18년 1회차

순간적으로 변하지 않는 양은 커패시터는 전압, 인덕터는 전류이다.

커패시터 전류는 $i=C\dfrac{dv}{dt}$이므로 전압이 순간 변하면 전류가 무한대가 되어야 한다. 인덕터 전압은 $v=L\dfrac{di}{dt}$이므로 전류가 순간 변하면 전압이 무한대가 되어야 한다. 따라서 커패시터 전압과 인덕터 전류는 연속이다.

• 커패시터·인덕터 모두 전류: 커패시터 전류는 전압 변화율에 비례하므로 순간적으로 바뀔 수 있다.
• 커패시터·인덕터 모두 전압: 인덕터 전압은 전류 변화율에 비례하므로 순간적으로 바뀔 수 있다.
• 커패시터 전류, 인덕터 전압: 두 소자의 연속량을 정반대로 바꾼 조합이다.

테브난 등가저항이 3 Ω이 되려면 R은 1.8 Ω이다.

전압원을 단락하면 2 Ω과 3 Ω이 병렬이 되고, 여기에 R이 직렬로 붙는다(등가전압 $15\times\dfrac{3}{2+3}=9\,\mathrm{V}$로 그림 (b)와 맞는다).
$R_{th}=R+\dfrac{2\times 3}{2+3}=R+1.2$
$R+1.2=3\;\Rightarrow\;R=1.8\,\mathrm{\Omega}$

• 1.2 Ω: 병렬 부분의 저항값 자체로, R을 더하기 전의 값이다.
• 1.5 Ω: 이 값이면 등가저항이 2.7 Ω으로 그림 (b)의 3 Ω과 맞지 않는다.
• 3.0 Ω: 등가저항 전체를 R로 착각한 값이다.

자계가 0인 점에서 a/b = 1/9이다.

두 전류가 같은 방향이므로 두 도선 사이에서 각 전류의 자계는 서로 반대 방향이 되고, 크기가 같은 점에서 상쇄된다.
$\dfrac{1}{2\pi a}=\dfrac{9}{2\pi b}\;\Rightarrow\;\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{9}$

즉 P는 전류가 작은 도선 쪽에 가깝다.

• 1/3: 전류비의 제곱근을 취한 값으로, 자계는 거리에 반비례(제곱 반비례 아님)하므로 맞지 않는다.
• 3: 제곱근을 취하고 비를 뒤집은 값이다.
• 9: 비를 뒤집어 P를 큰 전류 쪽에 둔 값이다.

공진 조건을 만족하는 C는 0.05 ㎌이다.

직렬 RLC 회로의 공진 조건은 $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$이며, 전압식에서 $\omega=2\times 10^{4}\,\mathrm{rad/s}$이다.
$C=\dfrac{1}{\omega^{2}L}=\dfrac{1}{(2\times 10^{4})^{2}\times 50\times 10^{-3}}$
$C=\dfrac{1}{2\times 10^{7}}=5\times 10^{-8}\,\mathrm{F}=0.05\,\mathrm{\mu F}$

• 0.15 ㎌: $\omega^{2}LC=1$을 만족하지 않는다.
• 0.20 ㎌: 이 값이면 공진 각주파수가 $10^{4}\,\mathrm{rad/s}$로 주어진 값의 절반이 된다.
• 0.25 ㎌: 공진 조건보다 커서 공진 주파수가 낮아진다.

저항 5 Ω은 공진 주파수에 영향을 주지 않는다.

발전기의 피상전력은 500 VA이다(역률 1).

피상전력은 실횻값의 곱이다.
$S=V_{rms}I_{rms}=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{I_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{V_mI_m}{2}$
$S=\dfrac{100\times 10}{2}=500\ \mathrm{VA}$

유효전력도 $500\ \mathrm{W}$이므로 역률은 $\cos\theta=\dfrac{P}{S}=1$로 모순이 없다.

• 1000 VA: 최댓값끼리 곱한 값으로, 실횻값 환산을 빠뜨린 결과다.
• 500√2 VA, 1000√2 VA: 실횻값 환산(각각 $\sqrt{2}$로 나눔)을 한쪽만 하거나 잘못 적용한 값이다.

전류비 1:2를 만족하는 저항은 r$_1=12\,\mathrm{\Omega}$, r$_2=6\,\mathrm{\Omega}$이다.

