: $20\times 4 = 80\ \mathrm{kN}$, B점에서 팔 길이 2 m
이 합력이 만드는 B점 모멘트: $80\times 2 = 160\ \mathrm{kN\cdot m}$ (시계 방향)

C점에는 반시계 방향 우력 500 kN·m가 작용하므로 두 효과가 서로 상쇄된다.
$|M_B| = 500 - 160 = 340\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 우력을 무시하고 하중만 보면 |M(B)| = 160이 되어 어느 값과도 맞지 않는다.
• 150·240·250은 B점 오른쪽 자유물체의 모멘트 합(500 − 160)과 일치하지 않는다.

비틀림각은 비틀림강성에 반비례하므로, 비틀림강성에 비례한다는 설명이 옳지 않습니다.

원형단면 봉의 비틀림각은 비틀림모멘트와 길이에 비례하고, 비틀림강성 GJ로 나누어 구합니다.
$\phi = \dfrac{TL}{GJ}$

• 비틀림모멘트는 분자에 있으므로 비틀림모멘트에 비례한다는 설명은 옳습니다.
• 봉의 길이도 분자에 있으므로 길이에 비례한다는 설명은 옳습니다.
• 극관성모멘트는 분모에 있으므로 극관성모멘트에 반비례한다는 설명은 옳습니다.

부재력이 0인 부재는 2개(수직재 U2L2와 U3L3)이다.

0부재 판별: 하중이 없는 절점에 세 부재가 모이고 그중 두 부재가 일직선이면, 나머지 한 부재의 부재력은 0이다.

• 절점 U2: 상현재 U1U2·U2U3가 일직선이고 외력이 없으므로 수직재 U2L2의 부재력은 0이다.
• 절점 L3: 하현재 L2L3·L3L4가 일직선이고 외력이 없으므로 수직재 U3L3의 부재력은 0이다.
• 절점 L1: 하현재 두 부재가 일직선이지만 하중 P가 작용하므로 수직재 U1L1은 P를 받아 0부재가 아니다.

최대 휨모멘트는 전단력이 0이 되는 x = L/√3 위치에서 생긴다.

삼각형 분포하중(A에서 0, B에서 ωL)의 합력: $W = \dfrac{1}{2}\times \omega L\times L = \dfrac{\omega L^2}{2}$, 작용점은 A에서 $\dfrac{2L}{3}$
A점 반력: $R_A = \dfrac{W}{3} = \dfrac{\omega L^2}{6}$

위치 x의 하중강도는 $\omega x$이므로 전단력 0 조건은
$V(x) = \dfrac{\omega L^2}{6} - \dfrac{\omega x^2}{2} = 0 \ \Rightarrow\ x^2 = \dfrac{L^2}{3},\ x = \dfrac{L}{\sqrt{3}}$

• L/√2는 전단력 0 조건을 만족하지 않는다(대입하면 전단력이 음수).
• 2L/3은 하중 합력의 작용점 위치로, 최대 휨모멘트 위치와는 다르다.
• (√6/2)L은 L보다 커서 보 위에 존재할 수 없다.

B점과 C점의 휨모멘트 크기가 같아지는 길이는 x = 4.5 m이다.

B점 모멘트(왼쪽 내민 부분): $|M_B| = P x$
D점 반력($\Sigma M_B = 0$): $R_D\times 9 + P x = 3P\times 6 \Rightarrow R_D = \dfrac{18P - Px}{9}$

C점 모멘트(오른쪽 CD 구간): $M_C = R_D\times 3 = \dfrac{18P - Px}{3}$
크기 같음 조건: $Px = \dfrac{18P - Px}{3} \Rightarrow 4x = 18 \Rightarrow x = 4.5\ \mathrm{m}$

• x = 4.0이면 |M_B| = 4P, M_C = 14P/3로 서로 다르다.
• x = 3.5·3.0도 같은 식에 대입하면 두 모멘트 크기가 일치하지 않는다.

B점의 처짐각 크기는 640/EI이다. 고정단 A에서 B까지 M/EI 면적(모멘트면적법 제1정리)을 구하면 된다.

A에서 거리 s인 단면의 휨모멘트: $M(s) = 80(6 - s)$
A점 $480\ \mathrm{kN\cdot m}$, B점 $160\ \mathrm{kN\cdot m}$인 사다리꼴 분포이다.

