16년 1회차

내부저항과 같은 부하저항을 연결할 때 최대 부하전력은 50 W이다.

최대전력 전달 조건은 부하저항이 내부저항과 같을 때이며, 이때의 전력은 다음과 같다.
$P_{max}=\dfrac{E^2}{4r}$
$=\dfrac{20^2}{4\times 2}=\dfrac{400}{8}=50\,\mathrm{W}$

• 200 W는 $E^2/r$로 부하를 단락한 것처럼 계산한 값이며, 실제로 단락 시 부하전력은 0이다.
• 100 W는 분모의 4 대신 2를 써서 $E^2/(2r)$로 계산한 값이다.
• 75 W는 최대전력 전달 조건에서 나오지 않는 값이다.

AB 사이 전압이 0이므로 브리지 평형 상태이고, $R_x=400\,\mathrm{\Omega}$이다.

위쪽 오른편 가지는 100 Ω과 가변저항 100 Ω이 직렬이라 $200\,\mathrm{\Omega}$이다. 평형 조건(대각 곱이 같음)으로
$100\times R_x=200\times 200$
$R_x=400\,\mathrm{\Omega}$

• 300 Ω: 평형 조건을 만족하지 않아 A, B 전위가 달라진다.
• 200 Ω: 위쪽 오른편 저항(200 Ω)과 같게 둔 값으로, 왼쪽 위·아래 비(1:2)를 반영하지 못했다.
• 100 Ω: 가변저항 값만 대입한 값으로 직렬 합 200 Ω을 빠뜨렸다.

상호 인덕턴스는 가극성, 32 mH이다.

전류 I는 L1의 점 표시 쪽(위)으로 들어가고, 아래 도선을 거쳐 L2의 점 표시 쪽(아래)으로 들어간다. 두 코일 모두 점 단자로 전류가 유입되므로 자속이 서로 더해지는 가극성(가동 결합)이다.

$M=k\sqrt{L_1L_2}=0.8\sqrt{20\times 80}=0.8\times 40=32\,\mathrm{mH}$

• 가극성, 40 mH: 결합계수 0.8을 곱하지 않은 값이다.
• 감극성, 32 mH: 크기는 맞지만 두 전류가 모두 점 단자로 들어가므로 감극성이 아니다.
• 감극성, 40 mH: 극성과 크기가 모두 틀렸다.

전파 정류 출력의 평균전압은 최댓값의 $2/\pi$배이므로 $600\sqrt{2}/\pi\,\mathrm{V}$이다.

주어진 전압의 최댓값은 $V_m=300\sqrt{2}\,\mathrm{V}$이다.
전파 정류 평균값: $V_{av}=\dfrac{2V_m}{\pi}$
$=\dfrac{2\times 300\sqrt{2}}{\pi}=\dfrac{600\sqrt{2}}{\pi}\,\mathrm{V}$

• 150 V는 실횻값 300 V를 반으로 나눈 값으로, 평균값 공식과 관계없다.
• $300/2\pi$는 최댓값 대신 실횻값을 쓰고 계수 2를 분모로 옮긴 값으로, 평균값의 4분의 1에도 못 미친다.
• $300/\pi$는 실횻값 300 V를 최댓값처럼 다루어 반파 정류 공식 $V_m/\pi$를 적용한 값이다.

전체 전류는 20 A이다.

R과 $X_L$이 전원에 병렬이므로 각 가지에 96 V가 걸린다.
$I_R=\dfrac{96}{8}=12\,\mathrm{A},\quad I_L=\dfrac{96}{6}=16\,\mathrm{A}$

두 전류는 위상이 90° 다르므로 벡터 합으로 구한다.
$I=\sqrt{12^2+16^2}=20\,\mathrm{A}$

• 38 A: 가지 전류 12 A, 16 A를 어떻게 조합해도 나오지 않는 값이다.
• 28 A: 두 가지 전류를 단순 산술 합한 값이다.
• 9.6 A: 직렬 임피던스 10 Ω으로 나눈 값으로 병렬 회로에 맞지 않는다.

