17년 1회차

테브난 등가전압은 4 V, 등가저항은 4 Ω이다.

a, b가 개방되면 오른쪽 2 Ω에는 전류가 흐르지 않으므로 전류원의 2 A가 모두 가운데 2 Ω으로 흐른다.
$V_{th}=2\times 2=4\,\mathrm{V}$

등가저항은 전류원을 개방하고 단자에서 본다. 4 Ω은 개방된 전류원과 직렬이라 전류가 흐르지 않아 빠지고, 가운데 2 Ω과 오른쪽 2 Ω만 직렬로 남는다.
$R_{th}=2+2=4\,\mathrm{\Omega}$

• 4 V, 3.33 Ω: 등가저항에 전류원과 직렬인 4 Ω을 병렬로 포함시킨 잘못된 값이다.
• 12 V, 4 Ω: 전류원 2 A에 4 Ω과 2 Ω을 모두 곱한 전압으로, 개방 단자 전압이 아니다.
• 12 V, 3.33 Ω: 전압과 저항이 모두 틀렸다.

직렬 커패시터는 모두 같은 전하량을 가지므로 C1의 전하량은 합성 커패시턴스에 전압을 곱한 $5.60\times 10^{-4}\,\mathrm{C}$이다.

합성 커패시턴스:
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{150}=\dfrac{6+5+4}{600}=\dfrac{1}{40}$
$C=40\,\mathrm{\mu F}$

전하량:
$Q=CV=40\times 10^{-6}\times 14=5.60\times 10^{-4}\,\mathrm{C}$

• $2.86\times 10^{-6}$: $40\,\mathrm{\mu F}\times 14\,\mathrm{V}$와 맞지 않아 공통 전하량이 아니다.
• $2.64\times 10^{-5}$: 마찬가지로 합성 용량과 전압의 곱과 맞지 않는다.
• $5.18\times 10^{-3}$: 직렬을 병렬처럼 합산(370 μF)해 14 V를 곱한 값이다.

30 W 전구로 바꾸면 회로 전류가 줄어 전열기의 소비전력이 감소한다.

정격전력이 작은 전구일수록 저항이 크다.
$R=\dfrac{V^2}{P}$ 이므로 $R_{60}=\dfrac{220^2}{60}\approx 807\,\mathrm{\Omega}$, $R_{30}=\dfrac{220^2}{30}\approx 1613\,\mathrm{\Omega}$

직렬 합성저항이 커지므로 전류 $I=\dfrac{V}{R_{total}}$가 줄고, 저항이 일정한 전열기의 전력 $P=I^2R$도 전류의 제곱에 비례해 감소한다.

• 전열기 소비전력 증가: 전류가 줄어드므로 오히려 감소한다.
• 전열기에 흐르는 전류 증가: 합성저항이 커져 전류는 감소한다.
• 전열기 소비전력 불변: 전류가 변하므로 전력도 변한다.

복소전력을 구하면 유효전력 1,000 W, 무효전력 −500 Var이다.

복소전력은 전압과 전류의 켤레복소수를 곱한다.
$S=V\bar{I}=(100+j50)(6-j8)$
$=600-j800+j300+400=1000-j500$

실수부가 유효전력, 허수부가 무효전력이며 음의 무효전력은 전류가 전압보다 앞서는 용량성(진상) 부하임을 뜻한다.

• 200, 1,100: 켤레를 취하지 않고 $VI=(100+j50)(6+j8)=200+j1100$을 그대로 곱한 값으로, 복소전력이 아니다.
• 200, −1,100: 위 $VI$의 켤레값으로, 역시 켤레 규약을 잘못 적용한 값이다.
• 1,000, 500: 무효전력 부호가 반대이다. 전류 위상(약 53°)이 전압 위상(약 27°)보다 앞서므로 음수가 맞다.

최대전력 전달 조건은 부하저항 = 테브난 등가저항이므로 $R_L=4\,\mathrm{\Omega}$, 최대전력은 $100\,\mathrm{W}$이다.

