09년 1회차

3 Ω 저항에는 2 A가 흐르고 12 W를 소모한다.

3 Ω과 6 Ω은 6 V 전원에 병렬이므로 3 Ω 양단 전압은 전원 전압 그대로 6 V이다.
$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{6}{3}=2\,\mathrm{A}$
$P=VI=6\times 2=12\,\mathrm{W}$

• 1 A, 3 W: 3 Ω 양단 전압을 3 V로 본 값으로, 병렬 소자에는 전원 전압 6 V가 그대로 걸린다는 점과 맞지 않는다.
• 4 A, 12 W: 전류 4 A와 전력 12 W가 $P=VI$로 서로 맞지 않으며, 6 V에서 3 Ω 전류는 2 A이다.
• 4 A, 48 W: 6 V·3 Ω 조건에서 4 A는 나올 수 없는 전류다.

전원 전압은 -3 V이다.

왼쪽 회로에서 소자 1은 전원에 바로 병렬이므로 $v_1=v_s$이다.

오른쪽 회로의 위쪽 마디에는 종속전류원 전류 $3v_1$과 $i_2$가 모두 아래로 빠져나가므로 KCL에 따라
$3v_1+i_2=0$
$3v_1+9=0 \Rightarrow v_1=-3\,\mathrm{V}$
$v_s=v_1=-3\,\mathrm{V}$

• 3 V: 두 전류의 방향이 같은데 부호를 반대로 둔 결과다.
• 1 V: KCL 관계식 $3v_1+9=0$을 만족하지 않는다.
• -2 V: 대입하면 $3v_1+i_2=3\ne 0$이 되어 KCL이 성립하지 않는다. $v_2=3i_2$ 관계는 이 계산에 쓰이지 않는다.

최대 전달 전력은 0.06 W이다.

부하가 테브난 임피던스의 켤레복소수일 때 $Z_L=600-j150\,\mathrm{\Omega}$로 최대전력이 전달되며, 리액턴스가 상쇄되어 저항만 남는다.
$P_{max}=\dfrac{V_{Th}^2}{4R_{Th}}=\dfrac{12^2}{4\times 600}=\dfrac{144}{2400}=0.06\,\mathrm{W}$

• 0.08 W: $V_{Th}^2/(4R_{Th})$의 결과 0.06 W보다 크므로 최대전력 조건식에서 나올 수 없다.
• 1.00 W: 600 Ω급 내부저항에 12 V 전원으로는 낼 수 없는 크기다.
• 1.02 W: 같은 이유로 전원 전압·내부저항 조건과 맞지 않는 과대값이다.

$I_1=2\,\mathrm{A}$, $I_2=1\,\mathrm{A}$이다.

위쪽 3 Ω과 6 Ω은 병렬, 아래쪽 6 Ω·4 Ω·12 Ω도 병렬이며 두 묶음이 직렬이다.
$3\parallel 6=2\,\mathrm{\Omega}$, $\dfrac{1}{1/6+1/4+1/12}=2\,\mathrm{\Omega}$
$I_1=\dfrac{8}{2+2}=2\,\mathrm{A}$

아래 묶음 전압은 $2\times 2=4\,\mathrm{V}$이므로 4 Ω 전류는 $I_2=4/4=1\,\mathrm{A}$이다.

• $I_1=4$, $I_2=3$: 전체 전류 4 A는 합성저항을 2 Ω으로 본 값이며, 4 Ω 전류도 맞지 않는다.
• $I_1=4$, $I_2=2$: 직렬인 두 묶음 중 한쪽만 계산한 결과다.
• $I_1=3$, $I_2=1$: 합성저항 4 Ω에서 전체 전류는 3 A가 될 수 없다.

내부 자계의 세기는 약 159 AT/m이다.

환상솔레노이드 내부는 앙페르 법칙에서 $H=\dfrac{NI}{2\pi r}$이다.
$H=\dfrac{50\times 4}{2\pi\times 0.2}=\dfrac{200}{1.257}\approx 159\,\mathrm{AT/m}$

• 0.8: 반지름을 cm 그대로 넣고 분모를 $4\pi r$로 잡은 값이다.
• 1.59: 반지름 20 cm를 m로 환산하지 않은 값이다.
• 80: 분모를 $2\pi r$ 대신 $4\pi r$로 잡은 값으로, 원주 길이를 잘못 쓴 결과다.

유기전압의 최댓값은 $10\sqrt{2}\,\mathrm{V}$이다.