(b)의 정전용량은 (a)보다 25% 증가한다.

극판에 나란히 유전체가 나뉜 경우는 두 콘덴서의 병렬 연결로 본다. 평행판 콘덴서는 $C=\dfrac{\varepsilon S}{d}$이다.

$C_a=\dfrac{\varepsilon\cdot 4\pi r^2}{d}$
$C_b=\dfrac{2\varepsilon\cdot\pi r^2}{d}+\dfrac{\varepsilon\cdot 3\pi r^2}{d}=\dfrac{5\varepsilon\pi r^2}{d}$
$\dfrac{C_b}{C_a}=\dfrac{5}{4}=1.25$

• 15.7% 증가: 면적 비를 잘못 잡은 값으로 병렬 합성 비 5/4와 맞지 않는다.
• 31.4% 증가: 병렬 합성 비 5/4와 맞지 않는 값이다.
• 50% 증가: 중심 영역 면적이 전체의 절반인 것처럼 본 값이다(실제는 1/4).

무효전력은 $4wLI^2$이다.

순수 유도성 부하의 무효전력은 리액턴스 × 전류의 제곱이다.
$Q=X I^2=wL\times(2I)^2=4wLI^2\,\mathrm{Var}$

• $2wLI^2$: 전류 2I를 제곱하지 않고 계수 2만 곱한 값이다.
• $4wLI$: 전류를 한 번만 곱해 차원이 전력이 아니다.
• $2wLI$: 리액턴스에 전류를 곱한 값으로 전압의 차원이다.

실효값은 7 V이다.

비정현파의 실효값은 직류분과 각 고조파 실효값의 제곱합의 제곱근이다. 각 고조파 최댓값이 $\sqrt{2}$배로 주어졌으므로 실효값은 5, 4, 2 V이다.

$V=\sqrt{2^2+5^2+4^2+2^2}=\sqrt{49}=7\,\mathrm{V}$

• $13\sqrt{2}$: 각 항의 최댓값을 단순 합한 값이다.
• 11: 직류분과 실효값을 산술 합한 값이다.
• 2: 직류분만 취한 값이다.

50초 후 $I_1-I_2$는 약 5 A이다.

두 회로의 시정수는 같다.
$\tau_1=\dfrac{L}{R_1}=\dfrac{100}{20}=5\,\mathrm{s},\quad \tau_2=R_2C=500\times 10^3\times 10\times 10^{-6}=5\,\mathrm{s}$
50초는 시정수의 10배이므로 두 회로 모두 사실상 정상상태이다.

RL 회로는 인덕터가 단락처럼 되어 $I_1\approx\dfrac{100}{20}=5\,\mathrm{A}$, RC 회로는 커패시터 충전이 끝나 $I_2\approx 0$이다.

• 0.02 A: RL 회로의 정상전류 5 A를 반영하지 못한 값이다(RC 회로의 초기전류도 0.2 mA에 불과하다).
• 3 A: 지수 감쇠가 덜 끝난 시점의 값처럼 본 것으로 10τ 경과와 맞지 않는다.
• 10 A: 전원 전압을 잘못 나눈 값으로 정상전류 5 A와 맞지 않는다.

Y결선 부하의 총전력은 P이다.

Δ결선에서는 부하 1상에 선간전압 220 V가 그대로 걸려 1상 전력이 P이다. Y결선으로 바꾸면 1상 전압이 $\dfrac{220}{\sqrt{3}}$로 줄어 전력은 전압 제곱에 비례하므로 1상 전력은 $\dfrac{P}{3}$이다.

$P_Y=3\times\dfrac{P}{3}=P$

• P/3: Y결선 1상의 전력만 구한 값이다.
• $\sqrt{3}P$: 전력이 전압 제곱에 비례함을 놓친 값이다.
• 3P: Δ결선의 총전력으로, 결선을 바꾼 뒤의 값이 아니다.

정상상태에서 $V_c=2\,\mathrm{V}$, $I_R=2\,\mathrm{mA}$이다.

