12년 1회차

손전등이 소비한 에너지는 $4.5\times10^{2}\,\mathrm{J}$이다.

전력은 $P=VI=3\times0.5=1.5\,\mathrm{W}$이고, 5분은 $t=300\,\mathrm{s}$이다.
에너지 $W=Pt=1.5\times300=450\,\mathrm{J}$이다.

• 1.5는 전력[W] 값으로, 시간을 곱하지 않은 값이다.
• $1.5\times10^{2}$은 전압을 곱하지 않은 전하량 $Q=It=0.5\times300=150\,\mathrm{C}$이다.
• 4.5는 $W=Pt=450\,\mathrm{J}$과 자릿수가 맞지 않는 값이다.

40 cm 지점의 자계의 세기는 25 AT/m이다.

무한 직선전류의 자계는 $H=\dfrac{I}{2\pi r}$로 거리에 반비례한다.
$H_2=H_1\times\dfrac{r_1}{r_2}=100\times\dfrac{10}{40}=25\,\mathrm{AT/m}$

• 0은 전류가 흐르는 한 유한한 거리에서 자계가 사라지지 않으므로 틀리다.
• 50은 자계가 거리의 제곱근에 반비례한다고 본 값이다.
• 100은 자계가 거리와 무관하게 일정하다고 본 값이다.

3 Ω에 흐르는 전류는 10/3 A이다.

아래 도선을 기준(0 V)으로 두고 위쪽 가운데 마디 전압을 V라 하면 KCL로
$\dfrac{V-8}{2}+\dfrac{V}{3}+\dfrac{V-36}{6}=0$
$3V-24+2V+V-36=0 \Rightarrow V=10\,\mathrm{V}$

$I=\dfrac{V}{3}=\dfrac{10}{3}\,\mathrm{A}$

• 1 A: 두 전원 중 한쪽만 고려하는 등 마디 방정식을 잘못 세운 값이다.
• 4 A: 3 Ω 양단 전압을 12 V로 본 값으로, 마디 전압 10 V와 맞지 않는다.
• 13/3 A: 마디 전압이 13 V일 때의 값으로 KCL을 만족하지 않는다.

AB 사이 전압은 60 V이다.

전압계는 3 Ω 양단에 걸려 있으므로 위쪽 가지 전류는
$I_1=\dfrac{6}{3}=2\,\mathrm{A}$
위쪽 가지(12 Ω+3 Ω) 전압은 $15\times 2=30\,\mathrm{V}$이고, 이 전압이 병렬인 30 Ω에도 걸린다.

$I_2=\dfrac{30}{30}=1\,\mathrm{A},\quad I=I_1+I_2=3\,\mathrm{A}$
$V_{AB}=10\times 3+30=60\,\mathrm{V}$

• 15 V: 위쪽 가지 전압의 절반 정도로, 병렬부 전압 30 V보다도 작다.
• 20 V: 병렬부 일부만 더한 값으로 회로 전류 관계와 맞지 않는다.
• 30 V: 병렬부 전압만 구하고 10 Ω의 전압강하 30 V를 빠뜨린 값이다.

스위치가 열려 있을 때 c, d 사이 합성 커패시턴스는 8 μF이다.

S가 열리면 a, b는 외부와 끊기므로 c(왼쪽 마디)에서 d(오른쪽 마디)로 가는 경로는 a를 거치는 C(1)-C(2) 직렬과 b를 거치는 C(3)-C(4) 직렬 두 가지이고, 이 둘이 병렬이다.

$C_{12}=\dfrac{6\times 12}{6+12}=4\,\mathrm{\mu F},\quad C_{34}=\dfrac{6\times 12}{6+12}=4\,\mathrm{\mu F}$
$C_T=4+4=8\,\mathrm{\mu F}$

• 1/8 μF: 합성값의 역수를 답으로 쓴 값이다.
• 1/2 μF: 두 직렬 경로를 다시 직렬로 보고 역수까지 취한 값이다.
• 2 μF: 두 4 μF 경로를 병렬이 아니라 직렬로 합성한 값이다.

P점의 전계 세기는 E = 36/25 V/m이다.

