22년 1회차

회로의 등가 컨덕턴스는 3.5 S이다.

컨덕턴스는 병렬이면 단순 합, 직렬이면 곱/합으로 합성한다.
오른쪽 12 S와 4 S 직렬: $\dfrac{12\times4}{12+4}=3\,\mathrm{S}$
가운데 4 S와 병렬: $3+4=7\,\mathrm{S}$
입력측 7 S와 직렬: $G_{eq}=\dfrac{7\times7}{7+7}=3.5\,\mathrm{S}$

• 1.5 S: 직렬·병렬 합성 순서를 바르게 따르면 나오지 않는 값이다.
• 2.5 S: 마지막 직렬 합성(7 S와 7 S)의 결과와 다르다.
• 4.5 S: 7 S와 7 S의 직렬 합성은 3.5 S이므로 맞지 않는다.

1 Ω에 흐르는 전류는 3 A이다.

윗마디 전압을 V로 두고 KCL(유입=유출)을 세운다.
$\dfrac{3-V}{2}+3=\dfrac{V}{1}$
$4.5=1.5V\Rightarrow V=3\,\mathrm{V}$

따라서 $I=\dfrac{3\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{\Omega}}=3\,\mathrm{A}$이다. 중첩으로 보면 전압원 단독 기여 1 A와 전류원 단독 기여 2 A의 합이다.

• 1 A: 전압원만 남긴 기여분 $\dfrac{3}{2+1}$만 계산한 값이다.
• 2 A: 전류원만 남긴 기여분 $3\times\dfrac{2}{2+1}$만 계산한 값이다.
• 4 A: 두 기여분의 합(1 A + 2 A)과 맞지 않는다.

선적분 값은 −10 A이다.

앰페어 주회 법칙: $\oint_L \vec{H}\cdot d\vec{l}=I_{enc}$ 로, 폐경로가 둘러싼 전류만 반영한다.
경로 L은 시계 방향이므로 오른나사 법칙상 지면으로 들어가는 방향이 양(+)이다.

내부의 10 A는 지면에서 나오는 방향(⊙)이므로 $I_{enc}=-10\,\mathrm{A}$이고, 30 A는 경로 밖에 있어 기여하지 않는다.

• −20 A: 경로 밖 30 A를 포함하고 부호를 거꾸로 잡은 값이다.
• 10 A: 경로 방향(시계 방향)에 따른 부호를 무시한 값이다.
• 20 A: 경로 밖 30 A를 포함해 −10+30으로 계산한 값이다.

최댓값에서 시작해 지수적으로 0으로 감소하는 파형은 인덕터 L의 전압 파형이다.

직류 전압 V 인가 후 $i(t)=\dfrac{V}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\ \tau=\dfrac{L}{R}$
$v_R=V\left(1-e^{-t/\tau}\right),\quad v_L=Ve^{-t/\tau}$

초기에는 인덕터가 전류 변화를 막아 전압 전부를 받고, 정상상태에서는 단락처럼 되어 전압이 0이 된다.

• 저항 R의 전류 파형: 0에서 시작해 지수적으로 증가한다.
• 저항 R의 전압 파형: 전류에 비례하므로 역시 0에서 증가한다.
• 인덕터 L의 전류 파형: 직렬이라 저항 전류와 같아 증가 파형이다.

부하 저항에서 소비되는 전력은 20 W이다.

회로 전류: $I=\dfrac{12}{1+5}=2\,\mathrm{A}$
부하 전력: $P=I^2R_L=2^2\times5=20\,\mathrm{W}$

내부저항에서 2 V가 강하하므로 부하 전압은 10 V이고, 10 V × 2 A로 확인해도 같다.

• 12 W: 부하 전압·전류의 곱과 맞지 않는다.
• 24 W: 전원이 공급하는 전체 전력(12 V × 2 A)으로, 내부저항 손실 4 W가 포함되어 있다.
• 28.8 W: 내부저항을 무시하고 $\dfrac{12^2}{5}$로 계산한 값이다.

평형 3상 Y결선 부하에서는 선전류와 상전류의 크기가 같다는 설명이 옳다.

