22년 1회차

상자그림에서 A 지역은 최솟값과 중앙값이 모두 B 지역보다 높으므로, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

상자그림의 아래 수염 끝은 최솟값, 상자 안의 굵은 선은 중앙값, 위·아래 수염 끝 사이 길이는 범위를 나타낸다.

• ㄱ(최솟값은 A가 크다)은 옳다. A의 아래 수염 끝이 B의 아래 수염 끝보다 위에 있다.
• ㄴ(중앙값은 A가 크다)은 옳다. A 상자 안의 중앙선이 B의 중앙선보다 위에 있다.
• ㄷ(범위는 A가 작다)은 옳지 않다. A는 수염이 위아래로 길게 뻗어 최댓값과 최솟값의 차가 B보다 크다.

피어슨 상관계수가 가장 큰 것은 점들이 오른쪽 위로 올라가는 직선 띠를 이루는 산점도로, 상관계수가 양수이면서 1에 가깝다.

피어슨 상관계수는 선형 관계의 방향과 강도만 측정하며 −1에서 1 사이 값을 가진다. 따라서 음의 상관은 아무리 강해도 양의 상관보다 작다.

• 점들이 오른쪽 아래로 촘촘히 늘어선 산점도는 강한 음의 상관으로 상관계수가 −1에 가깝다.
• 점들이 원형으로 고르게 흩어진 산점도는 선형 관계가 거의 없어 상관계수가 0에 가깝다.
• 점들이 X=0을 꼭짓점으로 하는 V자 곡선을 이루는 산점도는 관계가 뚜렷해도 비선형이고 좌우 대칭이라 상관계수가 0에 가깝다.

제1종 오류확률은 귀무가설이 참일 때 귀무가설을 기각할 확률이며, 이 확률의 상한이 유의수준 $\alpha$이다.

가설검정의 두 오류는 참인 귀무가설을 기각하는 제1종 오류와 거짓인 귀무가설을 기각하지 못하는 제2종 오류로 나뉜다.

• 귀무가설이 참일 때 기각하지 않을 확률은 올바른 판단의 확률로 $1-\alpha$이다.
• 귀무가설이 거짓일 때 기각할 확률은 검정력 $1-\beta$이다.
• 귀무가설이 거짓일 때 기각하지 않을 확률은 제2종 오류확률 $\beta$이다.

오차항 분산의 불편추정값은 잔차제곱합을 잔차 자유도로 나눈 평균제곱오차로, 105이다.

단순선형회귀에서는 $\beta_0,\ \beta_1$ 두 모수를 추정하므로 잔차 자유도는 $n-2$이고, MSE가 $\sigma^2$의 불편추정량이다.

$\hat{\sigma}^2=\dfrac{SSE}{n-2}$
$=\dfrac{2100}{22-2}=\dfrac{2100}{20}$
$=105$

베이즈 정리로 계산하면 검사 결과가 음성일 때 실제 음성일 확률은 14/15이다.

실제 음성 확률 0.8, 실제 양성 확률 0.2이고, 실제 양성인 사람이 음성으로 나올 확률은 $1-0.8=0.2$이다.
전확률: $P(\mathrm{T^-})=0.8\times0.7+0.2\times0.2=0.56+0.04=0.60$

$P(\mathrm{D^-}\mid\mathrm{T^-})=\dfrac{0.56}{0.60}=\dfrac{14}{15}$

X가 주어졌을 때 Y의 조건부확률밀도함수는 X가 아니라 Y의 주변확률밀도함수와 같으므로, X의 주변확률밀도함수와 같다는 진술이 옳지 않다.

독립이면 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$이므로 $f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}=f_Y(y)$가 된다. 이 결합밀도의 분해에서 나머지 성질도 나온다.

• X와 Y의 공분산이 0이라는 진술은 옳다. $E(XY)=E(X)E(Y)$이므로 $Cov(X,Y)=0$이다.
• X와 Y의 합의 분산이 각 분산의 합이라는 진술은 옳다. $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$에서 공분산 항이 0이다.
• X와 Y의 곱의 기댓값이 각 기댓값의 곱이라는 진술은 옳다. 결합밀도가 곱으로 분해되어 적분이 분리된다.