직류 정상상태에서 인덕터는 단락, 커패시터는 개방으로 본다. 회로는 4 kΩ과 1 kΩ의 직렬이 된다.

$I_R=\dfrac{10}{4\times 10^3+1\times 10^3}=2\,\mathrm{mA}$
$V_c=1\times 10^3\times 2\times 10^{-3}=2\,\mathrm{V}$

• 8 V, 20 mA: 4 kΩ 양단 전압을 $V_c$로 보고 전류도 잘못 구한 값이다.
• 2 V, 20 mA: 전압은 맞지만 1 kΩ에 2 V면 전류는 2 mA이다.
• 8 V, 2 mA: 전류는 맞지만 $V_c$는 1 kΩ 양단 전압인 2 V이다.

전기장은 −1.8 V/m이다.

점전하의 전기장은 $E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}$이고, 음전하이므로 $Q=-5\times 10^{-9}\,\mathrm{C}$를 대입한다.
$E=9\times 10^{9}\times\dfrac{-5\times 10^{-9}}{5^2}=-1.8\,\mathrm{V/m}$

음의 부호는 전기장이 전하를 향하는 방향임을 뜻한다.

• 1.8: 크기는 같지만 음전하의 부호를 반영하지 않았다.
• 3.8: 계산값과 맞지 않는 수치이다.
• −3.8: 부호는 반영했으나 크기가 틀렸다.

코일의 인덕턴스는 1 mH이다.

인덕턴스는 쇄교자속을 전류로 나눈 값이다.
$L=\dfrac{N\Phi}{I}$
$=\dfrac{10\times 0.001}{10}=0.001\,\mathrm{H}=1\,\mathrm{mH}$

• 100 mH는 위 계산 결과의 100배로, 쇄교자속과 전류를 바르게 대입하면 나오지 않는다.
• 10 mH는 전류로 나누는 과정을 빠뜨린 $N\Phi$ 값에 해당한다.
• 0.1 mH는 권선수를 곱하지 않고 $\Phi/I$만 계산한 값이다.

도체가 받는 힘은 위쪽(㉠) 방향이다.

자기장은 N극에서 S극으로 향하므로 오른쪽이고, 전류는 도체를 따라 보는 사람 쪽(앞쪽)으로 흐른다. 플레밍의 왼손 법칙($\vec F=I\vec l\times\vec B$)을 적용하면 앞쪽 × 오른쪽 = 위쪽이다.

• 왼쪽(㉡): 자기장과 나란한 방향이라 힘이 생기지 않는 방향이다.
• 오른쪽(㉢): 역시 자기장 방향으로, 전자력은 자기장에 수직이다.
• 아래쪽(㉣): 전류나 자기장 방향 하나를 반대로 잡았을 때의 결과이다.

권선비 $N_1:N_2=1:5$로, 1차 권선수가 더 적은 승압 변압기이다.

이상 변압기는 입출력 전력이 같으므로 2차 전류를 먼저 구한다.
$I_2=\dfrac{P}{V_2}=\dfrac{2200}{220}=10\,\mathrm{A}$

전류비는 권선비의 역수이다.
$\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}$

• 5:1은 전류비를 권선비와 같은 방향으로 놓아 뒤집힌 결과이다.
• 1:10은 1차 전압 $V_1=P/I_1=2200/50=44\,\mathrm{V}$와 2차 전압 220 V의 비 1:5와 맞지 않는다.
• 10:1이면 1차 전류가 2차 전류의 10분의 1인 1 A여야 하지만, 실제 1차 전류 50 A는 2차 전류 10 A보다 크다.

임피던스는 $\sqrt{3}+j$이다.