A(3, 0, 0)에서 P(6, 4, 0)까지 거리는
$r=\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=5\,\mathrm{m}$

점전하의 전계 $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=9\times 10^9\dfrac{Q}{r^2}$에 대입하면
$E=9\times 10^9\times\dfrac{4\times 10^{-9}}{25}=\dfrac{36}{25}\,\mathrm{V/m}$

• E = 25/36: 분자와 분모를 뒤집은 값이다.
• E = 36/5: 전계가 거리의 제곱에 반비례한다는 점을 놓치고 r로만 나눈 값(전위 꼴)이다.
• E = 5/36: 거리 1제곱으로 나눈 값을 다시 뒤집은 것으로 근거가 없다.

전원이 공급하는 전력은 유효전력 1,500 W, 무효전력 -500 Var이다.

병렬부 임피던스와 전체 임피던스는
$Z_p=\dfrac{5\times(-j10)}{5-j10}=4-j2\,\mathrm{\Omega}$
$Z=2+4-j2=6-j2\,\mathrm{\Omega},\quad |Z|^2=40$

$|I|^2=\dfrac{100^2}{40}=250$
$P=|I|^2\times 6=1500\,\mathrm{W},\quad Q=|I|^2\times(-2)=-500\,\mathrm{Var}$
용량성이므로 무효전력은 음(-)으로 나타난다.

• 유효전력 1,500 W, 무효전력 500 Var: 크기는 같지만 용량성 부하의 무효전력 부호를 양으로 잘못 둔 것이다.
• 유효전력 -500 W, 무효전력 1,500 Var: R, C로만 된 수동 부하가 소비하는 유효전력은 음이 될 수 없다.
• 유효전력 -1,500 W, 무효전력 500 Var: 유효전력과 무효전력의 부호를 모두 뒤집은 것이다.

옳은 설명은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.

R, L, C가 모두 전원에 병렬이므로 각 소자 양단 전압은 전원 전압과 같고(ㄱ), 공진이면 L과 C의 서셉턴스가 상쇄되어 전원 전류는 모두 R로만 흐른다(ㄷ). 에너지를 소비하는 소자는 저항뿐이다(ㅁ).

• ㄴ: 병렬 어드미턴스는 $Y=\dfrac{1}{R}+j\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)$이므로 제시된 식은 옳지 않다.
• ㄹ: L 전류는 전압보다 90° 뒤지고 C 전류는 90° 앞서므로 두 전류는 역위상(180° 차)이다.

옳은 설명은 상전압이 선전류보다 $tan^{-1}(6/8)$만큼 앞선다는 것이다.

Y결선이므로 상전류와 선전류가 같다.
$|Z|=\sqrt{8^2+6^2}=10\,\mathrm{\Omega},\quad I=\dfrac{100}{10}=10\,\mathrm{A}$
유도성 부하라 전압이 전류보다 $\theta=\tan^{-1}\dfrac{6}{8}$만큼 앞선다.

• 상전류 10 A, 선전류 10√3 A: Y결선에서는 선전류도 10 A이다.
• 피상전력 3√3 kVA: $S=3VI=3\times 100\times 10=3\,\mathrm{kVA}$이다.
• 무효전력 2.4 kVar: $Q=3I^2X=3\times 10^2\times 6=1.8\,\mathrm{kVar}$이다.

정상상태 충전 전하는 Q = VC·R(2)/(R(1)+R(2))이다.

직류 정상상태에서 인덕터는 단락, 커패시터는 개방으로 본다. 따라서 전류는 R(1), L, R(2)로만 흐른다.
$I=\dfrac{V}{R_1+R_2}$

C는 L과 R(2)의 직렬부와 병렬이므로 그 전압은 R(2) 전압과 같다.
$V_C=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}V,\quad Q=CV_C=VC\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$

• Q = VC: 커패시터에 전원 전압 전체가 걸린다고 본 것으로, R(1)의 전압강하를 무시했다.
• Q = VC(R(2)/R(1)): 분압비가 아니라 저항비를 쓴 식이다.
• Q = VC·R(1)/(R(1)+R(2)): C와 병렬인 쪽이 R(2)인데 R(1) 전압을 쓴 것이다.

이 회로의 소비전력은 약 3,250 W이다.

비정현파 전력은 같은 주파수 성분끼리만 곱해 더한다.
$P=V_0I_0+V_1I_1\cos\theta_1$

직류분: $200\times15=3000\,\mathrm{W}$
기본파: $\dfrac{141}{\sqrt{2}}\times\dfrac{7.1}{\sqrt{2}}\times\cos60^{\circ}=\dfrac{1001.1}{2}\times0.5\approx250\,\mathrm{W}$
합계: $P\approx3000+250=3250\,\mathrm{W}$

• 3,000은 직류분 전력만 계산하고 기본파 전력을 빠뜨린 값이다.
• 3,500은 기본파를 최댓값끼리 곱해 실횻값 환산을 빠뜨린 값이다.
• 4,000은 실횻값 환산과 역률 $\cos60^{\circ}$를 모두 빠뜨린 값이다.

