20년 1회차

히스테리시스 곡선의 가로축은 자기장의 세기, 세로축은 자속밀도이다.

곡선이 세로축과 만나는 값이 잔류자기(자기장을 0으로 해도 남는 자속밀도)이고, 가로축과 만나는 값이 보자력(자속밀도를 0으로 만드는 데 필요한 역방향 자기장)이다.

• 자속밀도, 투자율: 가로축은 자속밀도가 아니며, 투자율은 두 축의 비(기울기)일 뿐 축이 아니다.
• 자속밀도, 자기장의 세기: 두 축을 뒤바꾼 조합이다.
• 자기장의 세기, 투자율: 세로축은 투자율이 아니라 자속밀도다.

전류 $\mathrm{I_1}$은 −3 A이다.

세 전류원이 같은 두 마디 사이에 병렬로 있고 다른 경로가 없으므로, 위쪽 마디에 키르히호프 전류 법칙을 쓰면 들어오는 전류의 합이 0이어야 한다.
$1+2+I_{1}=0\;\Rightarrow\;I_{1}=-3\,\mathrm{A}$

• −1 A: 두 전류원 중 하나의 부호만 반대로 잡은 값이다.
• 1 A: 2 A에서 1 A를 뺀 값으로, 방향을 잘못 본 것이다.
• 3 A: 크기는 맞지만 화살표 방향과 반대로 흘러야 한다는 부호를 놓쳤다.

공진주파수는 $f_{0}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$이다.

R, L, C가 직렬이므로 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 같을 때 공진한다.
$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}\;\Rightarrow\;\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$
주파수[Hz]로 바꾸면 $f_{0}=\dfrac{\omega_{0}}{2\pi}$이다.

• $\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$: 공진 각주파수[rad/s]로, 2π로 나누지 않은 값이다.
• $\dfrac{1}{LC}$: 각주파수의 제곱에 해당하며 단위부터 맞지 않는다.
• $\dfrac{1}{2\pi LC}$: LC에 제곱근을 씌우지 않은 식이다.

Ch1 파형은 Ch2보다 위상이 앞서고, 주파수는 같다.

두 파형의 최댓값(또는 최솟값) 사이 간격이 같으므로 주기가 같고, 따라서 주파수도 같다. 같은 형태의 점(최댓값)에 Ch1이 시간축상 먼저 도달하므로 Ch1이 앞선다.

• 위상은 앞서고 주파수는 높다: 두 파형의 주기가 같으므로 주파수가 다르다는 설명은 틀리다.
• 위상은 뒤지고 진폭은 크다: 진폭은 Ch1이 크지만 위상은 Ch1이 앞선다.
• 위상은 뒤지고 진폭은 같다: 위상 관계도 반대이고, 진폭도 Ch1이 더 크다.

시정수는 1/2 s이다.

RL 회로의 시정수는 $\tau=\dfrac{L}{R_{\mathrm{th}}}$이며, 전압원을 단락하고 인덕터 쪽에서 본 저항을 구한다.
$R_{\mathrm{th}}=3+\dfrac{6\times 3}{6+3}=3+2=5\,\mathrm{\Omega}$

따라서 시정수는 다음과 같다.
$\tau=\dfrac{2.5}{5}=0.5\,\mathrm{s}$

• 2/3 s: 직렬 3 Ω을 빼고 다른 저항 조합을 쓴 값이다.
• 1 s: 테브난 저항을 2.5 Ω으로 잘못 구한 값이다.
• 2 s: L과 R을 뒤집어 $R/L$로 계산한 값이다.

역률을 1로 개선하면 전원 전류는 개선 전의 4/5로 감소한다.