AB 구간 휨강성은 2EI이므로
$\theta_B = \dfrac{1}{2EI}\times \dfrac{480 + 160}{2}\times 4 = \dfrac{1280}{2EI} = \dfrac{640}{EI}$

• 800/EI는 BC 구간 면적(160×2/2÷EI = 160/EI)까지 더한 C점 처짐각으로, B점 처짐각이 아니다.
• 600/EI·480/EI는 사다리꼴 면적(1280)을 2EI로 나눈 값과 일치하지 않는다.

B점은 중립축 위에 있으므로 휨응력은 0이고 전단응력만 최대가 된다. 따라서 B점에서 두 응력이 모두 최대라는 설명이 옳지 않다.

직사각형 단면에서 휨응력 $\sigma = \dfrac{My}{I}$는 중립축(y = 0)에서 0, 상·하연에서 최대이고, 전단응력 $\tau = \dfrac{VQ}{Ib}$는 상·하연에서 0, 중립축에서 최대이다.

• A점은 단면 상연이므로 Q = 0이 되어 전단응력이 0이다.
• A점(상연)과 C점(하연)은 중립축에서 같은 거리에 있으므로 휨응력 절댓값이 같다(압축·인장만 다름).
• 선형탄성이므로 하중이 2배면 휨모멘트도 2배가 되어 C점 휨응력도 2배가 된다.

길이 x는 1.0 m이다. 게르버보는 힌지에서 끊어 힌지~B 구간을 단순보로 보면 B점 반력을 바로 구할 수 있다.

힌지에서 B까지 길이는 $3 + x$이고, 4 kN 하중은 힌지에서 3 m 위치에 있다(등분포하중은 힌지 왼쪽 캔틸레버 부분에 작용).
$\Sigma M_{hinge} = 0:\ R_B (3 + x) = 4\times 3$

$R_B = \dfrac{12}{3 + x} = 3 \Rightarrow 3 + x = 4 \Rightarrow x = 1.0\ \mathrm{m}$

• x = 0.5이면 R_B = 12/3.5 ≒ 3.43 kN으로 3 kN이 아니다.
• x = 1.5·2.0이면 R_B가 각각 약 2.67 kN, 2.4 kN으로 3 kN보다 작다.

지점 A의 수직반력은 4.5 kN(↓)이다. 내민 부분의 하중이 B점을 축으로 A를 들어 올리려 하므로 A 반력은 아래 방향이 된다.

삼각형 분포하중의 합력: $W = \dfrac{1}{2}\times 6\times 3 = 9\ \mathrm{kN}$, 작용점은 B에서 $\dfrac{2}{3}\times 3 = 2\ \mathrm{m}$

B점 모멘트 평형(A 반력 상향 가정):
$R_A\times 4 + 9\times 2 = 0 \Rightarrow R_A = -4.5\ \mathrm{kN}$
음수이므로 실제 방향은 아래쪽이다.

• 4.5 kN(↑)은 크기는 맞지만 방향이 반대다.
• 13.5 kN은 B점 반력 크기(9 + 4.5)로, A점 반력이 아니다.

철선과 동선의 인장응력 비는 2.0이다. 대칭으로 매달린 강체이므로 세 선의 늘음량이 같다.

세 선의 길이가 같으므로 변형률도 같다: $\varepsilon_s = \varepsilon_c$
훅의 법칙 $\sigma = E\varepsilon$에서
$\dfrac{\sigma_s}{\sigma_c} = \dfrac{E_s}{E_c} = \dfrac{2.0\times 10^5}{1.0\times 10^5} = 2.0$

참고로 힘 평형 $\sigma_c(200) + 2\sigma_s(100) = 30000$에 $\sigma_s = 2\sigma_c$를 넣으면 $\sigma_c = 50\ \mathrm{MPa},\ \sigma_s = 100\ \mathrm{MPa}$로 비가 확인된다.

• 0.5는 동선 대 철선 비(σc/σs)로, 묻는 비의 역수다.
• 4.0·8.0은 변형률이 같다는 조건에서 나오는 탄성계수 비와 맞지 않는다.

바퀴가 장애물을 넘기 시작하는 힘은 P = 80 N이다. 넘기 직전에는 바닥 반력이 0이 되고 바퀴는 모서리 A점을 회전축으로 삼는다.

