21년 1회차

상자 안의 세로선이 130에 있으므로 자료의 중앙값은 130이다.

상자는 제1사분위수 120부터 제3사분위수 160까지이고, 상자 안의 선이 중앙값이다. 수염은 100과 200까지 뻗어 있고 230과 250은 이상값으로 따로 표시되어 있다.

• 표준편차가 150이라는 설명: 상자그림은 표준편차를 보여 주지 않으며, 150은 최솟값 100과 최댓값 250의 차인 범위에 해당한다.
• 최빈값이 중앙값보다 크다는 설명: 상자그림에는 개별 값의 빈도가 나타나지 않아 최빈값을 알 수 없다.
• 사분위수범위가 100이라는 설명: $IQR=Q_{3}-Q_{1}=160-120=40$이다.

표본상관계수는 기울기가 양수인 일차변환에 영향을 받지 않으므로 변환된 자료의 표본상관계수도 0.2이다.

$v_{i}$ = $x_{i}$ + 1 은 위치 이동만, $w_{i}$ = 2$y_{i}$ - 1 은 양수 2배 확대 후 이동이다. 공분산과 표준편차의 곱이 같은 배수로 변한다.
$Cov(v,w)=1\times 2\times Cov(x,y),\quad s_{v}s_{w}=1\times 2\times s_{x}s_{y}$

$r_{vw}=\dfrac{2\,Cov(x,y)}{2\,s_{x}s_{y}}=r_{xy}=0.2$

두 변환의 기울기(1, 2)가 모두 양수라 부호도 그대로 유지된다. 한쪽 기울기만 음수였다면 크기는 같고 부호만 바뀐다.

기대도수 35와 자유도 2는 옳고, 유의확률 0.128이 0.05보다 커서 귀무가설을 기각하지 못하므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ㄱ. 독립 가정하 기대도수는 (행 합 × 열 합) / 총합이다.
$E_{11}=\dfrac{140\times 60}{240}=35$

ㄴ. 2×3 분할표의 독립성 검정 자유도는 $(2-1)(3-1)=2$이다.
ㄷ. 유의확률 0.128이 유의수준 0.05보다 크므로 귀무가설을 기각할 수 없다.

잔차제곱합 SSE 자체는 $\sigma ^{2}$의 불편추정량이 아니며 SSE/(n-2)가 불편추정량이므로, SSE가 불편추정량이라는 설명이 옳지 않다.

단순선형회귀에서 $E(SSE)=(n-2)\sigma^{2}$이므로 $E\left(\dfrac{SSE}{n-2}\right)=\sigma^{2}$이다. 즉 잔차평균제곱(MSE)이 $\sigma ^{2}$의 불편추정량이다.

• 결정계수가 SSR/SST라는 설명: 총변동 중 회귀로 설명되는 비율이므로 옳다.
• 잔차의 합 $\sum_{i=1}^{n}e_{i}=0$: 절편에 대한 정규방정식에서 나오므로 옳다.
• $\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}=0$: 기울기에 대한 정규방정식에서 나오므로 옳다.

카이제곱통계량은 4이고 임계값 7.81보다 작으므로 귀무가설을 기각하지 못한다.

남학생 비율이 모두 같다면 각 칸의 기대도수는 $\dfrac{50\times 100}{200}=25$이다. 사회대·자연대는 관측도수가 25로 기여분이 0이다.
$\chi^{2}=4\times\dfrac{(25-20)^{2}}{25}=4$

동질성 검정의 자유도는 $(4-1)(2-1)=3$이므로 기각역은 $\chi^{2}\ge 7.81$이고, $4\lt 7.81$이다.

• 통계량 4, 귀무가설 기각: 4는 기각역에 들지 않으므로 결론이 틀렸다.
• 통계량 8, 귀무가설 기각: 통계량 값도 결론도 틀렸다.
• 통계량 8, 귀무가설 기각하지 못함: 결론은 맞지만 통계량 값이 4가 아니다.

주어진 두 기댓값에서 E($X^{2}$)=4, E(X)=1을 얻으므로 X의 분산은 3이다.