부하 쪽에서 본 등가저항(전압원 단락):
$R_{th}=\dfrac{6\times 12}{6+12}=4\,\mathrm{\Omega}$

등가전압(12 Ω 양단 분압):
$V_{th}=60\times\dfrac{12}{6+12}=40\,\mathrm{V}$
$P_{max}=\dfrac{V_{th}^2}{4R_{th}}=\dfrac{1600}{16}=100\,\mathrm{W}$

• 4 Ω, 225 W: 저항은 맞지만 테브난 전압 대신 전원 전압 60 V를 넣은 값($60^2/16$)이다.
• 6 Ω, 100 W: 직렬 6 Ω만 등가저항으로 본 값으로, 12 Ω과의 병렬을 빠뜨렸다.
• 6 Ω, 225 W: 등가저항과 등가전압을 모두 잘못 적용한 값이다.

앙페르 법칙의 미분형 $J=\nabla\times H$로 계산하면 전류밀도 크기는 4√5 $A/m^{2}$이다.

$H=yz^2\,a_x$는 x성분만 있으므로
$\nabla\times H=\dfrac{\partial H_x}{\partial z}a_y-\dfrac{\partial H_x}{\partial y}a_z=2yz\,a_y-z^2\,a_z$

점 P(5, 2, 2)를 대입하면 $J=8\,a_y-4\,a_z$
$|J|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\,\mathrm{A/m^2}$

• 4: z성분 크기만 취한 값이다.
• 12: 두 성분 크기를 단순히 더한 값으로, 벡터 크기가 아니다.
• 12√5: 올바른 크기 $4\sqrt{5}$의 3배로, 성분 계산과 맞지 않는다.

두 유전체는 전극 사이에 직렬로 놓여 같은 전하가 충전되므로, 전압은 유전율에 반비례해 유전체 B의 전압은 $50\,\mathrm{V}$이다.

면적과 두께가 같으면 정전용량은 비유전율에 비례한다($C\propto\varepsilon_r$). 전하가 같으므로 $V=Q/C\propto 1/\varepsilon_r$이다.
$\dfrac{V_B}{V_A}=\dfrac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B}=\dfrac{5}{8}$
$V_B=80\times\dfrac{5}{8}=50\,\mathrm{V}$

• 80 V: 두 유전체 전압이 같다고 본 값으로, 병렬 접속에 해당한다.
• 96 V: 비율 계산을 잘못한 값이다.
• 128 V: 전압이 유전율에 비례한다고 거꾸로 적용한 값($80\times 8/5$)이다.

두 코일은 차동 결합이므로 합성 인덕턴스는 $4\,\mathrm{H}$, 축적 에너지는 $50\,\mathrm{J}$이다.

전류는 L1의 점 단자로 들어가 L1을 지난 뒤 L2의 점 없는 단자로 들어가 점 단자로 나온다. 한 코일은 점으로 유입, 다른 코일은 점에서 유출이므로 자속이 서로 상쇄된다.
$L=L_1+L_2-2M=8+4-2\times 4=4\,\mathrm{H}$

$W=\dfrac{1}{2}LI^2=\dfrac{1}{2}\times 4\times 5^2=50\,\mathrm{J}$

• 10 J: 전류를 제곱하지 않은 값($\tfrac{1}{2}\times 4\times 5$)이다.
• 25 J: 합성 인덕턴스를 2 H로 잘못 본 값이다.
• 100 J: $\tfrac{1}{2}$을 빠뜨린 값($4\times 25$)이다.

전압이 양(+)으로 막 올라가는 구간에서 순시전력이 음(−)이 되므로 전류가 전압보다 늦게 따라오는 지상 역률이다.

$p(t)=v(t)\,i(t)$이다. 그래프에서 ωt = 0 직후 v는 양인데 p가 음이므로 이 짧은 구간에서 i는 아직 음이다. 즉 전류는 전압보다 늦게 0을 통과한다(ωt = π 직후도 같은 양상).

• 동상: 전압과 전류가 동상이면 순시전력이 항상 0 이상이라 음의 구간이 생기지 않는다.
• 진상: 전류가 앞서면 음의 구간이 영점 직후가 아니라 영점 직전(ωt = π 앞)에 나타난다.
• 알 수 없다: 음의 전력 구간 위치로 위상 관계를 판정할 수 있다.

