21년 1회차

저항을 크게 하는 방법은 도체의 온도를 높이는 것과 단면적을 작게 하는 것이므로 ㄱ, ㄷ이다.

도체 저항은 $R=\rho\dfrac{l}{A}$로, 길이에 비례하고 단면적에 반비례하며, 금속 도체의 저항률은 온도가 오르면 커진다.

• 도체의 길이를 짧게 하는 것: 길이에 비례하므로 저항이 오히려 작아진다.
• 도전율이 큰 금속을 선택하는 것: 도전율이 크면 저항률이 작아 저항이 작아진다.

평등 자기장 속 직선 도선이 받는 힘은 자기장의 세기에 비례한다.

도선이 받는 전자력은 $F = BIl\sin\theta$ 이므로 자속밀도 $B$, 전류 $I$, 도선 길이 $l$에 각각 비례하고, 자기장과 도선이 이루는 각 $\theta$의 사인값에 비례한다.

• 도선의 길이에 반비례한다는 설명: 힘은 길이 $l$에 비례한다.
• 전류의 크기에 반비례한다는 설명: 힘은 전류 $I$에 비례한다.
• 자기장과 도선이 평행할수록 힘이 커진다는 설명: 평행이면 $\theta = 0^\circ$로 $\sin\theta = 0$이 되어 힘이 0이고, 수직일 때 최대이다.

환상 솔레노이드 내부의 자계 세기는 400 AT/m이다.

자계 세기는 투자율과 무관하게 암페어 주회 법칙으로 정해진다.
$H = \dfrac{NI}{l}$
$H = \dfrac{200 \times 1}{0.5}$
$H = 400\ \mathrm{AT/m}$

비투자율과 단면적은 자속밀도 $B = \mu_0\mu_r H$나 자속을 구할 때 쓰이는 값으로, 자계 세기 계산에는 들어가지 않는다.

선전류의 크기는 $4\sqrt{3}\,\mathrm{A}$이다.

Y 전원의 상전압이 $\dfrac{200}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V}$이므로 Δ 부하 각 상에 걸리는 선간전압은 $\sqrt{3}\times\dfrac{200}{\sqrt{3}}=200\,\mathrm{V}$이다.

$|Z|=\sqrt{40^2+30^2}=50\,\mathrm{\Omega}$이므로 상전류는 $\dfrac{200}{50}=4\,\mathrm{A}$이다.

Δ 결선에서 선전류는 상전류의 $\sqrt{3}$배이므로 $I_l=4\sqrt{3}\,\mathrm{A}$이다.

마디해석으로 구하면 $v_2=20\,\mathrm{V}$이다.

5 A 전류원은 마디 $v_2$에서 전류를 빼내 마디 $v_1$로 공급하고, 10 A 전류원은 마디 $v_2$로 공급한다.

마디 $v_1$: $\dfrac{v_1}{2}+\dfrac{v_1-v_2}{4}=5$ → $3v_1-v_2=20$
마디 $v_2$: $\dfrac{v_2}{6}+\dfrac{v_2-v_1}{4}=10-5$ → $-3v_1+5v_2=60$

두 식을 더하면 $4v_2=80$이므로 $v_2=20\,\mathrm{V}$이다(이때 $v_1=\dfrac{40}{3}\,\mathrm{V}$).

합성자기저항은 철심 자기저항의 $1+\dfrac{\mu l_g}{\mu_0 l_c}$배이다.

철심과 공극은 자기회로에서 직렬이므로 $R_c=\dfrac{l_c}{\mu S}$, $R_g=\dfrac{l_g}{\mu_0 S}$를 더한다.

$\dfrac{R_c+R_g}{R_c}=1+\dfrac{l_g/(\mu_0 S)}{l_c/(\mu S)}=1+\dfrac{\mu l_g}{\mu_0 l_c}$

• $1+\dfrac{\mu_0 l_g}{\mu l_c}$: 투자율의 위치가 뒤바뀌었다. 공극은 투자율이 작아 자기저항이 커야 한다.
• $1+\dfrac{\mu_0 l_c}{\mu l_g}$, $1+\dfrac{\mu l_c}{\mu_0 l_g}$: 길이 비가 뒤집혀 공극 길이가 길수록 자기저항이 줄어드는 모순이 된다.

같은 용량의 콘덴서를 직렬로 연결하면 합성 용량이 절반으로 줄어 평활 효과가 나빠지므로, 더 좋은 직류를 얻는다는 설명이 옳지 않다.

리플을 줄이려면 평활 콘덴서의 용량을 키워야 하며, 이는 병렬 연결로 얻는다.

• 서지전류: 초기 전압이 0인 콘덴서가 전원 투입 순간 급속히 충전되므로 큰 돌입전류가 흐른다.
• 회로 구성: 다이오드 4개로 된 브리지형 전파 정류회로이다.
• 축적 에너지: $W=\dfrac{1}{2}CV^2=\dfrac{1}{2}\times1000\times10^{-6}\times5^2=12.5\,\mathrm{mJ}$로 옳다.

t=2에서 저장 에너지는 t=1일 때의 4배이므로 2배라는 설명이 옳지 않다.