기댓값의 선형성으로 전개하면
$E(X^{2})-E(X)=3,\quad E(X^{2})+E(X)=5$

두 식을 더하고 빼면 $E(X^{2})=4,\ E(X)=1$
분산 공식에 대입: $Var(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}=4-1=3$

X는 시행 횟수 10, 성공확률 1/3인 이항분포를 따르므로 E(3X+5) = 15가 옳다.

한 번의 시행에서 이김·비김·짐의 확률은 각각 1/3이다.
$E(X)=10\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3},\quad E(3X+5)=3\times\dfrac{10}{3}+5=15$

• X의 확률분포가 대칭이라는 설명: 성공확률이 1/2이 아닌 이항분포라 대칭이 아니다.
• Y = 10-X가 갑이 지는 횟수라는 설명: 10-X는 갑이 지거나 비긴 횟수의 합이다.
• Var(X) = 5/2라는 설명: $Var(X)=10\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{20}{9}$이다.

잔차 자유도 n-2가 18이므로 자료 수는 20이며, 전체 자료의 수 n이 19라는 설명이 옳지 않다.

단순선형회귀에서 회귀 자유도는 1, 잔차 자유도는 n-2이다.
$n-2=18\ \Rightarrow\ n=20$

㉠은 1, ㉡은 $MSE=\dfrac{36}{18}=2$이고, $F=\dfrac{MSR}{MSE}=\dfrac{10}{2}=5$로 표의 값과 맞는다.

• ㉠과 ㉡이 각각 1과 2라는 설명: 위 계산대로 옳다.
• F-값이 MSR을 MSE로 나눈 값이라는 설명: 회귀 F검정 통계량의 정의로 옳다.
• 유의수준 5%에서 회귀모형이 유의하다는 설명: p-값 0.017이 0.05보다 작으므로 옳다.

신뢰구간을 구한 뒤 모수 μ는 고정된 상수이므로, μ가 구간 (-0.1, 0.7)에 속하지 않을 확률이 0.05라는 해석이 옳지 않다.

95%는 같은 방법으로 구간을 반복해 만들 때 그중 약 95%가 μ를 포함한다는 추정 방법의 신뢰도다. 이미 계산된 구간은 μ를 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나다.

• 유의수준 5%에서 $\mathrm{H}_{0}$ : μ = 0을 기각하지 못한다는 설명: 0이 95% 신뢰구간 안에 있으므로 옳다.
• 표본평균이 0.3이라는 설명: 정규분포 기반 신뢰구간은 표본평균을 중심으로 대칭이므로 (-0.1 + 0.7)/2 = 0.3으로 옳다.
• 90% 신뢰구간의 길이가 0.8보다 작다는 설명: 신뢰수준이 낮아지면 곱하는 분위수가 작아져 구간이 짧아지므로 옳다.

같은 방향 단측검정의 p-값은 양측 p-값의 절반이므로 a = 0.05, b = 0.95이고 b-a = 0.9이다.

표본평균이 60보다 크므로 검정통계량 값 t는 양수이고, 양측 p-값 0.1은 오른쪽 꼬리확률의 2배다.
$a=P(T\ge t)=\dfrac{0.1}{2}=0.05$

대립가설이 μ ＜ 60이면 왼쪽 꼬리확률을 쓰므로
$b=P(T\le t)=1-0.05=0.95$
$b-a=0.95-0.05=0.9$

50×0.2 = 10번째 근처가 제20 백분위수이므로, 제20 백분위수가 $x_{(20)}$이라는 설명이 옳지 않다.

제p 백분위수는 n×p/100을 계산해 정수가 아니면 올림한 순서의 값, 정수이면 그 순서와 다음 순서 값의 평균으로 정한다.
$50\times 0.2=10\ \Rightarrow\ \dfrac{x_{(10)}+x_{(11)}}{2}$

• 제3 사분위수가 $x_{(38)}$이라는 설명: $50\times 0.75=37.5$를 올림해 38번째이므로 옳다.
• 중앙값이 $x_{(25)}$와 $x_{(26)}$의 평균이라는 설명: $50\times 0.5=25$가 정수라 25·26번째 값의 평균으로 옳다.
• 사분위수범위가 $x_{(38)}$ - $x_{(13)}$이라는 설명: 제1 사분위수는 $50\times 0.25=12.5$를 올림한 13번째이므로 $\mathrm{Q}_{3}$ - $\mathrm{Q}_{1}$과 같아 옳다.