결정계수는 회귀제곱합을 총제곱합으로 나눈 값이므로 $R^2=\dfrac{540}{740}$이고, 잔차제곱합을 분자로 둔 200/740이라는 진술이 옳지 않다.

단순선형회귀에서 회귀 자유도는 1, 잔차 자유도는 $11-1=10$이다.
$MSR=\dfrac{540}{1}=540,\ MSE=\dfrac{200}{10}=20,\ F=\dfrac{540}{20}=27$
200/740은 1에서 결정계수를 뺀 값이다.

• (가)의 값이 540이라는 진술은 옳다.
• (나)의 값이 20이라는 진술은 옳다.
• (다)의 값이 27이라는 진술은 옳다.

적합도 검정의 기대도수는 32, 32, 8, 8이고 검정통계량은 5, 자유도는 3이므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

기대도수: $80\times\dfrac{4}{10}=32,\ 80\times\dfrac{1}{10}=8$
$\chi^2=\dfrac{(40-32)^2}{32}+\dfrac{(24-32)^2}{32}+\dfrac{(10-8)^2}{8}+\dfrac{(6-8)^2}{8}$
$=2+2+0.5+0.5=5$

• ㄱ(검정통계량은 5)은 옳다.
• ㄴ(자유도는 4)은 옳지 않다. 범주가 4개이고 추정한 모수가 없으므로 자유도는 4−1=3이다.
• ㄷ(검은색의 기대도수는 32)은 옳다.

모집단 분포가 주어지지 않았는데 표본이 5개뿐이면 중심극한정리를 적용할 수 없으므로, $Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$가 근사적으로 표준정규분포를 따른다는 진술이 옳지 않다.

표준화한 표본평균의 근사 정규성은 표본 크기가 충분히 클 때 성립한다. 모집단이 정규분포이면 n과 관계없이 정확히 정규분포를 따르지만, 이 진술에는 정규성 조건이 없다.

• F가 F(d$f_{1}$, d$f_{2}$)를 따르면 1/F가 F(d$f_{2}$, d$f_{1}$)를 따른다는 진술은 옳다. 분자와 분모의 카이제곱 변수가 자리를 바꾸기 때문이다.
• 정규모집단에서 뽑은 표본평균이 $N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$를 따른다는 진술은 옳다. 독립 정규변수의 선형결합은 정규분포이다.
• 독립인 표준정규변수 n개의 제곱합이 자유도 n인 카이제곱분포를 따른다는 진술은 옳다. 카이제곱분포의 정의이다.

처리 평균제곱을 오차 평균제곱으로 나누면 (가)의 F값은 7.5이다.

필터가 세 가지이므로 처리 자유도는 $3-1=2$이다.
$MS_{Tr}=\dfrac{50}{2}=25,\ MSE=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$

$F=\dfrac{MS_{Tr}}{MSE}=\dfrac{25}{10/3}=7.5$

0을 중심으로 좌우 대칭인 쌍봉 분포이므로 평균과 중앙값은 0이고 최빈값은 0에서 떨어진 두 봉우리에 있어, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

대칭 분포에서는 평균과 중앙값이 대칭축에 놓이지만, 최빈값은 밀도가 가장 높은 점이므로 두 봉우리 위치가 된다. 그림에서 0은 두 봉우리 사이의 골이다.

• ㄱ(평균은 0)은 옳다. 0을 기준으로 좌우 대칭이므로 기댓값이 0이다.
• ㄴ(중앙값은 0)은 옳다. 대칭이므로 0 왼쪽과 오른쪽의 확률이 각각 1/2이다.
• ㄷ(최빈값의 절댓값이 중앙값보다 크다)은 옳다. 최빈값은 0이 아닌 두 봉우리 위치라 절댓값이 양수이고 중앙값 0보다 크다.

모표준편차를 알 때 모평균의 95% 신뢰구간은 $\bar{x}\pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$이며, 구하는 구간은 (64.040, 67.960)이다.