속도는 이동거리의 미분이다.
$v=\dfrac{dX}{dt}=100\sqrt{2}\cos(10t)\,\mathrm{m/s}$

운동기전력 $e=Blv$에 최대 속도를 넣는다.
$E_m=1\times 0.1\times 100\sqrt{2}=10\sqrt{2}\,\mathrm{V}$

• $\sqrt{2}$: 이동거리 진폭을 그대로 속도로 보아 각주파수 10을 곱하지 않은 값이다.
• $5\sqrt{2}$: 계수를 절반으로 잘못 처리한 값이다.
• $100\sqrt{2}$: 도체 길이 0.1 m를 곱하지 않은 속도 자체다.

전하가 받는 힘은 로런츠 힘 $F=qvB$로 구하며, 단위를 SI로 바꾸면 100 N이다.

단위 환산: $B=0.01\,\mathrm{Wb/cm^2}=0.01\times10^{4}=100\,\mathrm{Wb/m^2}$, $v=10\,\mathrm{cm/s}=0.1\,\mathrm{m/s}$
대입: $F=qvB\sin 90^\circ=10\times0.1\times100$
결과: $F=100\,\mathrm{N}$

• 1 N은 자속밀도와 속도를 모두 cm 단위 그대로 대입한 값($10\times10\times0.01=1$)이다.
• 0.1 N이나 10 N은 면적 환산($\mathrm{cm^2}\to\mathrm{m^2}$는 $\times10^{4}$)과 길이 환산($\mathrm{cm}\to\mathrm{m}$는 $\times10^{-2}$)을 잘못 적용한 값으로 SI 환산 결과와 맞지 않는다.

직렬 연결에서는 정전용량이 가장 작은 0.01 F 콘덴서가 가장 먼저 파괴된다.

직렬 콘덴서에는 모두 같은 전하량 Q가 축적되므로 각 단자전압은 $V=\dfrac{Q}{C}$로 정전용량에 반비례한다.
전압 비: $V_1:V_2:V_3=\dfrac{1}{0.01}:\dfrac{1}{0.02}:\dfrac{1}{0.04}=4:2:1$
내전압이 모두 같으므로 전압을 가장 많이 분담하는 콘덴서가 먼저 한계에 도달한다.

• 0.02 F 콘덴서는 0.01 F 콘덴서의 절반 전압만 분담하므로 먼저 파괴되지 않는다.
• 0.04 F 콘덴서는 분담 전압이 가장 작아 가장 늦게 파괴된다.
• 분담 전압이 서로 다르므로 세 콘덴서가 동시에 파괴되지는 않는다.

정전계에서 전계의 발산은 0이 아니라 전하밀도에 비례하므로, 전계의 발산을 0으로 놓은 식이 옳지 않다.

가우스 법칙의 미분형은 $\nabla\cdot E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$이며, 전하가 없는 공간에서만 0이 된다. 정전계에서 0이 되는 것은 회전 $\nabla\times E=0$이다.

• 분극의 세기는 $D=\varepsilon_0E+P$에서 $P=D-\varepsilon_0E$로 옳다.
• 전위의 라플라시안이 체적전하밀도에 비례한다는 식은 푸아송 방정식 $\nabla^2V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$으로 옳다.
• 전계는 전위의 음의 기울기 $E=-\nabla V$로 옳다.

$A=1+\dfrac{Z_1}{Z_2}$, $C=\dfrac{1}{Z_2}$이다.

A와 C는 출력단 개방($I_2=0$) 조건에서 구한다. 이때 $Z_3$에는 전류가 없어 $V_2$는 병렬 소자 $Z_2$의 전압과 같다.
$A=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{Z_1+Z_2}{Z_2}=1+\dfrac{Z_1}{Z_2}$
$C=\dfrac{I_1}{V_2}=\dfrac{1}{Z_2}$

• $A=1+Z_1/Z_3$, $C=1/Z_3$: 출력 개방 시 $Z_3$에는 전류가 흐르지 않으므로 A, C에 나타나지 않는다($Z_3$는 B, D에 반영).
• $A=1+Z_2/Z_1$, $C=1/Z_2$: C는 맞지만 A는 분압비를 거꾸로 쓴 식이다.
• $A=1+Z_1/Z_2$, $C=1/Z_3$: A는 맞지만 C에 출력 개방 시 전류가 없는 $Z_3$를 넣었다.

역률은 0.707, 진상이다.