발생하는 기전력은 125 V이다.

전자력 $F=BIl$에서 같은 자계·같은 도체이므로 $Bl=\dfrac{F}{I}=\dfrac{5}{2}=2.5\,\mathrm{T\cdot m}$이다.

유도기전력 $e=Blv=2.5\times50=125\,\mathrm{V}$이다.

• 62.5는 $Bl$을 절반으로 잡은 값이다.
• 150은 $Bl=2.5$와 속도 50으로 얻어지지 않는 값이다.
• 250은 힘을 전류로 나누지 않고 $F\times v$로 계산한 값이다.

과도성분이 없으려면 R = 40 Ω이어야 한다.

R-C 직렬 가지와 R-L 직렬 가지가 병렬인 회로는 정저항 조건 $R=\sqrt{\dfrac{L}{C}}$을 만족하면 합성 임피던스가 주파수와 무관한 순저항 R이 되어 과도전류가 생기지 않는다.

$R=\sqrt{\dfrac{16\times 10^{-3}}{10\times 10^{-6}}}=\sqrt{1600}=40\,\mathrm{\Omega}$

• 10 Ω: $R^2=100$으로 정저항 조건 1600과 맞지 않는다.
• 20 Ω: $R^2=400$으로 L/C의 4분의 1에 해당한다.
• 30 Ω: $R^2=900$으로 조건을 만족하지 않는다.

평형 시 R(x) = 6 Ω, L(x) = 12 mH이다.

R(1)∥C(1) 변과 마주 보는 변이 R(x)-L(x), R(3)과 마주 보는 변이 R(2)이므로 대변 임피던스 곱이 같다.
$Z_1(R_x+j\omega L_x)=R_2R_3$

$R_x+j\omega L_x=R_2R_3\left(\dfrac{1}{R_1}+j\omega C_1\right)=\dfrac{12}{2}+j\omega(12\times 10^{-3})$
$R_x=6\,\mathrm{\Omega},\quad L_x=R_2R_3C_1=12\times 10^{-3}\,\mathrm{H}=12\,\mathrm{mH}$

• R(x) 3 Ω, L(x) 9 mH: 저항과 인덕턴스 모두 평형 조건식과 맞지 않는다.
• R(x) 9 Ω, L(x) 15 mH: $R_2R_3/R_1=6$과 다르다.
• R(x) 12 Ω, L(x) 18 mH: R(1)로 나누지 않은 곱 12를 그대로 쓴 값이다.

전압이 전류보다 45° 앞서려면 X(L) = 2 Ω이다.

위쪽 병렬부와 아래쪽 병렬부의 임피던스는
$\dfrac{(j1)(-j2)}{j1-j2}=j2\,\mathrm{\Omega},\quad \dfrac{(-j3)(jX_L)}{jX_L-j3}=-j\dfrac{3X_L}{X_L-3}$

45° 앞서려면 리액턴스 = 저항(8 Ω)이어야 하므로
$2-\dfrac{3X_L}{X_L-3}=8 \Rightarrow -3X_L=6X_L-18 \Rightarrow X_L=2\,\mathrm{\Omega}$
확인: $X_L=2$이면 아래 병렬부는 $j6$, 전체 $Z=8+j8$이다.

• 1 Ω: 아래 병렬부가 $j1.5$가 되어 전체 리액턴스가 3.5 Ω에 그친다.
• 3 Ω: $-j3$과 병렬 공진하여 임피던스가 무한대가 된다.
• 4 Ω: 아래 병렬부가 $-j12$로 용량성이 되어 전류가 앞선다.

상전류는 44 A, 선전류는 44√3 A이다.

부하가 Δ결선이므로 각 상에 선간전압 220 V가 그대로 걸린다.
$|Z|=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{\Omega},\quad I_p=\dfrac{220}{5}=44\,\mathrm{A}$

Δ결선의 선전류는 상전류의 √3배이다.
$I_l=\sqrt{3}I_p=44\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

• 상전류 44√3 A, 선전류 132 A: 상전류에 √3을 잘못 곱한 값이다.
• 상전류 44 A, 선전류 44√2 A: 선전류 배수는 √2가 아니라 √3이다.
• 상전류 44√2 A, 선전류 88 A: 실횻값 계산에 √2를 끼워 넣은 것으로 근거가 없다.

