19년 1회차

옳은 것은 ㄱ과 ㄷ이다.

표본평균은 자료의 합을 개수로 나눈 값이고, 각 자료와 표본평균의 차이인 편차의 합은 항상 0이다. 평균보다 큰 자료와 작은 자료의 개수가 같다는 것은 중앙값의 성질이다.

• ㄱ: $\bar{x}=\dfrac{1+3+5+7+9}{5}=\dfrac{25}{5}=5$이므로 옳다.
• ㄴ: 예를 들어 자료 1, 2, 9는 평균이 4로 평균보다 작은 자료가 2개, 큰 자료가 1개이므로 항상 같지는 않다. 틀리다.
• ㄷ: $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{n}x_i-n\bar{x}=0$이므로 옳다.

P(A∩B)의 값은 1/12이다.

조건부확률의 정의를 대입하면
$P(B|A)+P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}+\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=3P(A\cap B)+4P(A\cap B)=7P(A\cap B)$

$7P(A\cap B)=\dfrac{7}{12}$이므로 $P(A\cap B)=\dfrac{1}{12}$이다. 두 조건부확률의 분모가 각각 P(A)와 P(B)로 다르다는 점이 핵심이다.

45 이상의 값을 갖는 자료는 전체의 50%이므로, 35%라는 설명이 옳지 않다.

상자그림에서 최솟값 10, 제1사분위수 27.5, 중앙값 45, 제3사분위수 62.5, 최댓값 80이다. 중앙값 이상인 자료는 전체의 절반이다.

• 최솟값이 10이라는 설명: 왼쪽 수염 끝이 10이므로 옳다.
• 범위가 70이라는 설명: $80-10=70$이므로 옳다.
• 사분위수 범위가 35라는 설명: $Q_3-Q_1=62.5-27.5=35$이므로 옳다.

옳은 것은 ㄴ과 ㄷ이다.

확률표본의 표본평균은 기댓값이 $E(\bar{X})=\mu$, 분산이 $Var(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}$이다.

• ㄱ: $\dfrac{\sigma^2}{n}\le\sigma^2$이므로 표본평균의 분산은 $\mathrm{X}_{1}$의 분산보다 크지 않다. 틀리다.
• ㄴ: 표본평균의 기댓값 μ는 $\mathrm{X}_{1}$의 기댓값과 같다. 옳다.
• ㄷ: 분산 $\dfrac{\sigma^2}{n}$은 n이 커질수록 작아진다. 옳다.

W는 평균 2, 표준편차 3인 정규분포를 따르므로 a = 2+3×$z_{0.05}$이다.

독립인 정규확률변수의 선형결합은 정규분포를 따른다.
$E(W)=2-2\times 1+2=2$
$Var(W)=1^2+(-2)^2\times 1^2+2^2=1+4+4=9$

$P(W\gt a)=P\left(Z\gt \dfrac{a-2}{3}\right)=0.05$이므로 $\dfrac{a-2}{3}=z_{0.05}$, 즉 $a=2+3z_{0.05}$이다.

• 2+3×$z_{0.95}$: $z_{0.95}$는 상위 95% 지점(음수)이어서 P(W>a)=0.95가 된다.
• 2+4×$z_{0.05}$: 분산이 9이므로 곱할 값은 표준편차 3이다.
• 2+4×$z_{0.95}$: 표준편차와 분위수가 모두 틀렸다.

모평균의 95% 신뢰구간은 1.96과 표준오차 11.07/8을 쓴 $\left(36.38-1.96\times\dfrac{11.07}{8},\ 36.38+1.96\times\dfrac{11.07}{8}\right)$이다.

표본크기 64인 대표본이므로 신뢰구간은 $\bar{x}\pm z_{0.025}\dfrac{s}{\sqrt{n}}$이다.
$z_{0.025}=1.96,\ \sqrt{64}=8$

• 1.96과 분모 64를 쓴 구간: 표본표준편차를 n으로 나눈 것으로, 표준오차는 $\sqrt{n}=8$로 나눠야 한다.
• 1.645와 분모 8을 쓴 구간: $P(Z\ge 1.645)=0.05$이므로 90% 신뢰구간의 계수이다.
• 1.645와 분모 64를 쓴 구간: 신뢰계수와 표준오차가 모두 틀렸다.