2 Ω의 전압강하는 $2\times 5=10\,\mathrm{V}$이므로 병렬부 전압은 $30-10=20\,\mathrm{V}$이다.
$I_1=\dfrac{1}{3}\times 5=\dfrac{5}{3}\,\mathrm{A},\;I_2=\dfrac{10}{3}\,\mathrm{A}$
$r_1=\dfrac{20}{5/3}=12\,\mathrm{\Omega},\;r_2=\dfrac{20}{10/3}=6\,\mathrm{\Omega}$

병렬에서는 전류가 저항에 반비례하므로 전류가 작은 쪽 저항이 2배 크다.

• 3, 6: 저항비가 반대이고 병렬 전압도 맞지 않는다.
• 6, 3: 비는 맞지만 합성저항 2 Ω으로 전체 4 Ω이 되어 입력전류가 7.5 A가 된다.
• 6, 12: 저항비가 반대여서 전류비가 2:1이 된다.

B 부하 평균전력은 200 W, 피상전력은 400 VA, 합성 역률은 1.0이다.

$\omega=10^{3}\,\mathrm{rad/s}$, 전압 실횻값 $40\,\mathrm{V}$이다.
$X_C=\dfrac{1}{10^{3}\times 500\times 10^{-6}}=2\,\mathrm{\Omega},\;X_L=10^{3}\times 2\times 10^{-3}=2\,\mathrm{\Omega}$
리액턴스가 상쇄되어 $Z=2+2=4\,\mathrm{\Omega}$(순저항, 직렬공진)이다.

$I=\dfrac{40}{4}=10\,\mathrm{A}$
$P_B=10^{2}\times 2=200\,\mathrm{W},\;S=40\times 10=400\,\mathrm{VA}$

• 200, 200, 0.5: 피상전력과 역률이 모두 틀렸다(공진이므로 역률 1).
• 400, 200, 0.5: B 전력에 A 저항의 소비분까지 넣었고 피상전력·역률도 틀렸다.
• 400, 400, 1.0: B 부하 저항만의 전력은 전체의 절반인 200 W이다.

옳은 식은 자기 가우스 법칙 $\oint_{s}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0$이다.

자기 단극(홀극)이 없으므로 닫힌 곡면을 지나는 자속의 총합은 항상 0이다.

• $\oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$: 가우스 법칙은 닫힌 곡면 적분 $\oint_{s}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$이어야 한다.
• $\oint_{l}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=I$: 앙페르 법칙은 $\oint_{l}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I$로 투자율이 빠졌다.
• $\oint_{s}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=-\dfrac{d\phi}{dt}$: 패러데이 법칙은 닫힌 경로 선적분 $\oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\dfrac{d\phi}{dt}$이어야 한다.

저항 R은 0.2 Ω이다.

1 Ω에 흐르는 전류는 $i=\dfrac{5-3.5}{1}=1.5\,\mathrm{A}$이고, 마디에서 KCL로 R에 흐르는 전류는 $1.5+1=2.5\,\mathrm{A}$이다.

R 양단 전압은 마디전압과 종속전압원 $2i=3\,\mathrm{V}$의 차이다.
$R=\dfrac{3.5-3}{2.5}=\dfrac{0.5}{2.5}=0.2\,\mathrm{\Omega}$

• 0.1 Ω: R 전류가 5 A가 되어야 하므로 KCL과 맞지 않는다.
• 1.0 Ω: R 전류가 0.5 A가 되어 1 Ω 전류와 전류원의 합 2.5 A와 맞지 않는다.
• 1.5 Ω: 종속전원 전압 $2i$를 반영하면 성립하지 않는다.

V$_1$의 실횻값은 $\dfrac{20\lambda_m}{3\sqrt{2}}$이다.

패러데이 법칙에 의한 유도기전력은 $e=\dfrac{d\lambda}{dt}=10\lambda_m\cos 10t$로 최댓값 $10\lambda_m$이다.

폐회로 저항은 $10+5=15\,\mathrm{\Omega}$이므로 전압 분배로
$V_{1m}=10\lambda_m\times\dfrac{10}{15}=\dfrac{20\lambda_m}{3}$
$V_1=\dfrac{20\lambda_m}{3\sqrt{2}}$

• $\dfrac{10\lambda_m}{3}$: 5 Ω 쪽 분배 전압의 최댓값이다.
• $\dfrac{20\lambda_m}{3}$: 최댓값으로, 실횻값 변환이 빠졌다.
• $\dfrac{10\lambda_m}{3\sqrt{2}}$: 5 Ω 양단의 실횻값이다.