Y결선은 각 상이 선로에 직렬로 이어져 선로 전류가 그대로 상을 흐르므로 $I_{l}=I_{p}$이고, 선간전압은 두 상전압의 차이므로 $V_{l}=\sqrt{3}\,V_{p}$이다. △결선은 반대로 $V_{l}=V_{p}$, $I_{l}=\sqrt{3}\,I_{p}$이다.

• △결선 전원의 선간전압이 상전압의 √3배라는 설명: △결선은 선간전압과 상전압이 같으므로 틀리다.
• △결선 부하의 선전류가 상전류와 같다는 설명: △결선의 선전류는 상전류의 √3배이므로 틀리다.
• Y결선 전원의 선간전압이 상전압과 같다는 설명: Y결선의 선간전압은 상전압의 √3배이므로 틀리다.

전류와 전압의 관계식은 분자가 sC인 식 $I(s)=\dfrac{sC}{sRC+1}V(s)$ 이다.

초기 전압 0이므로 커패시터 임피던스는 $\dfrac{1}{sC}$이다.
$I(s)=\dfrac{V(s)}{R+\dfrac{1}{sC}}=\dfrac{sC}{sRC+1}V(s)$

직렬 RC는 직류(s=0)에서 전류가 0이어야 하므로 분자에 s가 있어야 한다.

• 분자가 C인 식: s가 빠져 직류에서도 전류가 흐르게 되어 틀리다.
• 분자가 s인 식: C가 빠져 단위(어드미턴스)가 맞지 않는다.
• 분자가 sR인 식: 분자에 C 대신 R이 들어가 단위가 맞지 않는다.

역률이 $1/\sqrt{2}$가 되는 인덕턴스는 1/10π H이다.

병렬 10 Ω 두 개는 5 Ω이므로 전체 저항 $R=5+5=10\,\mathrm{\Omega}$이다.
역률 $\cos\theta=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+X_L^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 이면 유도성 리액턴스=저항, 즉 $X_L=10\,\mathrm{\Omega}$이다.

$\omega=2\pi\times50=100\pi\,\mathrm{rad/s}$
$L=\dfrac{X_L}{\omega}=\dfrac{10}{100\pi}=\dfrac{1}{10\pi}\,\mathrm{H}$

• 1/π H: 리액턴스가 100 Ω이 되어 역률이 너무 낮다.
• 1/5π H: 리액턴스가 20 Ω으로 저항의 두 배가 된다.
• 1/20π H: 병렬부를 빼고 저항을 5 Ω으로 본 값이다.

용량성 리액턴스는 4 Ω이다.

임피던스 크기: $|Z|=\dfrac{V}{I}=\dfrac{200}{40}=5\,\mathrm{\Omega}$
직렬 RC 관계 $|Z|=\sqrt{R^2+X_C^2}$ 에서
$X_C=\sqrt{5^2-3^2}=4\,\mathrm{\Omega}$

$R,\ X_C,\ |Z|$가 3:4:5 직각삼각형을 이룬다.

• 5 Ω: 임피던스 크기 자체로, 리액턴스가 아니다.
• 6 Ω: 임피던스가 √45 Ω이 되어 전류가 40 A가 되지 않는다.
• 8 Ω: 임피던스가 √73 Ω이 되어 조건과 맞지 않는다.

테브난 등가전압은 5 V, 최대전력 조건의 부하저항은 2 Ω이다.

부하를 떼면 1 Ω에 전류가 흐르지 않아 단자전압은 가운데 2 Ω 양단 전압과 같다.
$V_{TH}=10\times\dfrac{2}{2+2}=5\,\mathrm{V}$

전압원을 단락하고 단자에서 본 저항:
$R_{TH}=(2\parallel2)+1=1+1=2\,\mathrm{\Omega}$
최대전력 전달은 $R_L=R_{TH}=2\,\mathrm{\Omega}$일 때이다.

• 5 V, 5 Ω: 부하저항이 테브난 저항과 같지 않다.
• 10 V, 2 Ω: 전압원 전압을 그대로 쓴 값으로 분압을 빠뜨렸다.
• 10 V, 5 Ω: 분압과 최대전력 조건을 모두 틀렸다.

인덕터 전류는 스위치가 닫힌 구간에서 위로 볼록하게 지수 상승하고, 열린 구간에서 다이오드를 통해 환류하며 지수 감소하는 파형이다.