실횻값은 같은 저항에서 같은 전력(열)을 내는 직류값으로, 교류가 생성하는 전력·에너지의 효능을 나타낸다.

정의는 순싯값 제곱의 1주기 평균의 제곱근이다.
$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T v^2\,dt}=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}$

전력이 $v^2$에 비례하므로 제곱 평균으로 정의된 실횻값이 전력 효과를 그대로 담는다.

• 최댓값을 나타낸다: 최댓값은 $V_m$이고 실횻값은 그 $1/\sqrt{2}$배이다.
• 반주기 평균값이다: 이는 평균값 $2V_m/\pi$의 정의이다.
• 최댓값과 평균값의 비율이다: 실횻값은 비율이 아니라 전압 크기 자체이다.

평형 3상 Y결선에서 상전압은 선간전압의 1/√3배이므로 100/√3 V이다.

Y결선은 선간전압이 두 상전압의 페이저 차이므로 $V_l=\sqrt{3}\,V_p$이다.
$V_p=\dfrac{V_l}{\sqrt{3}}=\dfrac{100}{\sqrt{3}}\approx 57.7\,\mathrm{V}$

• 100√3: 상전압에서 선간전압을 구할 때처럼 √3을 곱한 값이다.
• 100√2: 실횻값과 최댓값 관계(√2)를 잘못 적용한 값이다.
• 100/√2: 역시 √2 관계를 적용한 값으로, 3상 결선과 무관하다.

임피던스의 용량성 리액턴스 성분으로부터 $C=\dfrac{4}{\sqrt{3}\,\omega}$이다.

$Z=\dfrac{V}{I}=\dfrac{1\angle 0^\circ}{2\angle 60^\circ}=0.5\angle -60^\circ$
$Z=0.25-j\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

허수부가 용량성 리액턴스이므로
$\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
$C=\dfrac{4}{\sqrt{3}\,\omega}$

• $\dfrac{4}{\sqrt{2}\,\omega}$: 위상각을 45°로 본 값이다.
• $\dfrac{2}{\sqrt{2}\,\omega}$: 위상각과 임피던스 크기를 모두 잘못 적용했다.
• $\dfrac{2}{\sqrt{3}\,\omega}$: 리액턴스를 $\sin 60^\circ$로 보아 임피던스 크기 0.5를 곱하지 않은 값이다.

충분한 시간이 지나면 커패시터 전압은 전원 전압인 10 V에 수렴할 뿐 이를 초과하지 않으므로, 10 V를 초과한다는 설명이 옳지 않다.

스위치를 닫은 뒤 커패시터 전압은
$v_C(t)=10\left(1-e^{-t/RC}\right)$
로 단조 증가하며 $t\to\infty$에서 10 V가 된다.

• 시정수가 RC라는 설명: RC 직렬 회로의 시정수 정의대로 옳다.
• 충분한 시간 뒤 전류가 거의 흐르지 않는다는 설명: 충전이 끝나면 커패시터가 개방처럼 동작하므로 옳다.
• 3τ 동안 정상상태의 90% 이상 충전된다는 설명: $1-e^{-3}\approx 0.95$로 약 95%이므로 옳다.

저항이 일정하면 전력은 전압의 제곱에 비례하므로 소비전력은 18 W이다.

$P=\dfrac{V^2}{R}\propto V^2$
$P^{\prime}=50\times(0.6)^2=50\times0.36=18\,\mathrm{W}$

전압을 60%로 낮추면 전력은 36%로 줄어든다.

• 30: 전력이 전압에 단순 비례한다고 본 값(50×0.6)이다.
• 16: 18 W보다 작아 제곱 비례 결과와 맞지 않는다.
• 20: 50×0.4로, 제곱 비례(0.36)가 아닌 값이다.

전류가 전압보다 60° 뒤지므로 임피던스 각은 +60°이고, $Z=25+j25\sqrt{3}\,\mathrm{\Omega}$이다.