검정통계량은 합동표본비율 0.5로 표준오차를 구하고, 기각역은 $\mathrm{Z}_{0}$ ≤ −$z_{0.05}$인 짝이 옳다.

가설: $H_0:p_1=p_2$, $H_1:p_1\lt p_2$ (좌측검정)
$\hat{p}_1=0.4,\ \hat{p}_2=0.6,\ \hat{p}=\dfrac{40+60}{200}=0.5$
$Z_0=\dfrac{0.4-0.6}{\sqrt{\dfrac{0.5\times 0.5}{100}+\dfrac{0.5\times 0.5}{100}}}\approx -2.83$

• 합동비율 0.5와 우측 기각역 $Z_0\ge z_{0.05}$의 짝: 대립가설이 $p_1\lt p_2$이므로 왼쪽 꼬리에서 기각해야 한다.
• 개별 비율(0.4×0.6)과 우측 기각역의 짝: 표준오차와 기각역의 방향이 모두 틀렸다.
• 개별 비율(0.4×0.6)과 좌측 기각역의 짝: 귀무가설 $p_1=p_2$ 아래에서는 공통 비율을 합동표본비율로 추정해 표준오차를 구한다.

옳은 것은 ㄴ뿐이다.

독립이면 공분산이 0이므로 상관계수도 0이지만, 상관계수는 선형관계의 강도만 재므로 그 역은 성립하지 않는다.

• ㄱ: X가 -1, 0, 1을 같은 확률로 갖고 $Y=X^2$이면 $Cov(X,Y)=E(X^3)-E(X)E(X^2)=0$이지만 Y가 X로 결정되므로 독립이 아니다. 틀리다.
• ㄴ: 독립이면 $E(XY)=E(X)E(Y)$여서 공분산과 상관계수가 0이다. 옳다.
• ㄷ: Y가 기울기 $\dfrac{1}{2}\gt 0$인 X의 일차식이므로 상관계수는 1이다. 기울기의 크기는 상관계수와 무관하다. 틀리다.

유의확률은 검정통계량이 관측값 k 이상일 확률 P(X ≥ k)이므로, P(X≤k)와 같다는 설명이 옳지 않다.

관측도수와 기대도수의 차이가 클수록 카이제곱통계량이 커지므로 오른쪽 꼬리에서 기각한다. 2×2 분할표의 자유도는 $(2-1)(2-1)=1$이다.

• $\mathrm{O}_{11}$ 셀의 기대도수가 $\dfrac{(n_{1+})\times(n_{+1})}{n}$이라는 설명: 독립 가정 아래 $n\times\dfrac{n_{1+}}{n}\times\dfrac{n_{+1}}{n}$이므로 옳다.
• $\mathrm{O}_{11}$, $\mathrm{O}_{12}$ 셀 기대도수의 합이 $n_{1+}$라는 설명: $\dfrac{n_{1+}(n_{+1}+n_{+2})}{n}=n_{1+}$이므로 옳다.
• 전체 관측도수 합과 기대도수 합이 같다는 설명: 기대도수도 행·열 합계를 보존하므로 둘 다 n이다. 옳다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

F-분포를 따르는 변수의 역수는 분자·분모 자유도를 바꾼 F-분포를 따르고, 자유도 k인 t-분포 변수의 제곱은 $F(1,k)$를 따른다.

• ㄱ: $F\sim F(k_1,k_2)$이면 $\dfrac{1}{F}\sim F(k_2,k_1)$이므로 $F_{\alpha}(k_1,k_2)=\dfrac{1}{F_{1-\alpha}(k_2,k_1)}$이고 두 값의 곱은 1이다.
• ㄴ: $T=\dfrac{Z}{\sqrt{V/k}}$이면 $T^2=\dfrac{Z^2/1}{V/k}\sim F(1,k)$이므로 $\dfrac{1}{T^2}\sim F(k,1)$, 즉 분자 자유도 k, 분모 자유도 1인 F-분포를 따른다.
• ㄷ: $Z_1^2, Z_2^2$는 서로 독립인 자유도 1의 카이제곱분포를 따르므로 $\left(\dfrac{Z_1}{Z_2}\right)^2=\dfrac{Z_1^2/1}{Z_2^2/1}\sim F(1,1)$이다.

㉠은 표준화 표본평균, ㉡은 표준정규분포이다.