커패시터는 무효전력만 보상하므로 유효전력은 그대로이다.
$P=S\cos\theta=20\times0.8=16\,\mathrm{kW}$

개선 전 전류: $I_1=\dfrac{20000}{200}=100\,\mathrm{A}$
개선 후 피상전력은 유효전력과 같으므로 $I_2=\dfrac{16000}{200}=80\,\mathrm{A}$

• 변화 없음: 무효전류 성분이 사라지므로 전류는 반드시 줄어든다.
• 2/5 감소: 비율 $80/100$과 맞지 않는다.
• 3/5 감소: 비율 $80/100$과 맞지 않는다.

3 Ω에 흐르는 전류는 0.8 A이다.

병렬부 합성저항과 전체 전류를 구한다.
$R_{p}=\dfrac{3\times 2}{3+2}=1.2\,\mathrm{\Omega},\quad R=0.8+1.2=2\,\mathrm{\Omega}$
$I_{0}=\dfrac{4}{2}=2\,\mathrm{A}$

전류 분배로 3 Ω 쪽 전류를 구한다.
$I=2\times\dfrac{2}{3+2}=0.8\,\mathrm{A}$

• 0.4 A: 분배 비를 한 번 더 곱하는 등 절반으로 줄여 잡은 값이다.
• 1.2 A: 2 Ω 쪽에 흐르는 전류로, 분배 비를 뒤바꿨다.
• 2 A: 분배 전의 전체 전류다.

30 Ω 양단전압은 −10 V이다.

15 Ω, 4 A 전류원, 30 Ω이 붙은 왼쪽 마디에 마디 해석을 쓴다. 4 A가 들어오고 5 A 전류원이 오른쪽으로 빠져나간다.
$\dfrac{V_{1}}{15}+\dfrac{V_{1}}{30}=4-5$
$\dfrac{V_{1}}{10}=-1\;\Rightarrow\;V_{1}=-10\,\mathrm{V}$

• 10 V: 크기는 같지만 5 A가 빠져나가 저항 전류의 합이 음수라는 점을 놓쳤다.
• 20 V: 오른쪽 마디(20 Ω) 전압의 크기를 부호 없이 쓴 값이다.
• −20 V: 오른쪽 마디의 전압으로, 30 Ω이 붙은 마디가 아니다.

소비전력은 1 kW, 역률은 50 %이다.

전류는 $i=10\sqrt{2}\sin\left(120\pi t-\dfrac{\pi}{3}\right)$이므로 실횻값은 $V=200\,\mathrm{V}$, $I=10\,\mathrm{A}$이고, 전류가 전압보다 $60^{\circ}$ 뒤진다.
$\cos\theta=\cos 60^{\circ}=0.5$

유효전력은 다음과 같다.
$P=VI\cos\theta=200\times 10\times 0.5=1000\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{kW}$

• 4 kW, 86.6 %: 피상전력 $VI=2\,\mathrm{kVA}$보다 큰 유효전력은 나올 수 없고, 86.6 %는 $\sin 60^{\circ}$에 해당한다.
• 1 kW, 86.6 %: 전력은 맞지만 역률을 코사인 대신 사인으로 계산했다.
• 4 kW, 50 %: 역률은 맞지만 유효전력은 1 kW이며, 4 kW는 피상전력 2 kVA마저 넘는다.

전환 직후 인덕터 에너지는 12.5 mJ, 커패시터 에너지는 1.25 mJ이다.

접점 a에서 충분한 시간이 지나면 인덕터는 단락, 커패시터는 개방으로 본다.
$i_{L}=\dfrac{100}{10+10}=5\,\mathrm{A},\quad v_{c}=5\times 10=50\,\mathrm{V}$
스위치 전환 직후에도 인덕터 전류와 커패시터 전압은 연속이므로 이 값이 유지된다.

