17년 2회차

전원 전류 I$_s$는 1.5 mA이다.

왼쪽 가지(12 kΩ 위, 4 kΩ 아래)와 오른쪽 가지(12 kΩ 위, 4 kΩ 아래)의 저항비가 같아 브리지가 평형이므로 가운데 12 kΩ에는 전류가 흐르지 않아 제거할 수 있다.

각 가지는 $12+4=16\,\mathrm{k\Omega}$이고 두 가지가 병렬이다.
$R=\dfrac{16\times 16}{16+16}=8\,\mathrm{k\Omega}$
$I_s=\dfrac{12}{8\times 10^{3}}=1.5\times 10^{-3}\,\mathrm{A}=1.5\,\mathrm{mA}$

• 0.5 mA: 저항을 모두 직렬로 보는 등 합성저항을 지나치게 크게 잡은 값이다.
• 1.0 mA: 합성저항을 12 kΩ으로 잘못 본 값이다.
• 2.0 mA: 합성저항을 6 kΩ으로 작게 잡은 값으로, 평형 브리지의 합성저항과 맞지 않는다.

a, b 단자에서 본 등가 인덕턴스는 1.0 H이다.

오른쪽의 1 H 두 개는 직렬이므로 2 H가 되고, 이것이 단자 양단의 2 H와 병렬로 연결된다(결합 없음).

$L_1=1+1=2\,\mathrm{H}$
$L_{ab}=\dfrac{2\times 2}{2+2}=1\,\mathrm{H}$

• 0.5 H: 세 인덕터를 모두 병렬로 본 값이다.
• 1.5 H: 직병렬 관계를 잘못 결합한 값이다.
• 2.0 H: 병렬 합성을 빠뜨리고 한 가지의 값만 취한 것이다.

자속 변화가 0.2초 동안 0.6 Wb일 때 유도 기전력은 $30\,\mathrm{V}$이다.

패러데이 법칙 $e=N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$로 먼저 권수를 구한다.
$40=N\times\dfrac{0.5-0.1}{0.1}=4N$
$N=10$

같은 코일에 새 조건을 대입한다.
$e=10\times\dfrac{0.6}{0.2}=10\times3=30\,\mathrm{V}$

• 50 V는 처음의 40 V보다 큰 값이지만, 새 조건의 자속 변화율 $3\,\mathrm{Wb/s}$는 처음의 $4\,\mathrm{Wb/s}$보다 작으므로 기전력은 줄어야 한다.
• 70 V도 같은 이유로 40 V보다 클 수 없다.
• 90 V 역시 40 V보다 커서 자속 변화율이 줄어든 조건과 맞지 않는다.

자성체의 투자율은 $0.5\,\mathrm{H/m}$이다.

단위체적당 자계 에너지 밀도는 $w=\dfrac{1}{2}\mu H^2$이다.
$25=\dfrac{1}{2}\mu\times10^2=50\mu$
$\mu=0.5\,\mathrm{H/m}$

• 1.0 H/m를 대입하면 $w=\dfrac{1}{2}\times1.0\times10^2=50\,\mathrm{J/m^3}$으로 조건의 두 배다.
• 1.5 H/m를 대입하면 $w=75\,\mathrm{J/m^3}$으로 조건과 맞지 않는다.
• 2.5 H/m는 $25\div10$처럼 계수 1/2과 제곱을 모두 빠뜨린 값이며, 대입하면 $w=125\,\mathrm{J/m^3}$이다.

유도 리액턴스는 $80\,\Omega$, 소비전력은 $60\,\mathrm{W}$이다.

역률 $\cos\theta=\dfrac{R}{Z}$에서 임피던스를 구한다.
$Z=\dfrac{60}{0.6}=100\,\Omega$
$X_L=\sqrt{100^2-60^2}=80\,\Omega$

전류와 유효전력을 구한다.
$I=\dfrac{100}{100}=1\,\mathrm{A}$
$P=I^2R=1^2\times60=60\,\mathrm{W}$

• 리액턴스 60 Ω, 전력 60 W 조합은 틀리다. 리액턴스가 저항과 같으면 역률이 약 0.71이 되어 조건과 맞지 않는다.
• 리액턴스 60 Ω, 전력 80 W 조합도 같은 이유로 리액턴스부터 틀리다.
• 리액턴스 80 Ω, 전력 80 W 조합은 전력이 틀리다. 전류 1 A에서 저항이 소비하는 전력은 60 W이고 리액턴스는 유효전력을 소비하지 않는다.