중심극한정리에 따르면 평균 μ, 분산 $\sigma ^{2}$인 임의의 모집단에서 표본크기 n이 충분히 크면
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$은 근사적으로 $N(0,1)$을 따른다.

• 표본평균과 카이제곱분포의 짝: 표본평균은 근사적으로 정규분포 $N(\mu,\sigma^2/n)$을 따르며 카이제곱분포가 아니다.
• 표본평균과 균등분포의 짝: 모집단 분포와 관계없이 정규분포로 근사되므로 균등분포가 아니다.
• 표준화 표본평균과 지수분포의 짝: 표준화 표본평균의 극한분포는 표준정규분포이다.

처리의 자유도 ㉠은 처리 수 3에서 1을 뺀 2이므로, ㉠의 값이 3이라는 설명이 옳지 않다.

자유도: 합계 $15-1=14$, 처리 $3-1=2$, 오차 $14-2=12$
평균제곱: 처리 $2156\div 2=1078$, 오차 $768\div 12=64$
F-값: $1078\div 64\approx 16.84$

• ㉡의 값이 12라는 설명: 오차 자유도는 $15-3=12$이므로 옳다.
• ㉢의 값이 64라는 설명: $768\div 12=64$이므로 옳다.
• 유의수준 1%에서 차이가 있다는 설명: p-값 0.0003이 0.01보다 작아 귀무가설을 기각하므로 옳다.

F-값 29.04가 $F_{0.05}(1,10)=4.96$보다 크므로, 회귀모형이 유의하지 않다는 귀무가설은 유의수준 5%에서 기각된다.

잔차의 자유도가 $n-2=10$이므로 자료의 개수는 n=12이고, 회귀모형의 F검정은 분자 자유도 1, 분모 자유도 10인 F-분포를 쓴다.

• 자료의 개수가 11이라는 설명: 잔차 자유도 10이 n−2이므로 n=12이다.
• 추정된 회귀직선이 Y=10.14+0.17X라는 설명: 10.14와 0.17은 표준오차이고, 회귀계수로 쓴 직선은 $\hat{Y}=30.04+0.90X$이다.
• 모상관계수가 0이라는 귀무가설이 기각되지 않는다는 설명: 단순선형회귀에서 이 검정은 기울기 검정과 같고, t-값 5.34가 $t_{0.025}(10)=2.228$보다 크므로 기각된다.

W와 T의 상관계수는 1/2이다.

$Cov(W,T)=Cov(2X+2,-Y+1)=2\times(-1)\times Cov(X,Y)=-2\times(-10)=20$
$V(W)=2^2\times 25=100,\ V(T)=(-1)^2\times 16=16$
$\rho_{WT}=\dfrac{20}{\sqrt{100}\sqrt{16}}=\dfrac{20}{40}=\dfrac{1}{2}$

X와 Y의 상관계수는 $\dfrac{-10}{5\times 4}=-\dfrac{1}{2}$인데, 한쪽에만 음의 계수를 곱했으므로 부호만 바뀌고 크기는 그대로이다.

제1종 오류 영역은 (ㄴ), 제2종 오류 영역은 (ㄷ)이다.

그림에서 두 분포를 가르는 경계는 $\mu_0+c$이므로, 기각역은 귀무분포를 기준으로 한 $R=\{x : x \ge \mu_0+c\}$로 읽어야 한다(발문의 $\mu_1+c$는 이 경계의 오기로 보인다).

제1종 오류는 H(0)가 참인데 기각하는 확률이므로, $N(\mu_0,1)$ 곡선 아래에서 $x \ge \mu_0+c$인 오른쪽 꼬리, 곧 (ㄴ)이다.
제2종 오류는 H(1)이 참인데 채택하는 확률이므로, $N(\mu_1,1)$ 곡선 아래에서 $x \lt \mu_0+c$인 왼쪽 꼬리, 곧 (ㄷ)이다.

• (ㄱ): 귀무분포의 왼쪽 꼬리($x \le \mu_0-c$)로, 오른쪽 단측 기각역과 무관해 이 검정의 제1종 오류가 아니다.
• (ㄹ): 대립분포에서 $\mu_1+c$ 오른쪽 꼬리로, H(1)이 참일 때 올바르게 기각하는 확률(검정력)의 일부일 뿐 제2종 오류가 아니다.

