19년 1회차

상호 인덕턴스는 결합계수와 두 자기 인덕턴스의 기하평균의 곱이므로 10 μH이다.

$M=k\sqrt{L_1L_2}$
$M=0.5\times\sqrt{10\times40}=0.5\times20$
$M=10\,\mathrm{\mu H}$

• 1 μH는 공식으로 구한 값의 1/10에 불과해 맞지 않는다.
• 2 μH는 결합계수 0.5와 기하평균 20 μH의 곱과 맞지 않는다.
• 4 μH 역시 공식에 대입한 결과와 다르다.

비정현파 전압의 실횻값은 직류분과 각 고조파 실횻값의 제곱합의 제곱근이므로 15 V이다.

직류분 $10\,\mathrm{V}$, 기본파 실횻값 $5\,\mathrm{V}$, 제3고조파 실횻값 $10\,\mathrm{V}$이다.
$V=\sqrt{10^2+5^2+10^2}=\sqrt{225}$
$V=15\,\mathrm{V}$

• 5 V는 기본파 실횻값 하나만 취한 값이다.
• 10 V는 직류분 또는 제3고조파 실횻값 하나만 취한 값이다.
• 20 V는 제곱합의 제곱근보다 커서 맞지 않으며, 성분 실횻값을 단순히 더하는 방식(25 V)도 성립하지 않는다.

실횻값 110 V, 주파수 60 Hz, 위상 2π/3 rad의 조합이 옳다.

최댓값을 √2로 나누면 실횻값이다.
$V=\dfrac{110\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=110\,\mathrm{V}$
각주파수에서 주파수를 구한다.
$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{120\pi}{2\pi}=60\,\mathrm{Hz}$

위상은 sin 안의 상수항 그대로 $+\dfrac{2\pi}{3}\,\mathrm{rad}$이다.

• 110√2, 120, 2π/3: 최댓값을 실횻값으로, 각주파수의 계수를 주파수로 착각한 조합이다.
• 110√2, 120, −2π/3: 실횻값·주파수를 잘못 읽고 위상 부호까지 뒤집은 조합이다.
• 110, 60, −2π/3: 실횻값·주파수는 맞지만 위상의 부호가 반대다.

전위차는 단위 전하당 한 일이므로 20 V이다.

$V=\dfrac{W}{Q}$
$V=\dfrac{100}{5}=20\,\mathrm{V}$

• 40 V와 50 V는 일을 전하로 나눈 값과 맞지 않는다.
• 500 V는 일과 전하를 곱한 값으로, 단위가 전위차가 아니다.

저항 R은 7.5 Ω이다.

전원에서 본 합성저항은 전압을 전류로 나눈 값이다.
$R_{0}=\dfrac{100}{8}=12.5\,\mathrm{\Omega}$

두 10 Ω은 병렬이므로 5 Ω이고, R은 이것과 직렬이다.
$R=12.5-5=7.5\,\mathrm{\Omega}$

• 2.5 Ω: 합성저항에서 10 Ω 하나를 뺀 값으로, 병렬 합성을 하지 않은 값이다.
• 5.0 Ω: 병렬부의 저항값으로, R과 혼동한 값이다.
• 10.0 Ω: 이 값이면 전류가 약 6.7 A가 되어 8 A와 맞지 않는다.

최대전력 전달을 위해 전원 임피던스는 1 Ω과 4 mF의 직렬이어야 한다.

부하 임피던스를 구하고 1차 측으로 환산한다(권수비 1:10이므로 1/100배).
$Z_{L}=100+j(50\times 10)=100+j500\,\mathrm{\Omega}$
$Z_{L}'=\dfrac{100+j500}{10^{2}}=1+j5\,\mathrm{\Omega}$

최대전력 조건은 공액 정합이므로 $Z_{S}=1-j5\,\mathrm{\Omega}$, 즉 용량성 리액턴스 5 Ω이다.
$\dfrac{1}{50C}=5\;\Rightarrow\;C=\dfrac{1}{250}=4\,\mathrm{mF}$

• 1 Ω과 4 F 직렬: 단위를 잘못 붙인 값으로, 리액턴스가 0.005 Ω밖에 되지 않는다.
• 1 Ω과 10 mH 직렬: 유도성이라 부하의 유도성 리액턴스를 상쇄하지 못한다.
• 1 Ω과 1 H 직렬: 역시 유도성(50 Ω)이라 공액 조건에 어긋난다.