전류가 전압보다 $\pi/2\,\mathrm{rad}$ 앞선다는 설명이 옳다.

전압 위상은 $-60^\circ$, 전류 위상은 $+30^\circ$이다.
$\theta=30^\circ-(-60^\circ)=90^\circ$
전류가 90° 앞서므로 순수 용량성 회로이다.

• 역률이 0.5라는 설명은 틀리다. 위상차가 90°이므로 $\cos90^\circ=0$이다.
• 유효전력이 무효전력보다 크다는 설명은 틀리다. 역률 0이므로 유효전력은 0이고 전력은 모두 무효전력이다.
• 리액턴스가 상쇄되어 저항만 남는다는 설명은 틀리다. 그 경우 전압과 전류가 동상이어야 한다.

시정수는 0.2 s, 저항 전압은 $v_R(t)=70e^{-5t}\,\mathrm{V}$이다.

a에 오래 접속된 정상상태에서 인덕터는 단락이므로 전류는
$i(0^-)=\dfrac{70}{10}=7\,\mathrm{A}$
인덕터 전류는 연속이므로 $i(0^+)=7\,\mathrm{A}$이다.

b로 전환하면 전원이 빠지고 R과 L만의 폐회로가 되어 전류가 지수 감쇠한다.
$\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{2}{10}=0.2\,\mathrm{s}$
$v_R(t)=10\times 7e^{-t/0.2}=70e^{-5t}\,\mathrm{V}$

• $0.2,\ 7e^{-5t}$: 시정수는 맞지만 전류 값을 전압으로 쓴 것이다.
• $5,\ 7e^{-0.2t}$: 시정수를 $R/L$로 뒤집고 전압 크기도 틀렸다.
• $5,\ 70e^{-0.2t}$: 초기 전압은 맞지만 시정수를 $R/L$로 뒤집었다.

3상 부하에 공급되는 전력은 480 kW이다.

부하는 한 상이 $4\,\mathrm{\Omega}$와 $10\,\mathrm{mH}$ 직렬인 Y결선이고, 선간전압이 $1000\sqrt{3}\,\mathrm{V}$이므로 상전압은 1000 V이다.

$X_L=\omega L=300\times 0.01=3\,\mathrm{\Omega}$
$|Z|=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{\Omega}$
$I=\dfrac{1000}{5}=200\,\mathrm{A}$

유효전력은 저항에서만 소비된다.
$P=3I^2R=3\times 200^2\times 4=480\,\mathrm{kW}$

• 120 kW: 한 상 전력(160 kW)보다도 작은 값으로, 3상 합계가 아니다.
• 240 kW: 상전압을 잘못 잡거나 상수를 빠뜨린 값이다.
• 360 kW: 역률을 이중으로 곱하는 등 계산 과정이 틀린 값이다.

5 Ω 저항에 공급되는 전력은 250 W이다.

전류원에 5 Ω과 $-j5\,\mathrm{\Omega}$가 병렬로 연결되어 있으므로 합성 어드미턴스로 단자전압을 구한다.
$Y=\dfrac{1}{5}+j\dfrac{1}{5}=0.2+j0.2\,\mathrm{S}$
$|V|=\dfrac{10}{0.2\sqrt{2}}=25\sqrt{2}\,\mathrm{V}$

저항 전력은 저항 양단 전압으로 구한다.
$P=\dfrac{|V|^2}{R}=\dfrac{(25\sqrt{2})^2}{5}=\dfrac{1250}{5}=250\,\mathrm{W}$

• 150 W: 전류 분배를 잘못 계산한 값이다.
• 200 W: 저항 전류의 크기를 잘못 잡은 값이다.
• 300 W: 저항 전류의 크기 $|V|/5=5\sqrt{2}\,\mathrm{A}$와 맞지 않는 값이다.

부하저항 R$_L$은 4 Ω이다.