표준오차: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{8}{\sqrt{64}}=1$
오차한계: $1.96\times 1=1.96$
신뢰구간: $66\pm 1.96=(64.040,\ 67.960)$

• (64.355, 67.645)는 90% 신뢰계수에 해당하는 1.645를 쓴 구간이다.
• (65.755, 66.245)는 1.96에 표준오차 대신 $\sigma/n=8/64$를 곱한 구간이다.
• (65.794, 66.206)은 1.645에 $\sigma/n=8/64$를 곱한 구간이다.

분산분석표의 F검정에서 귀무가설을 기각하면 $\beta _{1}$≠0 또는 $\beta _{2}$≠0, 즉 설명변수의 회귀계수 중 적어도 하나는 0이 아니라고 결론 내린다.

회귀모형의 F검정 가설은 $H_0:\beta_1=\beta_2=0$ 대 $H_1:$ 적어도 하나의 $\beta_j\neq 0$이다. 절편 $\beta_0$는 이 전체 F검정의 대상이 아니다.

• $\beta _{1}$≠0 이고 $\beta _{2}$≠0이라는 결론은 F검정만으로 내릴 수 없으며, 개별 계수의 t검정이 필요하다.
• $\beta _{0}$, $\beta _{1}$, $\beta _{2}$가 모두 0이 아니라는 결론은 절편까지 포함하고 '모두'를 주장하므로 옳지 않다.
• $\beta _{0}$≠0 또는 $\beta _{1}$≠0 또는 $\beta _{2}$≠0이라는 결론은 F검정의 가설에 없는 절편을 포함하므로 옳지 않다.

분산 조건과 2차 적률 조건을 연립하면 E(X) = 2이다.

$Var(3X+9)=9Var(X)=36$이므로 $Var(X)=4$
$E(X^2)=Var(X)+\{E(X)\}^2=4+m^2$ (단, $m=E(X)$)

$E(X(X+1))=E(X^2)+E(X)=4+m^2+m=10$
$m^2+m-6=(m+3)(m-2)=0$
$E(X)>0$이므로 $m=2$

중심극한정리에 따라 $\overline{X}_1+\overline{X}_2$의 근사분포는 $N\left(2,\ \dfrac{4}{900}\right)$이다.

모집단 1: $E(X_1)=\dfrac{1}{3},\ E(X_1^2)=\dfrac{1}{3},\ Var(X_1)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{9}$
모집단 2: $E(X_2)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3},\ E(X_2^2)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}=3,\ Var(X_2)=3-\dfrac{25}{9}=\dfrac{2}{9}$

평균: $\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}=2$
독립이므로 분산: $\dfrac{2/9}{100}+\dfrac{2/9}{100}=\dfrac{4}{900}$

• $N\left(2,\ \dfrac{2}{900}\right)$은 두 표본평균의 분산을 더하지 않고 하나만 반영한 값이다.
• $N\left(4,\ \dfrac{2}{900}\right)$은 평균이 두 모평균의 합 2와 맞지 않고 분산도 한 표본평균분만 반영했다.
• $N\left(4,\ \dfrac{4}{900}\right)$은 분산은 맞지만 평균이 두 모평균의 합 2와 맞지 않는다.

독립인 두 정규모집단의 모분산 비교에는 표본분산의 비를 쓰며, 이 통계량은 자유도가 (24, 24)인 F분포를 따른다.

$\dfrac{(n_i-1)S_i^2}{\sigma_i^2}\sim\chi^2(n_i-1)$이고 서로 독립이므로 $F=\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,\ n_2-1)=F(24,\ 24)$이다. 모분산이 같다는 귀무가설 아래에서는 ${\mathrm{S}_{1}}^{2}$/${\mathrm{S}_{2}}^{2}$가 검정통계량이 된다.

• 표준정규분포는 모분산을 알 때 평균을 추론하는 데 쓴다.
• 자유도가 24인 t분포는 모분산을 모를 때 한 모집단 평균을 추론하는 데 쓴다.
• 자유도가 24인 카이제곱분포는 한 모집단의 분산을 추론하는 데 쓴다.