0~2초 동안 10 mA가 일정하게 흐르므로 $v(t)=\dfrac{1}{C}\int i\,dt=\dfrac{10\times10^{-3}}{2\times10^{-6}}t=5000t\,\mathrm{V}$이다.

t=1: $v=5000\,\mathrm{V}$, $W=\dfrac{1}{2}\times2\times10^{-6}\times5000^2=25\,\mathrm{J}$
t=2: $v=10000\,\mathrm{V}$, $W=100\,\mathrm{J}$ — 에너지는 전압의 제곱에 비례한다.

• t=1의 에너지 25 J: 위 계산과 같다.
• t가 2보다 큰 구간: 전류가 0이므로 전압이 일정하게 유지된다.
• 0과 2 사이 구간: 일정 전류로 충전되어 전압이 직선적으로 증가한다.

전원 $v_1$이 공급하는 피상전력은 $10\sqrt{2}\,\mathrm{VA}$이다.

실횻값 페이저는 $V_1=10\angle0^\circ$, $V_2=9\angle0^\circ\,\mathrm{V}$이다. 저항에는 $V_1$이 그대로 걸리므로 $R=\dfrac{10^2}{10}=10\,\mathrm{\Omega}$, $I_R=1\,\mathrm{A}$이다.

인덕터 전류: $I_L=\dfrac{10-9}{j1}=-j1\,\mathrm{A}$
전원 전류: $I_1=I_R+I_L=1-j1$, $|I_1|=\sqrt{2}\,\mathrm{A}$

따라서 피상전력 $S=V_1|I_1|=10\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}\,\mathrm{VA}$이다.

등가 임피던스는 $Z_{TH}=\dfrac{s^2+1}{s}$, 출력전압은 $V(s)=\dfrac{4(s+3)}{(s+1)^2}$이다.

전원을 제거하면 전류원은 개방되어 6 Ω은 빠지고, 인덕터와 커패시터가 출력단에서 직렬로 보인다: $Z_{TH}=s+\dfrac{1}{s}=\dfrac{s^2+1}{s}$

개방 시 커패시터에 전류가 없으므로 전류원 전류 $\dfrac{2}{s}$가 모두 인덕터 가지로 흐른다: $V_{OC}=s\cdot\dfrac{2}{s}+\dfrac{6}{s}=\dfrac{2(s+3)}{s}$

전압 분배: $V(s)=\dfrac{2(s+3)}{s}\cdot\dfrac{2}{2+\frac{s^2+1}{s}}=\dfrac{4(s+3)}{s^2+2s+1}=\dfrac{4(s+3)}{(s+1)^2}$

• $Z_{TH}=\dfrac{s}{s^2+1}$인 조합: 인덕터와 커패시터를 병렬로 본 값이다.
• 분모에 $s(2s^2+s+2)$가 있는 조합: 인덕터와 커패시터를 병렬 임피던스 $\dfrac{s}{s^2+1}$로 보고 전압 분배한 값이다.

부하저항은 $R_L=4\,\mathrm{\Omega}$이다.

(나)는 (가)의 전압원과 직렬저항 R을 노턴 등가로 바꾼 것이므로 $I_N=\dfrac{6}{R}=3$에서 $R=2\,\mathrm{\Omega}$이다.

(가)에서 전류가 1 A이므로 $R+R_L=\dfrac{6}{1}=6\,\mathrm{\Omega}$, 따라서 $R_L=6-2=4\,\mathrm{\Omega}$이다.

밀만의 정리로 구하면 $V_{ab}=2\,\mathrm{V}$이다.

왼쪽 가지는 전원의 극성이 반대(위가 −)이므로 b 기준 $-10\,\mathrm{V}$, 오른쪽 가지는 $+10\,\mathrm{V}$로 본다.

$V_{ab}=\dfrac{\frac{-10}{3}+\frac{10}{2}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{10}{6}}{\frac{5}{6}}=2\,\mathrm{V}$

R-L 직렬회로에서 주파수가 증가하면 전류는 감소하고 인덕터 전압은 증가한다.

유도 리액턴스 $X_L = \omega L$는 주파수에 비례하므로, 주파수가 오르면 임피던스 $|Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2}$가 커져 전류 $I = V/|Z|$가 줄어든다.

저항 전압 $V_R = IR$은 전류를 따라 줄고, 인덕터 전압 $V_L = V\dfrac{X_L}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$은 $X_L$이 클수록 커진다.

• 주파수 증가 시 전류와 저항 전압이 모두 증가한다는 설명: 임피던스가 커져 전류와 저항 전압은 모두 감소한다.
• 주파수 감소 시 전류는 증가하고 저항 전압은 감소한다는 설명: 전류가 늘면 $V_R = IR$도 함께 증가한다.
• 주파수 감소 시 전류가 감소한다는 설명: 리액턴스가 작아져 임피던스가 줄므로 전류는 증가한다.

