23년 1회차

변동계수가 서로 같다는 진술이 옳지 않다. B의 각 값은 A의 각 값에 50을 더한 것이어서 평균만 달라지고 퍼진 정도는 그대로이다.

A는 9, 15, 18, 24, 24, 24, 28, 28, 28, 32, 35, 41이고 B는 59, 65, 68, 74, …, 91로 모든 값이 50씩 크다. 변동계수 $s/\bar{x}$는 표준편차가 같아도 평균이 50 큰 B 쪽이 더 작다.

• 범위가 서로 같다는 진술은 옳다(41−9 = 91−59 = 32).
• 사분위수범위가 서로 같다는 진술은 옳다(모든 값이 같은 양만큼 이동하면 사분위수 간 차이는 변하지 않는다).
• 표준편차가 서로 같다는 진술은 옳다(상수를 더해도 표준편차는 변하지 않는다).

옳은 것은 $P(X+Y=2)=\dfrac{1}{2}$이다.

$X+Y=2$가 되는 경우는 $(X,Y)=(0,2)$ 또는 $(2,0)$이므로 $\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}$이다.

• $E(X)=\dfrac{3}{4}$는 틀리다. 주변분포가 $P(X=0)=P(X=2)=\dfrac{1}{2}$이므로 $E(X)=1$이다.
• $Var(X)=\dfrac{1}{2}$는 틀리다. $E(X^2)=2$이므로 $Var(X)=2-1^2=1$이다.
• $E(X+Y)=\dfrac{3}{2}$는 틀리다. $P(Y=2)=\dfrac{3}{4}$로 $E(Y)=\dfrac{3}{2}$이므로 $E(X+Y)=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$이다.

구하는 확률은 0.3이다.

$P(X\le 2)=0.2$, $P(X\ge 12)=1-0.8=0.2$이므로 2와 12는 평균에 대해 대칭이고 $\mu=\dfrac{2+12}{2}=7$이다.

$P(2\le X\le 7)=P(X\le 7)-P(X\le 2)=0.5-0.2=0.3$

$P(X\ne Y)$의 값은 0.58이다.

X ≠ Y인 경우는 (X, Y) = (1, 0) 또는 (0, 1)이고, 두 변수가 독립이므로 확률을 곱한다.
$P(X\ne Y)=0.3\times 0.3+0.7\times 0.7=0.09+0.49=0.58$

• 0.09는 (X, Y) = (1, 0)인 경우만 더한 값이다.
• 0.21은 (X, Y) = (1, 1)일 확률 $0.3\times 0.7$이다.
• 0.49는 (X, Y) = (0, 1)인 경우만 더한 값이다.

유의확률은 $P\left(W\ge \dfrac{8}{3}\right)$이다.

귀무가설 하에서 검정통계량 $F=\dfrac{S_X^2}{S_Y^2}$는 자유도 $(5-1,\ 6-1)=(4,5)$인 F분포를 따른다. 관측값은 $F=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}$이고 대립가설이 우측 단측이므로 유의확률은 W가 이 값 이상일 확률이다.

• $P\left(W\ge \dfrac{3}{8}\right)$는 분자·분모를 뒤집은 비를 쓴 것이다.
• $P\left(W\ge \dfrac{15}{32}\right)$는 제곱합의 비 45/96을 쓴 것으로 자유도로 나누지 않았다.
• $P\left(W\ge \dfrac{32}{15}\right)$는 제곱합의 비 96/45를 쓴 것으로 표본분산의 비가 아니다.

바르게 연결한 것은 k = 18, $S_p^2=20$이다.

합동분산의 자유도는 $k=n_1+n_2-2=10+10-2=18$이다. 신뢰구간의 반폭은 $\dfrac{-3.8-(-12.2)}{2}=4.2$이다.

$t_{0.025}(18)\,S_p\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}}=4.2$
$2.1\times S_p\sqrt{0.2}=4.2 \Rightarrow S_p\sqrt{0.2}=2$
$S_p^2=\dfrac{4}{0.2}=20$

• k = 9, $S_p^2=10$는 자유도와 합동분산이 모두 틀리다.
• k = 9, $S_p^2=20$는 한 집단의 자유도만 쓴 것으로 합동 자유도 18이 아니다.
• k = 18, $S_p^2=10$이면 반폭이 $2.1\sqrt{2}\approx 2.97$로 4.2와 맞지 않는다.

$\beta_1$의 추정값은 −2이다.

회귀제곱합은 $SSR=270-150=120$이고 $SSR=\hat{\beta}_1^2\sum(x_i-\bar{x})^2$이므로
$\hat{\beta}_1^2=\dfrac{120}{30}=4 \Rightarrow \hat{\beta}_1=\pm 2$

$\hat{\beta}_1$의 부호는 표본상관계수의 부호와 같으므로 상관계수가 음수이면 $\hat{\beta}_1=-2$이다.