오른쪽 가지는 $j5-j2=j3\,\mathrm{\Omega}$이고, 이것이 $-j2\,\mathrm{\Omega}$과 병렬이다.
$\dfrac{(j3)(-j2)}{j3-j2}=\dfrac{6}{j1}=-j6\,\mathrm{\Omega}$

전체 $Z=6-j6\,\mathrm{\Omega}$이므로
$\cos\theta=\dfrac{6}{\sqrt{6^2+6^2}}=0.707$
리액턴스가 음(용량성)이라 전류가 전압보다 앞선다.

• 0.707, 지상: 크기는 맞지만 합성 리액턴스가 용량성이므로 지상이 아니다.
• 0.866, 진상: 저항과 리액턴스 크기가 같아 위상각이 45°이므로 30°에 해당하는 0.866이 나올 수 없다.
• 0.866, 지상: 크기와 위상 상태가 모두 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 전류를 $\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{L}{R}t}\right)$로 쓴 설명이다.

R-L 직렬회로에 직류를 가하면 $i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$이며, 지수의 계수는 시정수 $\tau=\dfrac{L}{R}$의 역수인 $\dfrac{R}{L}$이어야 한다.

• 시정수 일정: $\tau=L/R$은 소자값만으로 정해져 인가 시간과 무관하므로 옳다.
• 저항 전압이 E로 수렴: 정상상태에서 인덕터는 단락과 같아 전압이 모두 R에 걸리므로 옳다.
• 인덕터 전압 $v_L(t)=Ee^{-\frac{R}{L}t}$: $L\dfrac{di}{dt}$를 계산한 결과와 같으므로 옳다.

급변할 수 없는 물리량은 코일의 전류와 콘덴서의 전압이다.

코일은 $v_L=L\dfrac{di}{dt}$이므로 전류가 순간 변하면 무한대 전압이 필요하고, 저장 에너지 $\dfrac{1}{2}Li^2$도 연속이어야 한다.
콘덴서는 $i_C=C\dfrac{dv}{dt}$이므로 전압이 순간 변하면 무한대 전류가 필요하고, 저장 에너지 $\dfrac{1}{2}Cv^2$도 연속이어야 한다.

• 코일의 전압과 콘덴서의 전류를 짝지은 것은 오히려 순간적으로 변할 수 있는 양을 고른 것이다.
• 코일과 콘덴서 모두 전압으로 짝지으면 코일 쪽이 틀린다.
• 코일과 콘덴서 모두 전류로 짝지으면 콘덴서 쪽이 틀린다.

전류계 접속 전 전류는 약 8.0 A이다.

a-b 가지(4 Ω)를 떼고 나머지를 테브난 등가로 보면, 전원을 단락했을 때
$R_{Th}=2+(2\parallel 4)=2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{3}\,\mathrm{\Omega}$

테브난 전압은 그대로이므로 전류는 가지 전체 저항에 반비례한다.
$I=7.477\times\dfrac{10/3+4+0.5}{10/3+4}=7.477\times\dfrac{47}{44}\approx 7.99\,\mathrm{A}$
소수 둘째 자리에서 반올림하면 8.0 A이다.

• 7.5 A: 전류계 내부저항에 의한 전류 감소를 거의 반영하지 않은 값이다.
• 8.5 A: 테브난 저항을 실제보다 작게 잡아 내부저항 영향을 과대평가한 값이다.
• 9.0 A: 같은 방식으로 내부저항 영향을 더 크게 과대평가한 값이다.

V결선 출력은 △결선 출력의 57.7%로 줄고, 변압기 이용률은 86.6%가 된다.

변압기 1대 용량을 $P_1$이라 하면 △결선 출력은 $3P_1$, V결선 출력은 $\sqrt{3}P_1$이다.
출력비: $\dfrac{\sqrt{3}P_1}{3P_1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx0.577$
이용률: $\dfrac{\sqrt{3}P_1}{2P_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$

• 출력비 86.6%, 이용률 57.7%로 두 값을 뒤바꾼 조합은 틀리다.
• 173.2%는 V결선 출력을 변압기 1대 용량과 비교한 배수로, △결선 대비 출력비가 아니다.
• 50%와 66.7%는 단순히 대수 비(2/3 등)로 계산한 값으로, 3상 V결선의 출력 관계와 맞지 않는다.

부하의 역률은 0.6이다.

△결선 커패시터를 Y로 바꾸면 한 상당 $\dfrac{-j9}{3}=-j3\,\mathrm{\Omega}$이 되어, 상마다 4 Ω과 $-j3\,\mathrm{\Omega}$이 병렬로 놓인다.