I1+I2−I3는 2 A이다.

윗 마디 전압을 V라 하면 각 가지 전류는 $I_{k}=\dfrac{V-E_{k}}{10}$이고, 세 전류의 합은 KCL에 의해 0이다.
$\dfrac{V-20}{10}+\dfrac{V-30}{10}+\dfrac{V-40}{10}=0\;\Rightarrow\;V=30\,\mathrm{V}$

$I_{1}=1\,\mathrm{A},\;I_{2}=0\,\mathrm{A},\;I_{3}=-1\,\mathrm{A}$
$I_{1}+I_{2}-I_{3}=1+0+1=2\,\mathrm{A}$

• 1 A: I1만 센 값으로, I3가 −1 A이므로 −I3가 1 A를 더한다는 점을 놓쳤다.
• 3 A: KCL을 만족하는 V=30 V에서는 나오지 않는 값이다.
• 4 A: 마찬가지로 V=30 V의 가지 전류(1, 0, −1 A)로는 나오지 않는다.

20 Ω 전류가 0이 되려면 전류원은 10 A이다.

I=0이면 20 Ω 양단 전압이 0이므로 가운데 마디 전압이 0 V다. 왼쪽 전원은 위쪽이 −극이므로 위 단자 전위가 −100 V이다.

왼쪽 10 Ω에는 마디에서 전원 쪽으로 전류가 흐르고, 이를 전류원이 모두 공급해야 한다.
$I_{S}=\dfrac{0-(-100)}{10}=10\,\mathrm{A}$

• 15 A: 가운데 마디 전압이 $V=\dfrac{I_{S}-10}{0.15}$로 0이 아니게 되어 $I=\dfrac{5}{3}\,\mathrm{A}$가 흐른다.
• 20 A: 같은 식으로 $I=\dfrac{10}{3}\,\mathrm{A}$가 흘러 조건에 어긋난다.
• 25 A: $I=5\,\mathrm{A}$가 흘러 조건에 어긋난다.

전원 전류가 최소가 되는 인덕턴스는 L = $1/\omega ^{2}$이다.

L·C·2 Ω이 병렬이므로 L과 C가 병렬 공진하면 두 서셉턴스가 상쇄되어 병렬부 임피던스가 최대(2 Ω)가 되고 전원 전류가 최소가 된다.

$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}\;\Rightarrow\;L=\dfrac{1}{\omega^{2}C}=\dfrac{1}{\omega^{2}}\,\mathrm{H}\;(C=1\,\mathrm{F})$

• √2/ω: ωL=1/(ωC)를 만족하지 않아 L·C 서셉턴스가 상쇄되지 않는다.
• 1/(√2ω): 마찬가지로 공진 조건을 만족하지 않는다.
• 1/ω: ω로 한 번만 나눈 값으로, ωL=1/(ωC)에서 ω가 양변에 있음을 놓쳤다.

출력 전압은 100∠60° V이다.

권선비 1:2, 두 점이 같은 쪽이므로 2차 전압은 같은 위상으로 2배다.
$V_{2}=2\times 100\angle 0^{\circ}=200\angle 0^{\circ}\,\mathrm{V}$

2차 측 커패시터와 50 Ω의 전압 분배로 구한다.
$Z=50-j50\sqrt{3}=100\angle -60^{\circ}\,\mathrm{\Omega}$
$V_{o}=200\times\dfrac{50}{100\angle -60^{\circ}}=100\angle 60^{\circ}\,\mathrm{V}$

• 100∠30°: 크기는 맞지만 임피던스 각(60°)을 반영하지 않았다.
• 200∠3°: 전압 분배를 하지 않은 2차 전압 크기로, 위상도 맞지 않는다.
• 200∠60°: 위상은 맞지만 50 Ω에 걸리는 분배를 빼먹은 크기다.

네 설명이 모두 옳다.