왜형률은 12.5 %이다.

왜형률은 고조파 실횻값의 합성값을 기본파 실횻값으로 나눈 것이다.
$D=\dfrac{\sqrt{V_3^2+V_5^2}}{V_1}$

각 성분 실횻값은 $V_1=400\ \mathrm{V}$, $V_3=30\ \mathrm{V}$, $V_5=40\ \mathrm{V}$이다.
$D=\dfrac{\sqrt{30^2+40^2}}{400}=\dfrac{50}{400}=0.125$, 즉 12.5 %이다.

• 8 %: 분모·분자를 뒤바꾼 $400/50=8$을 백분율로 읽은 값이다.
• 25.5 %: 합성 고조파 50 V와 기본파 400 V의 비(12.5 %)와 맞지 않는 값이다.
• 50 %: 합성 고조파 크기 50 V를 그대로 백분율로 읽은 값이다.

최대전력전송을 위한 권선비는 3:1이다.

이상 변압기 2차 부하를 1차로 환산하면 $n^{2}R_L$이고, 이것이 전원 내부저항 900 Ω과 같을 때 최대전력이 전달된다.
$n^{2}\times 100=900\;\Rightarrow\;n=3$

• 1:1: 환산저항이 100 Ω으로 정합되지 않는다.
• 6:1: 환산저항이 3600 Ω으로 정합되지 않는다.
• 9:1: 저항비 9를 권선비로 착각한 값으로, 권선비는 저항비의 제곱근이다.

ε$_{s2}$ 유전체의 전압은 80 V, 전계의 세기는 4 kV/m이다.

두 유전체가 직렬이므로 전속밀도가 같고, 두께가 같아 각 전압은 비유전율에 반비례한다.
$V_2=200\times\dfrac{6}{6+9}=80\,\mathrm{V}$

각 유전체 두께는 $2\,\mathrm{cm}$이다.
$E_2=\dfrac{80}{0.02}=4000\,\mathrm{V/m}=4\,\mathrm{kV/m}$

• 80, 2: 전계를 전체 간격 4 cm로 나눈 값이다.
• 120, 2: ε$_{s1}$ 쪽 전압을 택하고 전체 간격으로 나눈 값이다.
• 120, 4: 전압 분배를 비유전율에 비례하게 잡은 값이다.

정상상태 전류는 4 A이다.

직류 정상상태에서 인덕터는 단락, 커패시터는 개방으로 본다. 따라서 6 Ω은 인덕터에 단락되어 전류가 흐르지 않고, 4 ㎌ 쪽은 끊겨 4 Ω만 남는다.
$R=2+4=6\,\mathrm{\Omega},\;I=\dfrac{24}{6}=4\,\mathrm{A}$

• 2 A: 6 Ω까지 직렬로 더해 12 Ω으로 본 값이다.
• 6 A: 합성저항 4 Ω에 해당하는 값으로, 2 Ω과 4 Ω의 직렬 합과 맞지 않는다.
• 8 A: 합성저항 3 Ω에 해당하는 값으로, 정상상태 등가회로와 맞지 않는다.

각주파수는 $\omega=2\sqrt{3}\,\mathrm{rad/s}$이다.

전압이 전류보다 $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$ 앞서므로 임피던스 각이 60°이다.
$\tan 60^\circ=\dfrac{\omega L}{R}\;\Rightarrow\;\omega L=10\sqrt{3}$
$\omega=\dfrac{10\sqrt{3}}{5}=2\sqrt{3}$

검산: $|Z|=\dfrac{200}{10}=20=\sqrt{10^{2}+(10\sqrt{3})^{2}}$로 크기도 일치한다.

• 2: $\omega L=10=R$이 되어 위상각이 45°가 된다.
• $2\sqrt{2}$: $\omega L=10\sqrt{2}$가 되어 위상각 60°를 만족하지 않는다.
• 3: 임피던스 크기·위상과 모두 맞지 않는다.

전체 무효전력은 3600 Var이다.