$W_{L}=\dfrac{1}{2}\times 10^{-3}\times 5^{2}=12.5\,\mathrm{mJ}$
$W_{C}=\dfrac{1}{2}\times 10^{-6}\times 50^{2}=1.25\,\mathrm{mJ}$

• 1.25, 12.5: 두 소자의 에너지를 뒤바꾼 조합이다.
• 12.5, 1,250: 커패시터 에너지를 μJ 단위로 쓴 값으로, mJ 단위와 맞지 않는다.
• 1,250, 12.5: 커패시터의 μJ 값을 인덕터 자리에 놓고 순서를 뒤바꾼 조합이다.

선전류 실횻값은 $\dfrac{25}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$이다.

역률 0.8이면 $\sin\theta=0.6$이므로 피상전력은
$S=\dfrac{Q}{\sin\theta}=\dfrac{3000}{0.6}=5000\,\mathrm{VA}$

평형 3상에서 $S=\sqrt{3}V_lI_l$이므로
$I_l=\dfrac{5000}{\sqrt{3}\times200}=\dfrac{25}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$

• $25\sqrt{3}$: $\sqrt{3}$을 분모가 아닌 분자에 곱한 값이다.
• $\dfrac{75}{4\sqrt{3}}$: 무효전력 3000을 유효전력처럼 보고 역률 0.8로 나눈 값이다.
• $300\sqrt{3}$: 피상전력 5000 VA로도 나올 수 없는 큰 값이다.

옳은 설명은 실횻값이 5 V라는 것이다.

직류분 3 V, 기본파 최댓값 $4\sqrt{2}$ V(실횻값 4 V)이므로
$V=\sqrt{V_0^2+V_1^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{V}$

• 직류성분 7 V: 직류성분은 상수항인 3 V이다.
• 기본파 최댓값 4 V: 최댓값은 $4\sqrt{2}\,\mathrm{V}$이고 4 V는 실횻값이다.
• 기본파 실횻값 0 V: 기본파 실횻값은 4 V이다.

코일의 인덕턴스는 0.4 H이다.

유도기전력 $e=L\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$에서
$\dfrac{\Delta i}{\Delta t}=\dfrac{4-2}{0.2}=10\,\mathrm{A/s}$

$L=\dfrac{e}{\Delta i/\Delta t}=\dfrac{4}{10}=0.4\,\mathrm{H}$

• 0.1 H: 이 값이면 유도기전력은 1 V에 그친다.
• 1 H: 이 값이면 유도기전력은 10 V가 된다.
• 2.5 H: 이 값이면 유도기전력은 25 V가 된다.

㉠은 렌츠의 법칙, ㉡은 패러데이의 법칙이다.

유도기전력의 방향(자속 변화를 방해)을 정하는 것이 렌츠의 법칙이고, 크기(쇄교 자속의 변화율에 비례)를 정하는 것이 패러데이의 법칙이다. 두 법칙을 합친 식이 $e=-N\dfrac{d\phi}{dt}$이다.

• 플레밍의 왼손 법칙, 플레밍의 오른손 법칙: 왼손 법칙은 전류가 받는 힘의 방향을 정하는 전동기 원리다.
• 플레밍의 왼손 법칙, 패러데이의 법칙: ㉠에 힘의 방향 법칙을 넣은 조합이다.
• 렌츠의 법칙, 플레밍의 오른손 법칙: 오른손 법칙은 운동하는 도체의 기전력 방향을 정하며, 크기와 자속 변화율의 관계를 말하는 법칙이 아니다.

저항에 흐르는 평균전류는 $\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,\mathrm{A}$이다.

다이오드 하나로 된 반파 정류 회로이므로 평균값은 최댓값의 $1/\pi$배이다. 최대 전류는 다음과 같다.
$I_{m}=\dfrac{200\sqrt{2}}{100}=2\sqrt{2}\,\mathrm{A}$

따라서 평균전류는 다음과 같다.
$I_{\mathrm{av}}=\dfrac{I_{m}}{\pi}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,\mathrm{A}$

• $\dfrac{4\sqrt{2}}{\pi}$: 전파 정류의 평균값($2I_{m}/\pi$)이다.
• $\dfrac{4}{\pi}$: 실횻값 2 A를 최댓값으로 착각하고 전파 정류로 계산한 값이다.
• $\dfrac{2}{\pi}$: 실횻값 2 A를 최댓값으로 착각한 반파 정류 값이다.