코일 자신의 전류 변화로 기전력이 생기는 것은 자기유도이고, 운동하는 도체의 유도기전력 방향은 플레밍의 오른손 법칙으로 정한다.

속도와 자계가 각 θ를 이루면 자계에 수직인 속도 성분만 기여하므로 $e=Blv\sin\theta\,\mathrm{V}$이고, 유도전류가 자속 변화를 방해하는 방향으로 흐르는 것은 렌츠의 법칙이다.

• ㄱ, ㄴ만 고른 조합: 유도기전력 크기 식과 렌츠의 법칙도 옳은데 빠졌다.
• ㄷ, ㄹ만 고른 조합: 자기유도 정의와 플레밍 오른손 법칙도 옳은데 빠졌다.
• ㄱ, ㄷ, ㄹ 조합: 오른손 법칙(발전기 원리)을 왼손 법칙과 혼동해 제외한 것이다.

무효전력의 크기가 500√2 Var라는 설명이 옳다.

실횻값은 $V=\dfrac{200}{\sqrt{2}}=100\sqrt{2}\,\mathrm{V}$, $I=10\,\mathrm{A}$이고 위상차는 $60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$이다.
$Q=VI\sin\theta=100\sqrt{2}\times 10\times\dfrac{1}{2}=500\sqrt{2}\,\mathrm{VAR}$

• 전압 실횻값 200 V: 200은 최댓값이고 실횻값은 약 141 V이다.
• 순시전력이 항상 전원에서 부하로: 위상차가 있으면 v와 i의 부호가 다른 구간에서 순시전력이 음이 되어 전력이 되돌아온다.
• 전압 위상이 앞섬: 전류 위상(60°)이 전압(30°)보다 앞서므로 용량성 부하다.

부하는 R－L 부하이다.

순시전력이 대부분 양이고 짧게 음이 되므로 저항과 리액턴스가 함께 있는 부하다. 음의 구간이 전압의 영점(ωt=0, π) 바로 뒤에 나타난다.

전압이 막 양(+)이 된 직후 전력이 음이라는 것은 전류가 아직 음(−)이라는 뜻이므로, 전류가 전압보다 늦게 영점을 지나는 지상 전류다.

• L－C 부하: 순수 리액턴스라 순시전력이 양과 음으로 대칭이 되어 평균이 0이어야 한다.
• R－C 부하: 진상 전류라 음의 구간이 전압 영점 바로 앞에 나타난다.
• R 부하: 전압·전류가 동상이라 순시전력이 음이 되는 구간이 없다.

직렬 커패시터에는 각각 같은 전하가 축적되므로 두 전압을 더하면 인가 전압은 140 V이다.

$V_1=\dfrac{Q}{C_1}=\dfrac{24}{0.3}=80\,\mathrm{V}$
$V_2=\dfrac{Q}{C_2}=\dfrac{24}{0.4}=60\,\mathrm{V}$
$V=V_1+V_2=140\,\mathrm{V}$

• 120 V는 두 커패시터 전압의 합보다 작다.
• 160 V는 0.3 μF 쪽 전압의 두 배로, 두 전압이 같다고 본 값이다.
• 180 V는 두 커패시터 전압의 합보다 크다.

선전류는 20√3 A이다.

부하가 Δ결선이므로 상전압은 선간전압과 같고, 임피던스 크기는 다음과 같다.
$|Z|=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=6\,\mathrm{\Omega}$
$I_{p}=\dfrac{120}{6}=20\,\mathrm{A}$

Δ결선의 선전류는 상전류의 √3배다.
$I_{L}=\sqrt{3}\times 20=20\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

• 20 A: 상전류로, Δ결선의 √3배를 빠뜨렸다.
• 60 A: 임피던스 크기를 2 Ω으로 잘못 잡은 값이다.
• 60√3 A: 같은 착오에 √3배를 곱한 값이다.

Y결선으로 바꾸면 상전압이 선간전압의 $1/\sqrt{3}$로 줄어 전력이 1/3이 되므로, 같은 전력을 내려면 선간전압을 √3배인 $\sqrt{3}V_s$로 올려야 한다.