선전류는 I = 25√3 A이다.

안쪽 Δ결선 저항 R을 Y로 바꾸면 한 상이 $R/3$이 되어 바깥 직렬 R과 합해 한 상 저항은
$R+\dfrac{R}{3}=\dfrac{4}{3}\,\mathrm{\Omega}$

Y 한 상에는 선간전압/√3이 걸리므로
$I=\dfrac{100/\sqrt{3}}{4/3}=\dfrac{75}{\sqrt{3}}=25\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

• 25 A: 75를 √3이 아니라 3으로 나눈 값이다.
• 75 A: 상전압 대신 선간전압 100 V를 그대로 한 상에 건 값이다.
• 75√3 A: Y 등가 상전압에 √3을 나누지 않고 곱한 값이다.

등가 임피던스는 Ż(ac) = 2 - j(1/3) Ω이다.

b-c 사이 두 가지는 $R_2+jX_L=2+j1$과 $R_3+jX_C=1-j1$이고, 이 둘이 병렬이다.
$Z_{bc}=\dfrac{(2+j1)(1-j1)}{(2+j1)+(1-j1)}=\dfrac{3-j1}{3}=1-j\dfrac{1}{3}$

여기에 R(1)이 직렬로 더해진다.
$Z_{ac}=1+1-j\dfrac{1}{3}=2-j\dfrac{1}{3}\,\mathrm{\Omega}$

• 2 + j(1/3): 병렬부 허수부 부호를 뒤집은 값으로, 실제 병렬부는 용량성이다.
• 2 - j(1/4): 분모를 두 가지 합성 임피던스 크기 등으로 잘못 잡은 값이다.
• 2 + j(1/4): 허수부 크기와 부호가 모두 맞지 않는다.

전류는 22 A, 역률은 0.6이다.

합성 임피던스: $Z=R+j(X_L+X_C)=6+j(12-4)=6+j8\,\mathrm{\Omega}$
$|Z|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10\,\mathrm{\Omega}$

전류: $I=\dfrac{220}{10}=22\,\mathrm{A}$
역률: $\cos\theta=\dfrac{R}{|Z|}=\dfrac{6}{10}=0.6$

• 전류 10 A·역률 0.6은 임피던스 크기 $10\,\mathrm{\Omega}$을 전류로 혼동한 값이다.
• 전류 $10\sqrt{2}\,\mathrm{A}$·역률 0.8은 전류 크기도 틀리고, 역률을 무효율 $\sin\theta=0.8$과 혼동한 값이다.
• 전류 $22\sqrt{2}\,\mathrm{A}$·역률 0.8은 실횻값 220 V를 최댓값처럼 다루고 역률을 무효율과 혼동한 값이다.

전압원 전압은 V = 17 V, 전류는 I = 3 A이다.

왼쪽 위 마디는 6 V 전원에 붙어 6 V, 오른쪽 위 마디는 2 Ω 양단이 8 V이므로 8 V이다. 위쪽 2 Ω에는 $(8-6)/2=1\,\mathrm{A}$가 오른쪽에서 왼쪽으로 흐른다.

오른쪽 마디 KCL(유입 2 A = 2 Ω 4 A + 위쪽 2 Ω 1 A + 3 Ω 가지 i)에서 $i=-3\,\mathrm{A}$, 즉 3 Ω 가지로 3 A가 위로 올라온다.
$V=8+3\times 3=17\,\mathrm{V}$

왼쪽 마디에서 나가는 전류는 전류원 2 A와 3 Ω의 $6/3=2\,\mathrm{A}$, 들어오는 전류는 1 A이므로 6 V 전원은 $2+2-1=3\,\mathrm{A}$를 공급하고, 아래 도선의 I는 표시 방향으로 3 A이다.

• V 1 V, I 3 A: 전류는 맞지만, 3 Ω 가지로 위로 3 A가 흐르므로 전압원 전압은 8 V에 9 V를 더한 17 V여야 한다.
• V 1 V, I -3 A: 전압과 전류 방향을 모두 반대로 잡은 값이다.
• V 17 V, I -3 A: 전압은 맞지만 6 V 전원이 전류를 공급하는 방향을 반대로 본 값이다.