최소제곱추정값은 기울기 3, 절편 20이다.

기울기는 편차곱의 합을 x의 편차제곱합으로 나눈 값이다.
$\hat{\beta}=\dfrac{\sum(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum(x_{i}-\bar{x})^{2}}=\dfrac{60}{20}=3$

회귀직선은 표본평균 점을 지나므로
$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}=80-3\times 20=20$

• 절편 30, 기울기 2: 기울기가 60/20 = 3이 아니다.
• 절편 30, 기울기 3: 기울기는 맞지만 절편이 80-60 = 20이다.
• 절편 20, 기울기 2: 기울기가 3이어야 한다.

p-값이 0.001보다 작아 '모평균이 모두 같다'는 귀무가설을 기각하므로, 모평균은 모두 같다고 할 수 있다는 설명이 옳지 않다.

처리 자유도 = 제곱합 / 평균제곱: $\dfrac{60}{20}=3=k-1\ \Rightarrow\ k=4$
오차 자유도: $k(n-1)=4(n-1)=28\ \Rightarrow\ n=8$

오차 평균제곱 $MSE=\dfrac{28}{28}=1$이므로 $F=\dfrac{20}{1}=20$이다.

• 인자의 수준수 k가 4라는 설명: 처리 자유도 3에서 옳다.
• 반복수 n이 8이라는 설명: 오차 자유도 28 = 4×7에서 옳다.
• ㉠의 값이 20이라는 설명: F = 처리 평균제곱 / 오차 평균제곱 = 20/1로 옳다.

표본평균의 분산은 모분산을 표본 크기 36으로 나눈 값이므로 Var(X)는 Var(Y)의 2배가 아니라 36배이다.

X ~ N(60, $12^{2}$)이고 Y ~ N(60, $12^{2}$/36) = N(60, $2^{2}$)이다.
$Var(X)=144,\quad Var(Y)=\dfrac{144}{36}=4$

• E(X) = E(Y): 두 기댓값 모두 60으로 옳다.
• P(X＞60) = P(Y＞60): 두 분포 모두 평균 60에 대해 대칭이므로 둘 다 0.5로 옳다.
• P(X＜72) = P(Y＜62): $\dfrac{72-60}{12}=1,\ \dfrac{62-60}{2}=1$로 둘 다 P(Z＜1)이라 옳다.

검정통계량 값이 3인 양측검정이므로 p-값은 2×P(Z≥3)이다.

모표준편차 2가 알려져 있으므로 Z검정을 쓴다.
$z=\dfrac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=\dfrac{12-10}{2/\sqrt{9}}=\dfrac{2}{2/3}=3$

대립가설이 μ ≠ 10인 양측검정이므로 양쪽 꼬리확률을 더한다.
$P(|Z|\ge 3)=2P(Z\ge 3)$

• P(Z≥3): 한쪽 꼬리만 쓴 단측검정의 p-값이다.
• P(Z≤3): 관측값보다 덜 극단적인 쪽의 확률이다.
• 2×P(Z≤3)-1: $P(|Z|\le 3)$로, p-값의 여사건 확률이다.

제1종 오류 확률은 $\mathrm{H}_{0}$ : p = 0.04가 참일 때 기각역에 들 확률이며, 정규근사로 P(Z＞2)이다.

$\mathrm{H}_{0}$ 아래 표본비율 X/384의 표준오차
$\sqrt{\dfrac{0.04\times 0.96}{384}}=\sqrt{0.0001}=0.01$

기각역을 표준화하면
$P\left(\dfrac{X}{384}\gt 0.06\right)\approx P\left(Z\gt\dfrac{0.06-0.04}{0.01}\right)=P(Z\gt 2)$

무늬와 숫자는 서로 영향을 주지 않아 ㄱ·ㄴ·ㄷ은 옳고, ㄹ의 확률은 10/13이므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ㄱ. ♣ 카드는 13장: $P(A)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$
ㄴ. 숫자 1 카드는 4장: $P(B)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$
ㄷ. ♣1 카드는 1장: $P(A\cap B)=\dfrac{1}{52}=P(A)P(B)$이므로 독립이다.