A점에서 P의 작용선까지 수직거리: $50 - 20 = 30\ \mathrm{cm}$
A점에서 자중 작용선까지 수평거리: $\sqrt{50^2 - 30^2} = 40\ \mathrm{cm}$

A점 모멘트 평형: $P\times 30 = 60\times 40 \Rightarrow P = 80\ \mathrm{N}$

• 45 N은 두 팔 길이를 뒤바꿔 $60\times 30/40$으로 계산한 값이다.
• 30 N은 자중의 절반으로, 회전축 기준 모멘트 평형과 무관하다.
• 55 N은 A점 모멘트 평형식에서 나오지 않는 값이다.

하단에서 중립축까지 거리는 1,275/7 mm이다. 합성단면의 중립축은 탄성계수를 가중치로 한 도심이다.

세 부분의 면적은 모두 같다: $200\times 50 = 20\times 500 = 10{,}000\ \mathrm{mm^2}$
하단 기준 도심 높이: 상부플랜지 $575$, 웨브 $300$, 하부플랜지 $25\ \mathrm{mm}$

$x = \dfrac{\sum E_i A_i y_i}{\sum E_i A_i} = \dfrac{10\times 575 + 20\times 300 + 40\times 25}{10 + 20 + 40} = \dfrac{12{,}750}{70} = \dfrac{1{,}275}{7}\ \mathrm{mm}$

• 2,125/7 mm는 탄성계수를 반영하지 않은 단순 도심(300 mm)에 가까운 값으로, 강성이 큰 하부플랜지 쪽으로 내려가는 효과를 놓친 것이다.
• 1,250/7·2,925/7 mm는 가중 도심 식에 대입한 결과와 일치하지 않는다.

처짐 미분방정식을 적분하고 경계조건을 적용하는 방법은 이중적분법이므로, 이를 가상일법으로 설명한 것이 옳지 않습니다.

가상일법은 단위 가상하중에 의한 내력과 실제 하중에 의한 변형의 곱을 적분하여, 외적 가상일과 내적 가상일이 같다는 원리로 변위를 구하는 방법입니다.
$1\cdot\delta = \int \dfrac{M\,m}{EI}\,dx$

• 모멘트면적법은 M/EI 선도의 면적과 그 1차모멘트로 처짐각과 처짐을 구하는, 처짐 곡선의 기하학적 성질을 이용한 방법이므로 옳습니다.
• 공액보법은 지점 조건을 바꾼 공액보에 M/EI 선도를 탄성하중으로 재하해 전단력과 휨모멘트로 처짐각과 처짐을 구하므로 옳습니다.
• 카스틸리아노 제2정리는 변형에너지를 하중으로 편미분하면 그 하중 작용점, 작용 방향의 변위가 된다는 정리이므로 옳습니다.

온도상승량은 $\Delta T = \dfrac{4\pi^2 I}{\alpha A L^2}$이다. 양단 고정으로 팽창이 막혀 생기는 축력이 좌굴하중과 같아지는 조건을 세운다.

임계좌굴하중(유효길이 0.5L): $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(0.5L)^2} = \dfrac{4\pi^2 EI}{L^2}$
구속된 온도 팽창에 의한 축력: $P = EA\alpha\Delta T$

$EA\alpha\Delta T = \dfrac{4\pi^2 EI}{L^2} \Rightarrow \Delta T = \dfrac{4\pi^2 I}{\alpha A L^2}$

• $2\pi ^{2}I/(\alpha AL^{2})$는 유효길이계수를 약 0.7(고정-힌지)로 본 값에 해당한다.
• π²$I/(\alpha AL^{2})$는 양단 힌지(유효길이계수 1.0) 조건의 값이다.
• π²$I/(4\alpha AL^{2})$는 1단 고정·타단 자유(유효길이계수 2.0) 조건의 값이다.

절대 최대휨모멘트는 10 kN 하중 아래에서 생기며, 그 위치는 B점에서 x = 9 m이다.

합력 $R = 15\ \mathrm{kN}$의 위치: 10 kN에서 5 kN 쪽으로 $\dfrac{5\times 6}{15} = 2\ \mathrm{m}$
보의 중앙이 합력과 큰 하중 사이 거리를 이등분하도록 놓으면, 10 kN 하중은 중앙에서 B 쪽으로 1 m 떨어진다.