병렬이므로 어드미턴스로 구한다.
$Y=\dfrac{1}{4}+j\dfrac{1}{3}$
$\cos\theta=\dfrac{G}{|Y|}=\dfrac{1/4}{\sqrt{(1/4)^2+(1/3)^2}}=\dfrac{0.25}{0.4167}=0.6$

• 0.8: 4 Ω과 3 Ω을 직렬로 보고 $R/|Z|$를 계산한 결과다.
• 1: 용량성 부하가 있어 역률 1이 될 수 없다.
• 0.96: 상당 어드미턴스 $\dfrac{1}{4}+j\dfrac{1}{3}$에서 나오지 않는 값으로, 커패시터의 영향을 과소평가했다.

비접지식 회로에서는 영상전류의 귀로가 없으므로 영상분이 존재한다는 설명이 옳지 않다.

영상분은 세 상에 동상으로 흐르는 성분이어서 중성점 접지나 중성선 같은 귀로가 있어야 흐를 수 있다. 비접지식에서는 세 선전류의 합이 항상 0이므로 영상전류는 0이다.

• 대칭 3상 전압은 세 상의 합이 0이므로 영상분이 0이라는 설명은 옳다.
• 대칭 3상 전압에는 역상분·영상분이 없고 정상분만 존재한다는 설명은 옳다.
• 불평형 3상 접지식 회로에서는 대지를 귀로로 영상분이 흐를 수 있으므로 옳다.

$i(0^+)=1\,\mathrm{A}$이다.

스위치를 닫기 전 정상상태에서 인덕터는 단락과 같으므로, 두 전지(합 30 V)와 10 Ω·20 Ω이 하나의 직렬 루프를 이룬다.
$i(0^-)=\dfrac{20+10}{10+20}=1\,\mathrm{A}$

인덕터 전류는 순간적으로 변할 수 없으므로
$i(0^+)=i(0^-)=1\,\mathrm{A}$

• 0.5 A: 스위치를 닫은 뒤 새 정상상태 $10/20$를 초깃값으로 본 오류다.
• 0.2 A: 저항이나 전압을 잘못 묶은 값이다.
• 0 A: 인덕터 전류의 연속성을 무시한 값이다.

$i_{sw}$는 4.5 A에서 9 A로 증가하고, $i_L$은 4.5 A에서 0으로 감소하는 그래프가 맞다.

닫기 전 정상상태: 인덕터는 단락이므로 $i_L(0^-)=\dfrac{9}{1+1}=4.5\,\mathrm{A}$이고 스위치 전류는 0이다.

닫은 후: 스위치가 가운데 마디를 아래 도선에 연결하므로 왼쪽 1 Ω에는 즉시 $9/1=9\,\mathrm{A}$가 흐른다. 오른쪽 1 Ω-4 H 가지는 전원과 분리되어 $i_L$이 4.5 A에서 0으로 감쇠한다($\tau=4/1=4\,\mathrm{s}$).
마디 KCL에서 $i_{sw}=9-i_L$이므로 4.5 A에서 시작해 9 A로 수렴한다.

• $i_{sw}$가 0에서 9 A로, $i_L$이 4.5 A에서 9 A로 증가하는 그래프: 왼쪽 저항 전류는 즉시 9 A가 되므로 $i_{sw}(0^+)=9-4.5=4.5\,\mathrm{A}$이고, 전원과 끊긴 인덕터 가지의 전류는 증가할 수 없다.
• $i_{sw}$가 9 A에서 0으로 감소하고 $i_L$이 증가하는 그래프: 두 전류의 초깃값·최종값이 모두 KCL 결과와 반대다.
• $i_{sw}$가 0에서 9 A로, $i_L$이 4.5 A에서 0으로 가는 그래프: $i_L$은 맞지만 $i_{sw}$의 초깃값은 0이 아니라 4.5 A이다.

소모 전력은 565 W이다.

비정현파의 전력은 각 고조파 전력의 합이며, 저항 부하이므로 위상은 영향이 없다. 최댓값 $V_m$의 성분 전력은 $\dfrac{V_m^2}{2R}$이다.
$P=\dfrac{100^2+30^2+20^2}{2\times 10}=\dfrac{11300}{20}=565\,\mathrm{W}$

• 1,130 W: 최댓값을 실횻값으로 보고 2로 나누지 않은 값이다.
• 1,000 W: 기본파만 최댓값 그대로 $V^2/R$에 넣은 값으로, 고조파를 빠뜨렸다.
• 2,250 W: 진폭을 먼저 더해(150) 제곱한 값으로, 고조파별 전력 합이 아니다.