20년 1회차

측정 단위가 다른 두 집단의 산포를 비교할 때는 표준편차를 평균으로 나눈 변동계수가 가장 적합하다.

A반은 L, B반은 mL로 측정되어 표준편차나 사분위수 범위는 측정 단위에 따라 크기가 1,000배 달라진다. 변동계수 $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}$는 단위가 없는 상대적 산포라 그대로 비교할 수 있다.

• 표준편차: 원자료와 같은 단위를 가지므로 L 자료와 mL 자료를 직접 비교할 수 없다.
• 사분위수 범위: 역시 원자료의 단위를 가져 단위가 다른 자료의 산포 비교에 부적합하다.
• 제50백분위수: 중앙값으로 위치의 측도이지 산포의 측도가 아니다.

P(B)=3/4를 구하면 옳은 것은 P(A∪B)=1뿐이다.

$P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A|B)}=\dfrac{1/12}{1/9}=\dfrac{3}{4}$
$P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{4+9-1}{12}=1$

• ㄱ(배반): $P(A\cap B)=\dfrac{1}{12}\ne 0$이므로 두 사건은 배반이 아니다.
• ㄴ(독립): $P(A)P(B)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\ne\dfrac{1}{12}$이므로 독립이 아니다.

상자그림이 오른쪽으로 긴 꼬리를 가지므로 평균은 중앙값보다 크며, 평균이 중앙값보다 작다는 설명이 옳지 않다.

중앙값 선은 0과 1 사이에 있고, 오른쪽 수염이 왼쪽보다 길며 그 바깥 큰 값 쪽에 이상점이 여러 개 있다. 이 큰 값들이 평균을 끌어올려 평균이 중앙값보다 크다.

• 오른쪽으로 긴 꼬리의 비대칭: 오른쪽 수염과 이상점이 큰 값 쪽으로 길게 뻗어 있어 옳다.
• 중앙값이 1보다 작음: 상자 안 중앙값 선이 1의 왼쪽에 있어 옳다.
• 왜도가 정규분포의 왜도보다 큼: 오른쪽 꼬리 분포의 왜도는 양수이고 정규분포의 왜도는 0이므로 옳다.

상관계수의 절댓값이 1에 가깝다는 것은 선형관계가 강하다는 뜻일 뿐 양의 상관이라는 뜻은 아니므로, 이 진술이 옳지 않다.

상관계수 $\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$에서 방향은 부호가 정한다. 절댓값이 1에 가까워도 부호가 음이면 강한 음의 상관관계이다.

• 상관계수가 항상 -1과 1 사이라는 진술: 코시-슈바르츠 부등식에 의해 $-1 \le \rho \le 1$이므로 옳다.
• 공분산이 0일 때 상관계수에 대한 진술: 분자인 공분산이 0이면 상관계수도 0이므로 옳다.
• 상관계수가 선형 관계의 측도라는 진술: 상관계수는 두 변수 사이 선형 관계의 방향과 강도를 나타내므로 옳다.

불량품 개수 X는 이항분포 $B(100,\ 0.1)$를 따르므로 P(X≥1)=1이라는 진술이 옳지 않다.

$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-0.9^{100}$이고 $0.9^{100}\gt 0$이므로 이 확률은 1보다 작다.

• P(X=10)＞P(X=90): 두 확률의 이항계수가 같으므로 비는 $\dfrac{0.1^{10}0.9^{90}}{0.1^{90}0.9^{10}}=\left(\dfrac{0.9}{0.1}\right)^{80}\gt 1$이 되어 옳다.
• 기댓값 10: $E(X)=np=100\times0.1=10$으로 옳다.
• 표준편차 3: $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=100\times0.1\times0.9=9$, 표준편차 $\sqrt{9}=3$으로 옳다.

E(XY)=E(X)E(Y)는 공분산이 0이라는 뜻일 뿐 독립을 보장하지 않으므로, 이 진술이 옳지 않다.

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$은 무상관을 뜻한다. 독립이면 무상관이지만 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 X가 -1, 0, 1을 같은 확률로 갖고 $Y=X^2$이면 $E(XY)=E(X^3)=0=E(X)E(Y)$이지만 Y는 X로 완전히 결정되어 독립이 아니다.