따라서 $x = 10 - 1 = 9\ \mathrm{m}$이며, 이때 5 kN은 B에서 15 m로 보 위에 있다.
$R_B = \dfrac{15\times 9}{20} = 6.75\ \mathrm{kN},\ M_{max} = 6.75\times 9 = 60.75\ \mathrm{kN\cdot m}$

• x = 10 m는 보 중앙으로, 단일 하중일 때의 최대 위치이다.
• x = 11 m는 합력 위치를 중앙 반대편에 놓은 경우로, 10 kN과 합력의 중간이 중앙에 오지 않는다.
• x = 5 m는 합력과 큰 하중의 중간을 보 중앙에 맞추는 조건과 무관하다.

최대 정모멘트 크기는 8 kN·m이다.

지점 반력($\Sigma M_C = 0$):
$R_A\times 10 = (1\times 8)\times 6 - 2\times 4 = 40 \Rightarrow R_A = 4\ \mathrm{kN}$

AB 구간 전단력 $V = 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4\ \mathrm{m}$
$M_{max} = 4\times 4 - \dfrac{1\times 4^2}{2} = 8\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 16 kN·m는 전단력 0 위치에서 반력 모멘트(4×4)만 계산하고 등분포하중에 의한 모멘트 8을 빼지 않은 값이다.
• 4 kN·m·2 kN·m는 전단력 0 위치에서 계산한 모멘트와 맞지 않는다.

전단변형률은 $\gamma_{xy} = 2\varepsilon_b - \varepsilon_a - \varepsilon_c$이다. 게이지 a는 x축(0°), b는 45°, c는 90° 방향이다.

변형률 변환식: $\varepsilon_\theta = \varepsilon_x\cos^2\theta + \varepsilon_y\sin^2\theta + \gamma_{xy}\sin\theta\cos\theta$
$\varepsilon_a = \varepsilon_x,\ \varepsilon_c = \varepsilon_y$

$\theta = 45^\circ:\ \varepsilon_b = \dfrac{\varepsilon_a + \varepsilon_c}{2} + \dfrac{\gamma_{xy}}{2} \Rightarrow \gamma_{xy} = 2\varepsilon_b - \varepsilon_a - \varepsilon_c$

• 세 변형률을 모두 더한 식은 변환식에서 나오지 않는다.
• εb에서 εa·εc의 2배를 빼는 식은 계수가 뒤바뀌었다.
• εc 앞 부호가 +인 식은 εy의 부호가 틀렸다.

강봉 지름의 감소량은 $\dfrac{1}{8\pi}\,\mathrm{cm}$입니다.

먼저 축응력과 축방향 변형률을 구합니다.
$\sigma = \dfrac{P}{A} = \dfrac{10^{7}\,\mathrm{N}}{\pi \times 20^{2}\,\mathrm{mm^2}} = \dfrac{25000}{\pi}\,\mathrm{MPa}$
$\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = \dfrac{25000}{\pi \times 2\times10^{5}} = \dfrac{1}{8\pi}$

푸아송비로 가로 변형률을 구하고 지름을 곱합니다.
$\varepsilon_{d} = \nu\,\varepsilon = 0.25 \times \dfrac{1}{8\pi} = \dfrac{1}{32\pi}$
$\Delta d = d\,\varepsilon_{d} = 4.0\,\mathrm{cm} \times \dfrac{1}{32\pi} = \dfrac{1}{8\pi}\,\mathrm{cm}$

지점 A의 반력모멘트 크기는 39 kN·m이다. A·C가 고정이고 B의 이동이 구속되므로 모멘트분배법으로 푼다.

강비: $k_{AB} = \dfrac{9I}{3} = 3I,\ k_{BC} = \dfrac{8I}{4} = 2I$ → B점 분배율 BA 0.6, BC 0.4
고정단모멘트: $M_{AB}^F = M_{BA}^F = \dfrac{PL}{8} = \dfrac{80\times 3}{8} = 30\ \mathrm{kN\cdot m}$

B점 불균형모멘트 30을 분배하면 BA에 $0.6\times 30 = 18$, 그 절반이 A로 전달된다.
$|M_A| = 30 + \dfrac{18}{2} = 39\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 12 kN·m는 BC 부재로 분배된 모멘트(0.4×30)이고, 6 kN·m는 그것이 C로 전달된 값이다.
• 72 kN·m는 분배·전달 결과(30 + 9)와 맞지 않는다.