시정수 $\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{10}{10}=1\,\mathrm{s}$로 스위칭 간격과 같다.
닫힘: $i(t)=\dfrac{V}{10}\left(1-e^{-t}\right)$ — 초기 기울기가 가장 크다.
열림: 인덕터 전류가 다이오드로 흐르며 $i(t)=i(1)e^{-(t-1)}$로 줄어든다.

인덕터 전류는 순간적으로 변할 수 없으므로 스위칭 순간에도 연속이다.

• 구형파: 인덕터 전류가 계단처럼 불연속으로 변해 불가능하다.
• 0과 정점에서 기울기가 0인 매끄러운 곡선: 닫힌 직후 기울기는 V/L로 최대여야 한다.
• 아래로 볼록하게 상승하는 곡선: 상승 형태가 지수 충전과 반대다.

역률은 50 %, 유효전력은 40 W이다.

임피던스: $|Z|=\sqrt{10^2+(10\sqrt{3})^2}=\sqrt{400}=20\,\mathrm{\Omega}$
역률: $\cos\theta=\dfrac{R}{|Z|}=\dfrac{10}{20}=0.5$

전류: $I=\dfrac{40}{20}=2\,\mathrm{A}$
유효전력: $P=I^2R=2^2\times10=40\,\mathrm{W}$

• 50 %, 20 W: 유효전력을 $VI\cos\theta$에서 역률을 두 번 곱한 꼴로 계산한 값이다.
• 100 %, 20 W: 용량성 리액턴스가 있으므로 역률이 1이 될 수 없다.
• 100 %, 40 W: 유효전력은 맞지만 역률을 1로 잘못 보았다.

주파수를 바꿔 얻는 전류 최댓값은 5 A이다.

직렬 RLC는 공진($X_L=X_C$)에서 임피던스가 R로 최소가 되어 전류가 가장 크다.
$I_m=\dfrac{V_m}{R}=\dfrac{100}{20}=5\,\mathrm{A}$

L, C 값은 공진주파수만 정할 뿐 공진 시 전류 크기에는 영향을 주지 않는다.

• 0.5 A: 공진 시 임피던스 R을 쓰면 나오지 않는 값이다.
• 1 A: 전압 최댓값 100 V를 R로 나눈 값과 다르다.
• 10 A: 저항을 실제의 절반으로 본 값이다.

합성 인덕턴스는 10 mH, 각 전압은 8 V, 2 V, 2 V이다.

병렬 3 mH와 6 mH: $\dfrac{3\times6}{3+6}=2\,\mathrm{mH}$
직렬 8 mH 합산: $L_0=8+2=10\,\mathrm{mH}$

같은 전류에서 리액턴스는 인덕턴스에 비례하므로 전압도 인덕턴스 비로 나뉜다.
$V_1=10\times\dfrac{8}{10}=8\,\mathrm{V},\quad V_2=V_3=10\times\dfrac{2}{10}=2\,\mathrm{V}$
병렬인 두 인덕터의 전압은 같다.

• 4 mH, 2 V, 8 V, 8 V: 합성 인덕턴스와 전압 분배가 모두 틀리다.
• 10 mH, 4 V, 4 V, 8 V: 병렬 소자의 전압이 서로 달라 성립하지 않는다.
• 4 mH, 6 V, 4 V, 8 V: 병렬 소자 전압이 다르고 합성값도 틀리다.

합성 자계가 0인 지점까지의 거리는 0.4 m이다.

두 전류가 같은 방향이므로 도체 사이에서 두 자계 방향이 반대가 되어 상쇄될 수 있다.
무한 직선 도체 자계 $H=\dfrac{I}{2\pi r}$ 를 같게 놓으면
$\dfrac{2}{2\pi x}=\dfrac{3}{2\pi(1-x)}\Rightarrow 2(1-x)=3x\Rightarrow x=0.4\,\mathrm{m}$

영점은 전류가 작은 도체 쪽에 가깝다.

• 0.3 m: 두 자계 크기가 같아지는 위치가 아니다.
• 0.5 m: 두 전류가 같을 때의 중점이다.
• 0.6 m: 거리 비를 거꾸로 적용해 큰 전류 쪽에 가깝게 잡은 값이다.

부하 임피던스는 200∠60° Ω이다.