ㄹ. $P(A^{C}\cup B)=P(A^{C})+P(B)-P(A^{C}\cap B)$
$=\dfrac{39}{52}+\dfrac{4}{52}-\dfrac{3}{52}=\dfrac{40}{52}=\dfrac{10}{13}$
따라서 9/13이 아니다.

p＜1/2이면 분포가 작은 값 쪽으로 치우쳐 P(X≤49)＞P(X≥51)이 되므로, p＜1/2일 때 P(X≤49)＜P(X≥51)이라는 설명이 옳지 않다.

X ~ B(100, p)이면 실패 횟수 100-X ~ B(100, 1-p)이다. 따라서 P(X≥51)은 성공확률이 1-p인 경우의 P(X≤49)와 같고, p＜1/2이면 1-p가 더 커서 그 확률이 성공확률 p일 때의 P(X≤49)보다 작다.

• p = 1/2이면 P(X≤49) = P(X≥51)이라는 설명: 분포가 50을 중심으로 대칭이라 옳다.
• 분산이 p = 1/2에서 최대라는 설명: $Var(X)=100p(1-p)$는 p = 1/2에서 최댓값을 가지므로 옳다.
• p＞1/2이면 P(X=49)＜P(X=51)이라는 설명: $\dfrac{P(X=51)}{P(X=49)}=\left(\dfrac{p}{1-p}\right)^{2}\gt 1$이므로 옳다.

양측검정의 기각역에는 $z_{\alpha}$가 아니라 $z_{\alpha /2}$를 써야 하므로 ㄱ은 틀리고, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ㄱ. 대립가설이 μ ≠ $\mu _{0}$이므로 기각역은 $|Z|\ge z_{\alpha/2}$이다. $|Z|\ge z_{\alpha}$를 쓰면 실제 유의수준이 2α가 된다.

ㄴ. 양측검정과 100×(1-α)% 신뢰구간은 짝을 이룬다. $\mu _{0}$이 신뢰구간 밖에 있으면 유의수준 α에서 $\mathrm{H}_{0}$을 기각하므로 p-값이 α보다 작다.
ㄷ. $\mathrm{H}_{0}$ 아래 $Z^{2}\sim\chi^{2}(1)$이고 $\chi^{2}_{\alpha}(1)=z_{\alpha/2}^{2}$이므로, $Z^{2}\ge\chi^{2}_{\alpha}(1)$은 |Z|≥$z_{\alpha /2}$와 같은 기각역이다.

$\beta _{2}$는 수준 C와 기준 수준 A의 평균 차이이므로, $\mathrm{H}_{0}$ : $\beta _{2}$ = 0을 기각하면 수준 A와 수준 C의 평균에 유의한 차이가 있다.

각 수준의 평균 반응은 A: $\alpha$, B: $\alpha+\beta_{1}$, C: $\alpha+\beta_{2}$이다.
따라서 $\beta_{1}=\mu_{B}-\mu_{A}$, $\beta_{2}=\mu_{C}-\mu_{A}$이다.

• $\beta _{1}$ = 0을 기각하지 못하면 A와 B에 유의한 차이가 있다는 해석: 기각하지 못했으므로 A와 B의 차이는 유의하지 않다.
• $\beta _{1}$ = 0을 기각하면 B와 C에 유의한 차이가 있다는 해석: $\beta _{1}$은 A와 B의 차이이고, B와 C의 차이는 $\beta _{1}$ - $\beta _{2}$에 대한 검정이 필요하다.
• $\beta _{2}$ = 0을 기각하지 못하면 B와 C에 차이가 없다는 해석: $\beta _{2}$는 A와 C의 차이에 관한 모수다.