$Z=\dfrac{V}{I}=\dfrac{100\angle 0^\circ}{2\angle -60^\circ}=50\angle 60^\circ$
$Z=50\cos 60^\circ+j50\sin 60^\circ=25+j25\sqrt{3}$

• $25\sqrt{3}-j25$: 크기는 50이지만 각이 −30°로, 전류가 앞서는 경우다.
• $25\sqrt{3}+j25$: 각이 30°로 위상차 60°와 맞지 않는다.
• $25-j25\sqrt{3}$: 각이 −60°인 용량성 임피던스로, 전류가 앞서는 경우다.

코일의 역률은 저항/임피던스이므로 0.25이다.

임피던스 크기: $Z=\dfrac{V}{I}=\dfrac{220}{11}=20\,\mathrm{\Omega}$
역률: $\cos\theta=\dfrac{R}{Z}=\dfrac{5}{20}=0.25$

확인: 유효전력 $I^2R=11^2\times5=605\,\mathrm{W}$, 피상전력 $VI=2420\,\mathrm{VA}$이므로 비는 0.25이다.

• 0.4: $R/Z=5/20$와 맞지 않는다.
• 0.45: 역률은 0.25로 계산되므로 해당하지 않는다.
• 0.6: $R/Z=0.25$와 맞지 않는 값이다.

평행 도선 사이의 단위길이당 힘 공식을 쓰면 전류는 $\sqrt{3}\,\mathrm{A}$이다.

$F=\dfrac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}=\dfrac{2\times 10^{-7}I^2}{d}\,[\mathrm{N/m}]$

값 대입($d=0.2\,\mathrm{m}$):
$3\times 10^{-6}=\dfrac{2\times 10^{-7}I^2}{0.2}=10^{-6}I^2$
$I^2=3,\quad I=\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

• 1 A: 힘이 $10^{-6}\,\mathrm{N/m}$일 때의 전류다.
• $\sqrt{2}$ A: 힘이 $2\times 10^{-6}\,\mathrm{N/m}$일 때의 전류다.
• 2 A: 힘이 $4\times 10^{-6}\,\mathrm{N/m}$일 때의 전류로, 힘은 전류의 제곱에 비례한다.

주기 2T 중 T 동안만 5 A가 흐르는 듀티비 50% 구형파이므로 실횻값/평균값은 $\sqrt{2}$이다.

$I_{rms}=\sqrt{\dfrac{5^2\times T}{2T}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\,\mathrm{A}$
$I_{av}=\dfrac{5\times T}{2T}=2.5\,\mathrm{A}$

$\dfrac{I_{rms}}{I_{av}}=\dfrac{5/\sqrt{2}}{5/2}=\sqrt{2}$

• 1: 항상 켜진 직류(듀티비 100%)일 때의 비다.
• 2: 듀티비 25%일 때의 비($1/\sqrt{D}$)다.
• $5\sqrt{2}$: 비는 진폭과 무관한 무차원 값이므로 진폭 5가 남을 수 없다.

직류 전원을 오래 인가하면 인덕터는 단락, 커패시터는 개방처럼 동작하므로 전류는 $1\,\mathrm{A}$이다.

커패시터가 있는 2 Ω 가지에는 정상상태에서 전류가 흐르지 않는다. 인덕터 가지는 1 Ω 저항만 남는다.
$I=\dfrac{1}{1}=1\,\mathrm{A}$

• 0.33 A: 1 Ω과 2 Ω을 직렬로 본 값($1/3$)이다.
• 0.5 A: 2 Ω 가지에만 전류가 흐른다고 본 값이다.
• 0.66 A: 커패시터 가지에도 정상 전류가 흐른다고 본 잘못된 값이다.

RL 직렬회로의 시정수는 L/R이며, 인덕턴스를 구하면 0.15 s이다.

쇄교자속에서 인덕턴스: $L=\dfrac{N\phi}{I}=\dfrac{1000\times3\times10^{-2}}{10}=3\,\mathrm{H}$

시정수: $\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{3}{20}=0.15\,\mathrm{s}$

• 0.1: L = 3 H, R = 20 Ω으로 계산한 L/R 값과 맞지 않는다.
• 0.3: 올바른 시정수 0.15 s의 2배로, 맞지 않는다.
• 0.4: L/R = 0.15 s와 맞지 않는다.