양단 전압은 0∠0° V이다.

세 상전압은 크기가 같고 120°씩 위상이 다른 평형 3상이므로 페이저 합이 0이다.
$V\angle 0^{\circ}+V\angle -120^{\circ}+V\angle -240^{\circ}=V\left(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+jV\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$

• V∠90°: 세 상전압의 페이저 합은 0이므로 크기 V가 남지 않는다.
• √2V∠120°: 크기가 0이 아닌 값이므로 평형 3상의 합과 맞지 않는다.
• (1/√2)V∠240°: 마찬가지로 합의 크기가 0이라는 점과 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 ㉢구간의 유도기전력이 10 V라는 설명이다.

코일 전압은 $v_{L}=L\dfrac{di_{L}}{dt}$이다. ㉢구간(0.5~0.6 s)에서는 전류가 1 A에서 0으로 감소하므로 기울기가 음수다.
$v_{L}=1\times\dfrac{0-1}{0.6-0.5}=-10\,\mathrm{V}$

• ㉠구간 5 V: $1\times\dfrac{1-0}{0.2}=5\,\mathrm{V}$로 옳다.
• ㉡구간 0 V: 전류가 일정해 $di_{L}/dt=0$이므로 옳다.
• ㉡구간 에너지 0.5 J: $W=\dfrac{1}{2}LI^{2}=\dfrac{1}{2}\times 1\times 1^{2}=0.5\,\mathrm{J}$로 옳다.

정전용량은 6 μF이다.

비유전율 5인 유전체로 가득 채웠을 때 10 μF이므로 공기만 있을 때는 $C_{0}=\dfrac{10}{5}=2\,\mathrm{\mu F}$이다. 유전체가 극판 면적의 절반을 위아래로 나눠 차지하므로 두 부분은 병렬이다.

각 부분의 면적이 절반이므로 다음과 같다.
$C=\dfrac{10}{2}+\dfrac{2}{2}=5+1=6\,\mathrm{\mu F}$

• 5 μF: 유전체 부분만 계산하고 공기 부분을 빠뜨린 값이다.
• 9 μF: 공기 부분을 잘못 계산한 값이다.
• 10 μF: 유전체를 제거하기 전의 값이다.

회로의 합성저항은 2 Ω이다.

왼쪽 빗변의 R은 전원 양단에 직접 연결되고, 오른쪽 빗변의 R과 아래쪽 R은 직렬(2R)로 같은 전원에 병렬 연결된다. $\mathrm{I_1}$은 이 직렬 경로의 전류이다.
$\dfrac{9}{2R}=1.5\;\Rightarrow\;R=3\,\mathrm{\Omega}$

합성저항은 R과 2R의 병렬이다.
$R_{0}=\dfrac{3\times 6}{3+6}=2\,\mathrm{\Omega}$

• 3 Ω: 저항 한 개의 값이다.
• 6 Ω: 직렬 경로(2R)만의 저항이다.
• 9 Ω: 세 저항을 모두 직렬로 본 값이다.

3상 전체 유효전력은 1.2 kW이다.

Y결선 상전압과 상전류:
$V_p=\dfrac{100}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V},\quad |Z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{\Omega}$
$I_p=\dfrac{100/\sqrt{3}}{5}=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$

유효전력은 저항분에서만 소비되므로
$P=3I_p^2R=3\times\dfrac{400}{3}\times3=1200\,\mathrm{W}$

• 0.4 kW: 한 상의 유효전력만 구한 값이다.
• 0.7 kW: 세 상 합계 1200 W보다 작아 맞지 않는다.
• 2.1 kW: 세 상 합계 1200 W보다 커 맞지 않는다.