$t>0$에서 전류는 $i(t)=0.1e^{-t}\,\mathrm{A}$이므로 $10e^{-t}\,\mathrm{A}$라는 설명이 옳지 않다.

a에 오래 연결되어 있으면 커패시터는 6 Ω 양단 전압으로 충전된다: $v(0)=25\times\dfrac{6}{9+6}=10\,\mathrm{V}$

b로 옮기면 커패시터가 100 Ω으로 방전한다: $\tau=RC=100\times10\times10^{-3}=1\,\mathrm{s}$, $i(t)=\dfrac{10}{100}e^{-t}=0.1e^{-t}\,\mathrm{A}$

• 초기 전압 10 V: 전압 분배 결과와 같다.
• 시정수 1초: $RC$ 계산과 같다.
• 시정수가 커패시터에 비례: $\tau=RC$이므로 옳다.

실횻값은 $10\,\mathrm{V}$이다.

파형은 주기 3초 동안 1초는 +10 V, 2초는 −10 V로, 크기가 항상 10 V이다.

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(10^2\times1+(-10)^2\times2\right)}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{V}$

제곱하면 부호가 사라지므로 듀티와 무관하게 실횻값은 진폭과 같다.

병렬공진에서는 임피던스가 최대, 전류가 최소가 되므로 '임피던스 최소, 전류 최대'라는 설명이 옳지 않다(이것은 직렬공진의 특성).

공진 시 리액턴스 성분이 상쇄되어 직렬·병렬 모두 순저항만 남는다.

• 역률: 직렬·병렬 공진 모두 순저항 회로가 되어 역률이 1이다.
• L과 C의 전압 합: 직렬공진에서 두 전압은 크기가 같고 위상이 반대라 합이 0이다.
• 선택도: 직렬은 $Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$, 병렬은 $Q=R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$로 옳다.

전류가 최대가 되려면 직렬 공진이 되어야 하므로 50 mH 인덕터를 연결한다.

$\omega=100\,\mathrm{rad/s}$에서 $X_L=100\times50\times10^{-3}=5\,\mathrm{\Omega}$, $X_C=\dfrac{1}{100\times1000\times10^{-6}}=10\,\mathrm{\Omega}$이다.

합성 리액턴스가 $-j5\,\mathrm{\Omega}$(용량성)이므로 $+j5\,\mathrm{\Omega}$를 더해야 한다: $L=\dfrac{5}{100}=50\,\mathrm{mH}$

• 100 mH 인덕터: $+j10\,\mathrm{\Omega}$가 되어 유도성 $j5$가 남는다.
• 커패시터: 용량성 리액턴스를 더 키워 공진에서 멀어진다.

커패시터 전류는 $i_c(t)=2e^{-t}\,\mathrm{A}$이다.

커패시터에서 본 테브난 등가: $V_{TH}=12\times\dfrac{6}{6+6}=6\,\mathrm{V}$, $R_{TH}=6\parallel(3+3)=3\,\mathrm{\Omega}$

시정수 $\tau=R_{TH}C=3\times\dfrac{1}{3}=1\,\mathrm{s}$, 초기 전류 $i_c(0^+)=\dfrac{6-0}{3}=2\,\mathrm{A}$

따라서 $i_c(t)=2e^{-t}\,\mathrm{A}$이다.

• $e^{-t}$: 초기 전류를 1 A로 잘못 본 값이다.
• $e^{-2t}$, $2e^{-2t}$: 시정수를 0.5초로 잘못 본 값이다.

전파 정류 출력의 실횻값은 $\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{100\pi}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2}\pi\,\mathrm{V}$이므로 $100\pi\sqrt{2}\,\mathrm{V}$라는 설명이 옳지 않다.

브리지 전파 정류의 평균값은 $\dfrac{2V_m}{\pi}=200$이므로 $V_m=100\pi\,\mathrm{V}$이다.

• 주파수: $f=\dfrac{1}{0.25}=4\,\mathrm{Hz}$로 옳다.
• 최댓값: 평균값에서 구한 $100\pi\,\mathrm{V}$로 옳다.
• 입력 위상: 파형이 $\omega t=\dfrac{\pi}{6}$에서 0을 지나 증가하므로 $A\sin(\omega t-30^\circ)$로 옳다.

중성선 전류의 크기는 $100+100\sqrt{3}\,\mathrm{A}$이다.

중성선이 연결되어 있으므로 각 부하에는 해당 상전압이 그대로 걸린다($\omega=1$에서 1 F은 $-j1\,\mathrm{\Omega}$, 1 H는 $j1\,\mathrm{\Omega}$).

$I_A=\dfrac{100\angle0^\circ}{1}=100\angle0^\circ$
$I_B=\dfrac{100\angle-120^\circ}{-j1}=100\angle-30^\circ$
$I_C=\dfrac{100\angle-240^\circ}{j1}=100\angle30^\circ$

중성선 전류는 세 선전류의 합이다: $100+2\times100\cos30^\circ=100+100\sqrt{3}\,\mathrm{A}$