Y-Y 평형 회로이므로 한 상에 상전압 100 V가 걸리고, $|\dot{Z}|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5\,\mathrm{\Omega}$이다.
$I_p=\dfrac{100}{5}=20\,\mathrm{A}$

3상 전체는 한 상의 3배이다.
$Q=3I_p^{2}X=3\times 20^{2}\times 3=3600\,\mathrm{Var}$

• 2400: 3상 무효전력 $3\times 20^{2}\times 3$와 맞지 않는 값이다.
• 4800: 3상 유효전력($3\times 20^{2}\times 4$)이다.
• 6000: 3상 피상전력($3\times 100\times 20$)이다.

선간전압은 $200\sqrt{3}\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$이다.

Y 결선에서 상전류 = 선전류이므로 상전압은
$\dot{V}_{an}=20\angle -90^\circ\times 10\angle 60^\circ=200\angle -30^\circ\,\mathrm{V}$

상순 a-b-c에서 선간전압은 상전압의 $\sqrt{3}$배이고 30° 앞선다.
$\dot{V}_{ab}=\sqrt{3}\times 200\angle(-30^\circ+30^\circ)=200\sqrt{3}\angle 0^\circ$

• $200\angle 0^\circ$: 위상은 맞지만 크기의 $\sqrt{3}$배를 빠뜨렸다.
• $200\angle -30^\circ$: 상전압 자체이다.
• 크기에 $\sqrt{3}$가 붙고 위상이 −30°인 값: 30° 위상 앞섬을 반영하지 않았다.

스위치 전류는 10 A이다.

스위치가 열린 정상상태에서 커패시터는 개방이므로 전류는 $\dfrac{15}{1+1+1}=5\,\mathrm{A}$이고, 커패시터 전압은 $v_C=15-1\times 5=10\,\mathrm{V}$이다.

스위치가 닫힌 직후 커패시터 전압은 연속이어서 10 V를 유지하고, 오른쪽 1 Ω은 스위치에 단락되어 전류가 0이다.
$i_{sw}(0^{+})=\dfrac{v_C(0^{+})}{1}=10\,\mathrm{A}$

• 15/12: 커패시터 전압 연속 조건으로 구한 값과 맞지 않는다.
• 15/3: 스위치를 닫기 전의 회로 전류이다.
• 15: 커패시터 전압을 전원 전압으로 본 값이다.

개선 후 전류는 $16-j4\,\mathrm{A}$, 역률은 $\dfrac{16}{\sqrt{272}}$이다.

$\dot{I}_C=\dfrac{100}{-j12.5}=j8\,\mathrm{A}$
$\dot{I}_L=\dfrac{100}{4+j3}=\dfrac{100(4-j3)}{25}=16-j12\,\mathrm{A}$
$\dot{I}=\dot{I}_C+\dot{I}_L=16-j4\,\mathrm{A}$

$|\dot{I}|=\sqrt{16^{2}+4^{2}}=\sqrt{272}$이므로 역률 = 실수부/크기이다.
$\cos\theta=\dfrac{16}{\sqrt{272}}$

• 전류 $16-j4$, 역률 $-\dfrac{4}{\sqrt{272}}$: 허수부로 역률을 구한 것으로, 이는 sin 성분이다.
• 전류 $16+j4$, 역률 $\dfrac{16}{\sqrt{272}}$: 개선 후에도 여전히 지상이므로 허수부는 음이어야 한다.
• 전류 $16+j4$, 역률 $\dfrac{4}{\sqrt{272}}$: 허수부 부호와 역률이 모두 틀렸다.

저항은 20 Ω, 인덕턴스는 3 mH이다.

전류 실횻값은 $I=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\ \mathrm{A}$이다.
$R=\dfrac{P}{I^2}=\dfrac{180}{9}=20\ \mathrm{\Omega}$

역률 0.8에서 $|Z|=\dfrac{R}{\cos\theta}=\dfrac{20}{0.8}=25\ \mathrm{\Omega}$, $X_L=\sqrt{25^2-20^2}=15\ \mathrm{\Omega}$이다.
$L=\dfrac{X_L}{\omega}=\dfrac{15}{5000}=3\times10^{-3}\ \mathrm{H}=3\ \mathrm{mH}$

• 저항 20/√2 Ω 조합: 전류 최댓값을 실횻값으로 착각하는 등 $\sqrt{2}$ 환산을 잘못한 값이다.
• 인덕턴스 3/√2 mH 조합: 리액턴스는 15 Ω으로 정확히 나오므로 $\sqrt{2}$가 붙을 근거가 없다.