독립성 검정의 카이제곱 통계량은 (관측도수 − 기대도수)${}^{2}$을 기대도수로 나누어 모두 더한 값이므로, 차이만 제곱하고 기대도수로 나눈 식 $\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}\left(x_{ij}-\dfrac{R_{i.}\times C_{.j}}{100}\right)^2\div\dfrac{R_{i.}\times C_{.j}}{100}$이다.

독립이라는 귀무가설 아래 각 칸의 기대도수는 $E_{ij}=\dfrac{R_{i.}\times C_{.j}}{100}$이고, 통계량 $\chi^2=\sum\sum\dfrac{(x_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$는 자유도 $(2-1)(3-1)=2$인 카이제곱분포를 근사적으로 따른다.

• 차이를 제곱하지 않고 기대도수로 나눈 식은 양수·음수 편차가 상쇄되어 항상 0이 된다.
• 차이는 제곱하지 않고 기대도수만 제곱해 나눈 식은 카이제곱 통계량이 아니다.
• 차이의 제곱을 기대도수의 제곱으로 나눈 식은 분모가 제곱되어 카이제곱 통계량이 아니다.

대립가설이 $\mu_A\neq\mu_B$인 양측검정이므로 p-값은 $P\left(|Z|\ge\left|\dfrac{41-38}{\sqrt{\dfrac{10^2}{200}+\dfrac{8^2}{100}}}\right|\right)$이다.

두 표본이 모두 크므로 모분산 대신 표본분산을 쓴 대표본 z검정통계량 $Z=\dfrac{\bar{x}_B-\bar{x}_A}{\sqrt{s_B^2/n_B+s_A^2/n_A}}$을 쓰고, 양측검정의 p-값은 관측값보다 절댓값이 크거나 같을 확률이다.

• $P(Z\ge|z|)$ 형태는 한쪽 꼬리 확률만 구한 것으로 양측 p-값의 절반이다.
• $P(|Z|\le z)$ 형태는 기각되지 않는 쪽의 확률로 p-값이 아니다.
• $P(Z\le z)$ 형태는 관측값 이하일 확률로 p-값의 정의와 맞지 않는다.

수준조합 8개에 반복 2회이므로 자료는 16개이고, 자료 수가 15개라는 진술이 옳지 않다(15는 총자유도).

A의 자유도 1에서 $a=2$, B의 자유도 3에서 $b=4$이다.
오차 자유도: $ab(r-1)=8(r-1)=8$이므로 $r=2$
자료 수: $abr=2\times4\times2=16$, 총자유도 $1+3+3+8=15=16-1$

교호작용 자유도 $(a-1)(b-1)=3$, $F=\dfrac{1200/3}{800/8}=\dfrac{400}{100}=4$

• (가)는 3이고 (나)는 4라는 진술은 옳다.
• 인자 A와 B의 수준 수가 각각 2와 4라는 진술은 옳다.
• 인자 A의 주효과가 유의수준 5%에서 유의하다는 진술은 옳다. p-값 0.011 < 0.05이다.

정규분포에서 추출한 자료의 정규확률그림은 점들이 대각선 방향의 직선에 가깝게 늘어선 그림이다.

정규확률그림은 자료의 분위수를 표준정규분포의 분위수에 대응시킨 것으로, 자료가 정규분포를 따르면 $x\approx\mu+\sigma z$ 관계 때문에 점들이 직선 위에 놓인다. 곡선으로 휘면 꼬리 모양이 정규분포와 다르다는 뜻이다.

• 가운데는 가파르고 양 끝이 수평으로 눕는 S자 그림은 정규분포보다 꼬리가 짧은 분포(균일분포 등)의 모양이다.
• 왼쪽은 평평하고 오른쪽으로 갈수록 가파르게 치솟는 그림은 오른쪽 꼬리가 긴 분포의 모양이다.
• 왼쪽에서 가파르게 오르다가 오른쪽에서 평평해지는 그림은 왼쪽 꼬리가 긴 분포의 모양이다.