R$_L$을 떼고 테브난 등가회로를 구한다. 두 전원 가지가 병렬이므로 밀만의 정리로
$V_{th}=\dfrac{3/R+5/R}{1/R+1/R}=4\,\mathrm{V},\quad R_{th}=\dfrac{R}{2}$

최대전력 전달 조건은 $R_L=R_{th}$이다.
$P_{max}=\dfrac{V_{th}^2}{4R_{th}}=\dfrac{16}{2R}=1\,\mathrm{W}$
$R=8\,\mathrm{\Omega},\quad R_L=\dfrac{8}{2}=4\,\mathrm{\Omega}$

• 6 Ω: 최대전력 1 W 조건을 만족하지 않는다.
• 8 Ω: 부하가 아닌 전원 가지 저항 R의 값이다.
• 10 Ω: 정합 조건과 전력 조건 어디에도 맞지 않는다.

제3 고조파 전류의 실횻값은 $40\,\mathrm{A}$이다.

제3 고조파 전압 실횻값은 $200\,\mathrm{V}$이고, 리액턴스는 고조파 차수에 비례한다.
$X_3=3\omega L=3\,\Omega$
$Z_3=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\Omega$

$I_3=\dfrac{V_3}{Z_3}=\dfrac{200}{5}=40\,\mathrm{A}$

• 20 A는 기본파 전압 100 V를 제3 고조파 임피던스로 나눈 값이다.
• 50 A는 리액턴스를 무시하고 저항 4 Ω만으로 나눈 값이다.
• 60 A는 제5 고조파 전압 300 V를 제3 고조파 임피던스 5 Ω으로 나눈 값으로, 차수를 혼동한 것이다.

외부에 직렬로 접속할 배율기 저항은 $12\,\mathrm{k\Omega}$이다.

측정 범위 배율은 $m=\dfrac{100}{20}=5$이다.
배율기 저항은 $R_m=(m-1)R_v$이다.
$R_m=(5-1)\times3=12\,\mathrm{k\Omega}$

• 8 kΩ이면 전압계 전압이 $100\times\dfrac{3}{11}\approx27\,\mathrm{V}$로 최대 눈금 20 V를 넘는다.
• 10 kΩ도 분압이 부족해 전압계 전압이 20 V를 초과한다.
• 14 kΩ은 측정은 가능하지만 최소 저항이 아니다.

전류는 $i(t)=0.5e^{-t}\,\mathrm{A}$이다.

두 커패시터는 병렬이므로 $C=5+5=10\,\mathrm{mF}$이고, 시정수는
$\tau=RC=100\times 0.01=1\,\mathrm{s}$

계단 입력 직후 커패시터 전압은 0이므로 전원 전압이 모두 저항에 걸린다.
$i(0^+)=\dfrac{50}{100}=0.5\,\mathrm{A}$
$i(t)=0.5e^{-t/1}=0.5e^{-t}\,\mathrm{A}$

• $0.45e^{-t}$: 시정수는 맞지만 초기 전류가 틀렸다.
• $0.45e^{-0.25t}$: 초기 전류와 시정수가 모두 틀렸다.
• $0.5e^{-0.25t}$: 커패시터를 직렬(2.5 mF)로 보는 등 시정수를 잘못 잡았다.

한 상의 부하 임피던스는 $20\,\Omega$이다.

3상 전력 $P=\sqrt{3}V_\ell I_\ell\cos\theta$에서 선전류를 구한다.
$3000=\sqrt{3}\times200\sqrt{3}\times I\times0.5=300I$
$I=10\,\mathrm{A}$

Y결선은 상전압이 선간전압의 $1/\sqrt{3}$이고 상전류는 선전류와 같다.
$V_p=\dfrac{200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=200\,\mathrm{V}$
$Z=\dfrac{200}{10}=20\,\Omega$

• 10 Ω이면 상전류가 20 A가 되어 전력이 $3\times200\times20\times0.5=6\,\mathrm{kW}$로 조건의 두 배다.
• 30 Ω이면 전력이 2 kW로 조건보다 작다.
• 40 Ω이면 전력이 1.5 kW로 조건보다 작다.

옳지 않은 것은 무한 길이 솔레노이드 외부의 자기장 세기가 NI라는 설명이다.

무한 길이 솔레노이드의 자기장은 내부에만 균일하게 $H=NI$로 존재하고, 외부 자기장은 0이다.

• 직선 도체 자기장의 방향이 앙페르의 오른나사 법칙을 따른다는 설명은 옳다.
• 직선 도체 주위에 동심원 자기력선이 생기고 도체에 가까울수록 밀도가 높다는 설명은 옳다.
• 무한 직선 도체의 자기장 세기가 거리에 반비례하는 $H=\dfrac{I}{2\pi r}$ 꼴이라는 설명은 앙페르 주회 법칙에 따른 것이다.