Y결선 상전압은 $200\angle0^\circ\,\mathrm{V}$이다.
상당 전력 $P=V_pI_p\cos\theta$ 에서 $I_p=\dfrac{100}{200\times0.5}=1\,\mathrm{A}$
$|Z_p|=\dfrac{200}{1}=200\,\mathrm{\Omega}$

뒤진 역률은 유도성이므로 임피던스 각이 양(+)이다: $\theta=\cos^{-1}0.5=60^\circ$

• 200∠−60° Ω: 앞선(용량성) 역률일 때의 값이다.
• 200√3∠60° Ω: 상전압 200 V와 상전류 1 A로 구한 크기 200 Ω과 맞지 않는다.
• 200√3∠−60° Ω: 크기도 200 Ω이 아니고, 각도도 용량성(앞선 역률)이다.

인덕턴스는 권수의 제곱에 비례하므로 권수를 절반인 1,000회로 줄여야 하고, 제거할 횟수는 1,000회이다.

자기포화·누설자속을 무시하면 $L=\dfrac{N^{2}}{R_{m}}$이고 철심의 자기저항 $R_{m}$은 그대로이므로 $L\propto N^{2}$이다.

$\dfrac{L_{2}}{L_{1}}=\left(\dfrac{N_{2}}{N_{1}}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$
$N_{2}=\dfrac{N_{1}}{2}=\dfrac{2000}{2}=1000$
$N_{1}-N_{2}=2000-1000=1000$

• 250회 또는 500회만 제거하면 권수가 1,750회·1,500회로 남아 인덕턴스가 1 H보다 크다.
• 1,500회를 제거하면 권수가 500회가 되어 인덕턴스가 $4\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=0.25\,\mathrm{H}$로 지나치게 작아진다.

전계가 0인 지점까지의 거리는 약 2.4 m이다.

두 전하 부호가 반대이므로 두 전하 사이에서는 전계가 더해져 0이 될 수 없고, 크기가 작은 전하 Q의 바깥쪽에 영점이 있다.
$\dfrac{k\cdot2Q}{(1+d)^2}=\dfrac{kQ}{d^2}\Rightarrow(1+d)^2=2d^2$

$1+d=\sqrt{2}d\Rightarrow d=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\approx2.41\,\mathrm{m}$

• 0.1 m: 두 전계 크기가 같아지는 거리가 아니다.
• 0.24 m: 자릿수를 잘못 잡은 값이다.
• 1 m: 이 위치에서 Q의 전계가 −2Q의 전계의 두 배로 상쇄되지 않는다.

미분방정식은 일계·영계 계수가 모두 3인 $\dfrac{d^2v_o}{dt^2}+3\dfrac{dv_o}{dt}+3v_o=v(t)$ 이다.

출력 마디 KCL(1 Ω과 1 F 병렬): $i=\dfrac{v_o}{1}+1\cdot\dfrac{dv_o}{dt}$
루프 KVL: $v=2i+1\cdot\dfrac{di}{dt}+v_o$

대입: $v=2v_o+2\dfrac{dv_o}{dt}+\dfrac{dv_o}{dt}+\dfrac{d^2v_o}{dt^2}+v_o$
$=\dfrac{d^2v_o}{dt^2}+3\dfrac{dv_o}{dt}+3v_o$

• 계수가 1/3, 1/3인 식: 두 계수가 모두 역수로 뒤집혔다.
• 계수가 1/3, 3인 식: 일계 계수가 역수로 뒤집혔다.
• 계수가 3, 1/3인 식: 영계 계수가 역수로 뒤집혔다.

도체판을 넣으면 커패시턴스가 25% 증가한다.

삽입한 도체판 내부는 전계가 0이어서, 유전체 부분의 전체 두께만 $d-t=0.01-0.002=0.008\,\mathrm{m}$로 줄어든 것과 같다.
$C_a=\dfrac{\varepsilon S}{d},\quad C_b=\dfrac{\varepsilon S}{d-t}$

$\dfrac{C_b}{C_a}=\dfrac{0.01}{0.008}=1.25$ 이므로 1.25배가 된다.

• 20% 증가: 간격 감소율(0.002/0.01=20%)을 커패시턴스 증가율로 착각한 값이다.
• 25% 감소: 간격이 줄면 커패시턴스는 커지므로 감소가 아니다.
• 20% 감소: 비율을 거꾸로 잡은($C_a/C_b=0.8$) 값으로, 감소가 아니다.