F-값은 처리의 평균제곱을 오차의 평균제곱으로 나눈 값이므로, 반대로 나눈다는 설명이 옳지 않다.

오차 자유도: $29-3=26$
평균제곱: 처리 $6\div 3=2$, 오차 $2.6\div 26=0.1$
F-값: $2\div 0.1=20$

• 다이어트 종류가 4가지라는 설명: 처리 자유도 3이 처리 수 − 1이므로 옳다.
• 분자 자유도 3, 분모 자유도 26인 F-분포로 유의확률을 구한다는 설명: 처리·오차 자유도가 각각 3, 26이므로 옳다.
• 유의수준 5%에서 차이가 있다는 설명: F=20이 $F_{0.05}(3,26)=2.98$보다 커서 귀무가설을 기각하므로 옳다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

절편만 있는 모형 $\mathrm{M}_{1}$의 최소제곱추정량은 $\hat{\alpha}=\bar{Y}$이므로 적합값이 모두 $\bar{Y}$이고 회귀제곱합은 0이다.

• ㄱ: $\sum(Y_i-\alpha)^2$을 최소화하는 α는 $\bar{Y}$이므로 $\hat{Y}_i=\bar{Y}$이다.
• ㄴ: 절편이 있는 모형의 결정계수 $R^2=\dfrac{SSR}{SST}$는 제곱합의 비이므로 0 이상 1 이하이다.
• ㄷ: $\mathrm{M}_{2}$의 회귀제곱합 $\sum(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2\ge 0$이고 $\mathrm{M}_{1}$의 회귀제곱합은 0이므로 크거나 같다.

귀무가설을 기각하지 못하는 범위는 $\left(150-\dfrac{1}{2}z_{\alpha/2},\ 150+\dfrac{1}{2}z_{\alpha/2}\right)$이다.

양측검정에서 $\left|\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right|\lt z_{\alpha/2}$이면 기각하지 못한다.
$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{5}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{2}$
$150-\dfrac{1}{2}z_{\alpha/2}\lt\mu_0\lt 150+\dfrac{1}{2}z_{\alpha/2}$

• 계수 1/2과 $z_{\alpha}$를 쓴 구간: 대립가설이 $\mu\ne\mu_0$이므로 유의수준을 양쪽에 α/2씩 나눠야 한다.
• 계수 1/4과 $z_{\alpha /2}$를 쓴 구간: 표준오차는 $5/\sqrt{100}=1/2$이다.
• 계수 1/4과 $z_{\alpha}$를 쓴 구간: 표준오차와 분위수가 모두 틀렸다.

사무직·성공함 셀의 기대도수는 $\mathrm{E}_{11}$=15이므로 이 설명이 옳다.

귀무가설이 참일 때 기대도수는 (행 합계 × 열 합계) ÷ 전체이다.
$E_{11}=\dfrac{30\times 60}{120}=15$

• 귀무가설이 성공률이 모두 1/4이라는 설명: 동질성 검정의 귀무가설은 $H_0:p_1=p_2=p_3=p_4$로 성공률이 서로 같다는 것이며, 공통값을 1/4로 정하지 않는다.
• 분모가 $\mathrm{O}_{ij}$인 검정통계량: 카이제곱 검정통계량은 $\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{2}\dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$로 기대도수로 나눈다.
• 기각역이 $\chi^2\ge\chi^2_{0.025}(2)$라는 설명: 자유도는 $(4-1)(2-1)=3$이고 우측 단측검정이므로 $\chi^2\ge\chi^2_{0.05}(3)$이다.

옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

표본크기가 고정되면 제1종 오류 확률과 제2종 오류 확률은 한쪽을 줄이면 다른 쪽이 커지는 상충 관계에 있다.

• ㄱ: 유의확률이 유의수준보다 작으면 관측 결과가 귀무가설 아래에서 충분히 드물다는 뜻이므로 귀무가설을 기각한다. 옳다.
• ㄴ: 불편추정량은 $E(\hat{\theta})=\theta$를 만족하는 추정량으로 정의된다. 옳다.
• ㄷ: 기각역을 좁혀 제1종 오류 확률을 줄이면 귀무가설을 채택하는 범위가 넓어져 제2종 오류 확률은 커진다. 틀리다.