역률은 80%이고 20 A의 지상전류가 흐른다.

각주파수는 $\omega=2\pi f=2500\,\mathrm{rad/s}$이다.
$X_L=2500\times2\times10^{-3}=5\,\Omega$
$X_C=\dfrac{1}{2500\times200\times10^{-6}}=2\,\Omega$

$Z=\sqrt{4^2+(5-2)^2}=5\,\Omega$
$I=\dfrac{100}{5}=20\,\mathrm{A}$, $\cos\theta=\dfrac{4}{5}=0.8$
유도성 리액턴스가 더 크므로 전류는 전압보다 뒤진다.

• 역률 60%, 10 A 지상전류라는 설명은 틀리다. 역률은 $R/Z=0.8$, 전류는 20 A이다.
• 역률 60%, 10 A 진상전류라는 설명은 역률·전류 크기·위상 모두 틀리다.
• 역률 80%, 20 A 진상전류라는 설명은 $X_L\gt X_C$인 회로를 용량성으로 본 오류다.

점 P의 전기장 세기는 $\dfrac{1}{2\epsilon_0}\left(\dfrac{\pi+1}{\pi}\right)$이다.

무한 면전하가 만드는 전기장은 거리와 무관하며, 양전하이므로 P에서 +z 방향이다.
$E_1=\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}=\dfrac{1}{2\epsilon_0}$

무한 선전하는 P에서 거리 1 m이고 음전하이므로 전기장은 선도체 쪽, 즉 +z 방향이다.
$E_2=\dfrac{|\rho_L|}{2\pi\epsilon_0 r}=\dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}$
$E=E_1+E_2=\dfrac{1}{2\epsilon_0}\left(1+\dfrac{1}{\pi}\right)=\dfrac{1}{2\epsilon_0}\left(\dfrac{\pi+1}{\pi}\right)$

• $\dfrac{1}{2\epsilon_0}\left(\dfrac{\pi-1}{\pi}\right)$: 두 전기장 방향이 같은데 서로 빼서 계산한 값이다.
• $\dfrac{1}{\epsilon_0}\left(\dfrac{\pi+1}{\pi}\right)$: 면전하 전기장을 $\rho_s/\epsilon_0$로 보는 등 계수 2를 빠뜨렸다.
• $\dfrac{1}{\epsilon_0}\left(\dfrac{\pi-1}{\pi}\right)$: 계수와 방향 합성이 모두 틀렸다.

옳은 것은 공진 주파수가 500/π Hz라는 설명이다.

병렬 공진 각주파수는
$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.01\times 100\times 10^{-6}}}=1000\,\mathrm{rad/s}$
$f_0=\dfrac{1000}{2\pi}=\dfrac{500}{\pi}\,\mathrm{Hz}$

공진 시 L과 C의 서셉턴스가 상쇄되어 어드미턴스는 저항 성분 $1/10=0.1\,\mathrm{S}$만 남는다.

• 어드미턴스가 10 ℧이라는 설명: 실제로는 $0.1$ ℧이다.
• 전류 최대·임피던스 최소라는 설명: 직렬 공진의 특징이며, 병렬 공진에서는 임피던스가 최대이고 전류는 최소이다.
• 전류 최댓값이 $20\sqrt{2}$ A라는 설명: 실횻값 $100/10=10\,\mathrm{A}$이므로 최댓값은 $10\sqrt{2}\,\mathrm{A}$이다.

정전용량은 $C=\dfrac{8\pi}{\ln\dfrac{b}{a}}$이다.

가우스 법칙으로 전기장을 구하고 유전율 $\epsilon(r)=2/r$을 대입한다.
$E=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon(r) r^2}=\dfrac{Q}{4\pi\cdot 2r}=\dfrac{Q}{8\pi r}$

두 도체 사이 전위차를 적분한다.
$V=\int_a^b \dfrac{Q}{8\pi r}\,dr=\dfrac{Q}{8\pi}\ln\dfrac{b}{a}$
$C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{8\pi}{\ln\dfrac{b}{a}}$

• $2\pi/\ln(b/a)$: 가우스 면적 $4\pi r^2$의 계수를 빠뜨리는 등 계수가 틀렸다.
• $4\pi/\ln(b/a)$: 유전율의 계수 2를 반영하지 않은 값이다.
• $6\pi/\ln(b/a)$: 적분 결과와 맞지 않는 계수이다.