△결선: 상전압이 선간전압과 같으므로
$P=3\dfrac{V_s^2}{R}$
Y결선(선간전압 $V_L$): 상전압이 $V_L/\sqrt{3}$이므로
$P=3\dfrac{(V_L/\sqrt{3})^2}{R}=\dfrac{V_L^2}{R}$

두 전력을 같게 놓으면 $V_L^2=3V_s^2$, 즉 $V_L=\sqrt{3}V_s$이다.

• 3배로 올리면 전력이 △결선의 3배가 된다.
• 선간전압을 그대로 두면 전력이 1/3로 줄어든다.
• 선간전압을 1/√3배로 낮추면 전력이 1/9로 줄어든다.

정상상태 전류는 50 A이다.

인덕터에서 본 등가저항은 두 R의 병렬이므로 시정수로 R을 구한다.
$\tau=\dfrac{L}{R/2}=\dfrac{2\times 10^{-3}}{R}=2\times 10^{-3}\;\Rightarrow\;R=1\,\mathrm{\Omega}$

정상상태에서 인덕터는 단락되어 병렬 R에는 전류가 흐르지 않는다.
$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{50}{1}=50\,\mathrm{A}$

• 12.5 A: R을 4 Ω으로 잡은 값으로, 시정수 2 ms 조건과 맞지 않는다.
• 25 A: 인덕터를 단락하지 않고 두 R(합 2 Ω)을 직렬로 본 값이다.
• 35 A: 정상상태 전류 V/R에 R=1 Ω을 넣으면 나오지 않는 값이다.

등가저항이 12 Ω이 되려면 β = 7이다.

A-B에 시험전압 V를 걸면 $i_{x}=\dfrac{V}{24}$이고, 종속전류원은 위쪽 마디로 $\beta i_{x}$를 공급한다. A로 들어가는 전류에 KCL을 세운다.
$I=\dfrac{V}{24}+\dfrac{V}{3}-\dfrac{\beta V}{24}=\dfrac{(9-\beta)V}{24}$

$R_{AB}=\dfrac{24}{9-\beta}=12\;\Rightarrow\;\beta=7$

• β=2: 등가저항이 24/7 Ω으로 12 Ω보다 작다.
• β=4: 등가저항이 4.8 Ω이다.
• β=5: 등가저항이 6 Ω으로 12 Ω의 절반이다.

i(0+) = 1 mA, v(2) ≈ 74 V이다.

B에 오래 있으면 커패시터는 저항을 통해 완전히 방전되어 $v_{C}(0^{-})=0$이고, 커패시터 전압은 연속이므로 A로 전환 직후 전원 전압이 모두 200 kΩ에 걸린다.
$i(0^{+})=\dfrac{200}{200\times 10^{3}}=1\,\mathrm{mA}$

시정수와 저항 전압은 다음과 같다.
$\tau=RC=200\times 10^{3}\times 10\times 10^{-6}=2\,\mathrm{s}$
$v(2)=200e^{-2/2}=200e^{-1}\approx 73.6\,\mathrm{V}$

• 1 mA, 약 126 V: 126 V는 같은 시각의 커패시터 전압이다.
• 0 mA, 약 126 V: 전환 직후 커패시터를 개방으로 보아 전류를 0으로 잡았다.
• 0 mA, 약 74 V: 전압은 맞지만 초기 전류를 0으로 잡았다.

두 전압의 위상차는 30°이므로 시간은 1/180 s, v2의 최댓값은 200 V이다.

위상차 $60^\circ-30^\circ=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}$, 각주파수 $\omega=30\pi\,\mathrm{rad/s}$
$t=\dfrac{\theta}{\omega}=\dfrac{\pi/6}{30\pi}=\dfrac{1}{180}\,\mathrm{s}$

v2의 실횻값은 v1의 최댓값의 √2배이므로
$V_{2,rms}=\sqrt{2}\times100=100\sqrt{2}\,\mathrm{V}$
$V_m=\sqrt{2}V_{2,rms}=200\,\mathrm{V}$

• 시간 1/360 s는 위상차 15°에 해당하는 시간으로, 실제 위상차 30°의 절반이다.
• 최댓값 200√2 V는 200 V를 실횻값으로 보고 √2를 한 번 더 곱한 값이다.