벡터도에서 전압은 크기 20 V로 전류($10\angle 0^\circ\,\mathrm{A}$)보다 30° 앞선다.
$\dot{Z}=\dfrac{\dot V}{\dot I}=\dfrac{20\angle 30^\circ}{10\angle 0^\circ}=2\angle 30^\circ$

$2(\cos 30^\circ+j\sin 30^\circ)=\sqrt{3}+j$

• $\sqrt{3}-j$: 전압이 전류보다 뒤지는(용량성) 경우의 값이다.
• $1+j\sqrt{3}$: 위상각을 60°로 본 값이다.
• $1-j\sqrt{3}$: 위상각을 −60°로 본 값이다.

임피던스가 $2\angle 30^\circ$라는 설명이 옳다.

그래프에서 전압은 최댓값 20, 원점보다 40° 앞서 시작하고 전류는 최댓값 10, 10° 앞서 시작한다.
$v=20\sin(\omega t+40^\circ),\quad i=10\sin(\omega t+10^\circ)$

$\dot Z=\dfrac{20}{10}\angle(40^\circ-10^\circ)=2\angle 30^\circ$ — 전압이 전류보다 30° 앞선다.

• 위상차 40°: 전압의 위상각만 본 값으로, 실제 위상차는 30°이다.
• $v=20\sin(\omega t-40^\circ)$: 전압은 원점보다 앞서 시작하므로 +40°이다.
• $i=10\sqrt{2}\sin(\omega t+10^\circ)$: 그래프의 최댓값이 10이므로 $\sqrt{2}$를 곱하지 않는다.

부하임피던스는 $600-j150\,\mathrm{\Omega}$, 최대전력은 0.06 W이다.

최대전력 전달 조건은 부하임피던스가 테브난 임피던스의 공액복소수일 때이다.
$\dot Z_L=\overline{\dot Z_{Th}}=600-j150$

이때 리액턴스가 상쇄되어 전류는 $\dfrac{12}{1200}=0.01\,\mathrm{A}$이다.
$P_L=\dfrac{V_{Th}^2}{4R_{Th}}=\dfrac{12^2}{4\times 600}=0.06\,\mathrm{W}$

• $600+j150$, 0.6 W: 공액이 아닌 같은 임피던스이며 전력도 10배 크다.
• $600-j150$, 0.6 W: 임피던스는 맞지만 전력 계산이 틀렸다.
• $600+j150$, 0.06 W: 이 부하에서는 리액턴스가 상쇄되지 않아 최대전력이 전달되지 않는다.

선전류의 크기는 $20\sqrt{3}\,\mathrm{A}$이다.

부하가 Δ결선이므로 각 상에 선간전압 300 V가 걸린다.
$|\dot Z_P|=\sqrt{12^2+9^2}=15\,\mathrm{\Omega},\quad I_P=\dfrac{300}{15}=20\,\mathrm{A}$

Δ결선에서 선전류는 상전류의 $\sqrt{3}$배이다.
$I_L=\sqrt{3}\times 20=20\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

• 10 A: 상전류를 10 A로 잘못 구하고 $\sqrt{3}$배도 하지 않은 값이다.
• $10\sqrt{3}$ A: $\sqrt{3}$배 관계는 맞지만 상전류를 10 A로 잘못 구한 값이다.
• 20 A: Δ결선의 상전류로, 선전류가 아니다.

초기전류 $i(0^+)$는 20 mA이다.

스위치를 닫기 전 정상상태에서 커패시터는 개방이므로 $i=0$이고, 전류원 10 mA는 모두 4 kΩ으로 흐른다. 이때 마디 전압이 커패시터 전압과 같다.
$V=10\times 10^{-3}\times 4\times 10^3=40\,\mathrm{V}$

스위치를 닫으면 마디가 단락되고, 커패시터 전압은 순간 변하지 않으므로 40 V가 2 kΩ에 걸린다.
$i(0^+)=\dfrac{40}{2\times 10^3}=20\,\mathrm{mA}$

• 0 mA: 스위치를 닫기 전의 커패시터 전류이다.
• 2 mA: 커패시터 전압이나 저항값을 잘못 대입한 값이다.
• 10 mA: 전류원 값을 그대로 쓴 것으로, 스위치가 전류원을 단락시켜 i와 무관해진다.