• E(X+Y)=E(X)+E(Y): 기댓값의 선형성으로 독립 여부와 관계없이 옳다.
• 독립일 때 Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y): $\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)$에서 공분산이 0이므로 옳다.
• 독립이면 Cov(X, Y)=0: 독립이면 $E(XY)=E(X)E(Y)$가 성립하므로 옳다.

신뢰구간은 표본평균을 중심으로 만들어지므로 옳은 것은 표본평균이 구간 안에 있다는 ㄷ뿐이다.

모평균의 신뢰구간은 표본평균 ± 오차한계 꼴이라, 구간 (20, 25)의 중심인 $\dfrac{20+25}{2}=22.5$가 표본평균이다.

• ㄱ: 모평균은 고정된 상수라 이미 계산된 구간에 들어 있거나 아니거나 둘 중 하나이다. 95%는 같은 방법으로 구간을 반복해 만들 때 모평균을 포함하는 구간의 비율, 즉 신뢰수준을 뜻한다.
• ㄴ: 신뢰구간은 개별 관측값의 범위가 아니라 모평균에 대한 구간이므로 표본의 95%가 그 안에 있다는 뜻이 아니다.

조건을 만족하는 값은 $c=\dfrac{1}{3}z_\alpha$이다.

$\overline{X}\sim N\left(1,\ \dfrac{4}{9}\right)$이므로 표준편차는 $\dfrac{2}{3}$이다.
$P\left(Z\le\dfrac{(1-2c)-1}{2/3}\right)=P(Z\le -3c)=\alpha$

$z_{\alpha}$는 상위 α 분위수이므로 하위 α 분위수는 $-z_\alpha$이다. 따라서 $-3c=-z_\alpha$, 즉 $c=\dfrac{z_\alpha}{3}$이다.

• $z_{\alpha}$: 표본평균의 표준편차 2/3과 1-2c의 계수 2를 반영하지 않은 값이다.
• $z_{1-\alpha}$: $z_{1-\alpha}=-z_\alpha$이므로 부호와 배율이 모두 맞지 않는다.
• $\dfrac{1}{3}z_{1-\alpha}$: $-\dfrac{z_\alpha}{3}$와 같아 대입하면 확률이 $P(Z\le z_\alpha)=1-\alpha$가 된다.

t검정통계량의 값은 1, 자유도는 k=8이다.

모분산을 모르는 정규모집단의 평균 검정이므로 $t=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$을 쓰고, 귀무가설이 참일 때 자유도 $n-1$인 t분포를 따른다.

$t=\dfrac{1150-1100}{150/\sqrt{9}}=\dfrac{50}{50}=1$
$k=9-1=8$

• t값 1, 자유도 9: 표본표준편차를 쓰면 자유도는 표본 크기 9가 아니라 n-1=8이다.
• t값 1/3, 자유도 8: 표준오차 $150/\sqrt{9}=50$ 대신 표본표준편차 150으로 나눈 값이다.
• t값 1/3, 자유도 9: 표준오차와 자유도를 모두 잘못 쓴 조합이다.

네 진술이 모두 옳으며, 핵심은 독립인 확률변수의 합이 같은 분포족에 머무는 재생성이다.

독립이면 합의 적률생성함수가 곱으로 분해된다: $M_{X_1+X_2}(t)=M_{X_1}(t)M_{X_2}(t)$.

• ㄱ: $e^{m_1(e^t-1)}e^{m_2(e^t-1)}=e^{(m_1+m_2)(e^t-1)}$이므로 합은 $P(m_1+m_2)$이다.
• ㄴ: $(1-2t)^{-m_1/2}(1-2t)^{-m_2/2}=(1-2t)^{-(m_1+m_2)/2}$이므로 자유도가 더해진 카이제곱분포이다.
• ㄷ: 성공률 p가 같으면 합은 $m_1+m_2$회 베르누이 시행의 성공 횟수이므로 $B(m_1+m_2,p)$이다.
• ㄹ: 독립 정규변수의 선형결합은 정규분포이고 평균은 $\mu_1-\mu_2$, 분산은 $\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2$이다(차의 분산도 더한다).

제2종 오류는 대립가설이 참인데 귀무가설을 기각하지 못하는 것이므로, μ=15일 때 귀무가설을 기각하지 않은 것이 해당한다.

가설이 $H_0:\mu=10$ 대 $H_1:\mu\ne 10$이므로 μ=15는 대립가설이 참인 상황이다.

• μ=10일 때 기각: 참인 귀무가설을 기각하는 제1종 오류이다.
• μ=15일 때 기각: 대립가설이 참일 때 옳게 기각한 것으로 검정력에 해당한다.
• μ=10일 때 기각하지 않음: 참인 귀무가설을 유지한 옳은 판단이다.

카이제곱통계량의 값은 16이므로 카이제곱통계량의 값이 20이라는 설명이 옳지 않다.

귀무가설(요일별 방문확률이 모두 0.2) 아래 요일별 기대도수는 $500\times0.2=100$이다.
$\chi^2=\dfrac{20^2+20^2+20^2+0^2+20^2}{100}=\dfrac{1600}{100}=16$

범주가 5개이므로 자유도는 $5-1=4$이고, $16\gt\chi^2_{0.05}(4)=9.49$이므로 귀무가설을 기각한다.

• 요일별 방문확률 0.2: 5개 요일에 고르게 분포한다는 가설이므로 1/5=0.2로 옳다.
• 월요일 기대도수 100: $500\times0.2=100$으로 옳다.
• 유의수준 5%에서 요일별 방문확률이 같다고 할 수 없음: 16이 9.49보다 커 귀무가설이 기각되므로 옳다.

분산분석은 3개 이상 모집단의 평균 비교 기법이고 반복이 있는 이원배치법은 교호작용을 검정할 수 있으므로, 옳은 것은 ㄱ과 ㄹ이다.

분산분석은 각 모집단이 정규분포를 따르고 분산이 같다는 등분산을 가정한다. 이원배치에서 수준 조합마다 반복이 있어야 교호작용 제곱합과 오차 제곱합을 분리해 교호작용을 검정할 수 있다.

• ㄴ: 비교 대상 모집단은 서로 다른 분산이 아니라 같은 분산을 가져야 한다.
• ㄷ: 일원배치법은 처리수준마다 반복수가 달라도 분석할 수 있다.

F값과 t값의 관계에서 t=4이므로 키의 회귀계수 추정값 ㉠은 0.8이다.

단순선형회귀에서 기울기 검정의 F값은 t값의 제곱이다. 회귀계수가 양수이므로 $t=\sqrt{16}=4$이다.

$t=\dfrac{\hat{\beta}_1}{\mathrm{SE}(\hat{\beta}_1)}$에서
$\hat{\beta}_1=4\times0.20=0.8$

• 1.0: t값이 $1.0/0.20=5$, F값이 25가 되어 표와 맞지 않는다.
• 2.0: t값이 10, F값이 100이 되어 표와 맞지 않는다.
• 4.0: t값 4를 회귀계수로 착각한 값으로, 이때 t값은 20이 된다.

풀링은 교호작용이 유의하지 않을 때 하는 것이므로, ㉠이 0.05보다 작으면 교호작용을 오차항에 풀링한다는 설명이 옳지 않다.

교호작용이 유의하지 않을 때 그 제곱합과 자유도를 오차항에 합쳐 다시 분산분석한다. ㉠이 0.05보다 작으면 교호작용이 유의하므로 풀링하지 않는다.

인자 A의 자유도 3에서 $a=4$, $(a-1)(b-1)=6$에서 $b=3$이다.
총자유도 23이므로 관측수 24, 수준 조합 12개이므로 반복 $r=24/12=2$, 오차 자유도 $23-3-2-6=12$이다.

• A 수준 수 4, B 수준 수 3: 위 자유도 계산대로 옳다.
• 수준 조합마다 두 번의 반복: 관측수 24를 수준 조합 12개로 나누면 2회이므로 옳다.
• ㉠이 0.05보다 작으면 A, B 각각의 유의성 검정은 의미 없음: 교호작용이 유의하면 한 인자의 효과가 다른 인자의 수준에 따라 달라 주효과만 따로 해석하는 것이 의미가 없으므로 옳다.

심근경색 환자 300명과 비환자 600명을 따로 뽑은 자료이므로 심근경색 환자에서의 흡연율은 추정할 수 있다.

심근경색 여부별 표본 크기가 미리 정해져 있어 그 안에서의 흡연 비율을 추정할 수 있다(환자 $150/300=0.5$, 비환자 $150/600=0.25$). 반면 흡연 여부별 합계는 설계로 정한 값이 아니다.

• 동질성 검정의 자유도 2: 2×2 분할표의 자유도는 $(2-1)(2-1)=1$이다.
• 관측도수를 분모로 둔 카이제곱 식: 분모는 기대도수 100, 200, 200, 400이어야 하며, 올바른 값은 $\dfrac{50^2}{100}+\dfrac{50^2}{200}+\dfrac{50^2}{200}+\dfrac{50^2}{400}=56.25$이다.
• 흡연한 사람에서의 심근경색 발생률: 환자와 비환자 수를 연구자가 정했으므로 흡연자 중 심근경색 비율인 발생률은 추정할 수 없다.

$\sigma^2$의 불편추정량은 잔차제곱합을 n-2=8로 나눈 190/8이므로, 190/9라는 설명이 옳지 않다.

$\hat{\beta}=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{270}{90}=3$
$r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}=\dfrac{270}{\sqrt{90\times1000}}=\dfrac{270}{300}=0.9$

$\mathrm{SSE}=S_{yy}-\hat{\beta}S_{xy}=1000-3\times270=190$
$\hat{\sigma}^2=\dfrac{\mathrm{SSE}}{n-2}=\dfrac{190}{8}$

• β의 최소제곱추정량의 값 3: 위 계산대로 옳다.
• 상관계수 0.9: 위 계산대로 옳다.
• 결정계수 0.81: 단순선형회귀에서 $R^2=r^2=0.81$이므로 옳다.

표준화한 변수로 회귀하면 기울기 추정값은 원 변수 (x, y)의 상관계수와 같다.

원 변수의 기울기 추정값은 $\hat{\beta}_1=r\dfrac{s_y}{s_x}$이다. 표준화하면 두 변수의 표준편차가 모두 1이 되므로 기울기는 $r\cdot\dfrac{1}{1}=r$이고, 평균이 모두 0이라 절편은 0이다. 표준화는 선형변환이라 상관계수는 변하지 않는다.

• 원 변수 회귀계수의 추정값과 동일: $s_x\ne s_y$이므로 $r\dfrac{s_y}{s_x}$는 r과 다르다.
• 원 변수 회귀계수 추정값의 역수: $\dfrac{s_x}{r s_y}$로 일반적으로 r과 다르다.
• 원 변수의 결정계수: 결정계수는 $r^2$으로 r과 다르며 부호 정보도 없다.

세제 효과는 유의하고 실험일 효과는 유의하지 않으므로 옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

자유도는 세제 $3-1=2$, 실험일 $4-1=3$, 오차 $(3-1)(4-1)=6$, 계 11이다. 평균제곱 $360/2=180$, $30/3=10$, $30/6=5$가 표와 맞는다.

• ㄱ: 세제의 p-값 0.00이 0.05보다 작으므로 세제 종류별 효과 차이는 유의하다.
• ㄴ: 실험일(블록)의 F값 2, p-값 0.22가 0.05보다 커 실험일 간 차이가 유의하지 않으므로, 실험일에 따른 특성값의 변동이 작다고 볼 수 있다.
• ㄷ: 세제 검정통계량 $F=180/5=36$은 귀무가설 아래 분자 자유도 2, 분모 자유도 6인 F분포를 따른다. 분자 자유도 3은 틀리다.
• ㄹ: 세제 종류별 상자그림에서 B는 상자와 수염이 가장 짧아 범위가 가장 작다.

좌측검정이므로 관측값 2의 유의확률은 귀무가설 아래 P(X≤2), X~B(10, 1/6)이라는 설명이 옳다.

대립가설이 $p\lt\dfrac{1}{6}$이라 Y가 작을수록 귀무가설에 불리한 증거가 된다. 유의확률은 귀무가설이 참일 때 관측값 이하가 나올 확률 $P(X\le 2),\ X\sim B\left(10,\dfrac{1}{6}\right)$이다.

• Y/10은 p의 불편추정량이 아님: $E(Y/10)=\dfrac{10p}{10}=p$이므로 불편추정량이다.
• Y의 관측값이 클수록 기각: 좌측검정이므로 Y가 작을수록 기각한다.
• Y가 이항분포 B(10, 1/6)을 따름: Y의 분포는 $B(10,p)$이고, B(10, 1/6)은 귀무가설이 참일 때의 분포일 뿐이다.