• 2는 크기는 맞지만 상관계수가 음수라는 조건과 부호가 반대이다.
• $\sqrt{5}$는 잔차제곱합 150을 30으로 나눈 값의 제곱근으로, 회귀제곱합 대신 잔차제곱합을 쓴 것이다.
• $-\sqrt{5}$도 잔차제곱합을 회귀제곱합 자리에 잘못 쓴 결과이다.

변하지 않는 것은 (다) 총제곱합과 (라) 총자유도이다.

총제곱합 $\sum\sum(y_{ij}-\bar{y})^2$과 총자유도 N−1은 전체 자료와 전체 평균만으로 정해져 집단을 어떻게 나누든 같다. 반면 집단 수가 3에서 2로 줄면 처리 자유도는 2에서 1로, 오차 자유도는 N−3에서 N−2로 바뀌고, 처리제곱합도 A·B 각각의 평균 대신 합친 평균을 쓰므로 달라진다.

• (가), (나)는 처리제곱합과 오차 자유도로 둘 다 변한다.
• (가), (다)는 처리제곱합이 변하므로 맞지 않다.
• (나), (라)는 오차 자유도가 변하므로 맞지 않다.

구하는 확률은 P(U=0)과 같다.

첫 전화가 9시 20분 이후라는 것은 9시~9시 20분 사이에 전화가 한 통도 없다는 뜻이다. 20분(1/3시간) 동안의 통화 수는 평균 $6\times\dfrac{1}{3}=2$인 포아송분포를 따르므로 이 확률은 $P(U=0)=e^{-2}$이다.

• P(U=1)은 20분 동안 정확히 한 통이 걸려 올 확률이다.
• P(V=0)은 한 시간 동안 전화가 없을 확률, 즉 첫 전화가 10시 이후일 확률이다.
• P(V=1)은 한 시간 동안 정확히 한 통이 걸려 올 확률이다.

원자료와 같은 단위를 갖는 것은 표준편차와 사분위수범위(ㄱ, ㄴ)이다.

표준편차는 분산의 제곱근이고 사분위수범위는 두 관측값의 차이므로 원자료 단위 그대로이다. 분산은 단위의 제곱, 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 값이라 단위가 없다.

• ㄱ, ㄷ은 분산이 제곱 단위라 맞지 않다.
• ㄴ, ㄹ은 변동계수가 무단위라 맞지 않다.
• ㄷ, ㄹ은 분산·변동계수 모두 원자료 단위가 아니다.

구하는 확률은 $\dfrac{45}{2^9}$이다.

처음 여섯 차례 중 뒷면 두 차례: $\binom{6}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^6=\dfrac{15}{2^6}$
나머지 네 차례 중 앞면 두 차례: $\binom{4}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{6}{2^4}$

두 구간은 독립이므로 곱한다.
$\dfrac{15}{2^6}\times\dfrac{6}{2^4}=\dfrac{90}{2^{10}}=\dfrac{45}{2^9}$

• $\dfrac{15}{2^9}$는 정확한 값의 3분의 1이다.
• $\dfrac{15}{2^{10}}$는 나머지 네 차례의 조합 수 6을 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{45}{2^{10}}$는 정확한 값의 절반이다.

결정계수는 $\dfrac{5}{29}$이다.

n = 26이므로 자유도는 회귀 1, 잔차 24, 계 25이다.
$MSE=\dfrac{120}{24}=5$, $F=\dfrac{MSR}{MSE}=5 \Rightarrow MSR=25$
회귀 자유도가 1이므로 SSR = 25, $SST=25+120=145$

$R^2=\dfrac{SSR}{SST}=\dfrac{25}{145}=\dfrac{5}{29}$

T의 값이 $t_{0.05}(9)$보다 커서 귀무가설을 기각한다는 설명이 옳다.

$T=\sqrt{9}\times\dfrac{0.6}{\sqrt{1-0.36}}=3\times\dfrac{0.6}{0.8}=2.25$
대립가설이 $\rho>0$인 우측 단측검정이므로 기각역은 $T\ge t_{0.05}(9)=1.83$이고, 2.25 > 1.83이므로 기각한다.

• $t_{0.025}(9)$보다 커서 기각한다는 설명은 틀리다. 2.25 < 2.26이고 단측검정의 임계값도 아니다.
• $t_{0.025}(9)$보다 작아서 기각하지 못한다는 설명은 양측검정 기준을 잘못 적용한 것이다.
• $t_{0.05}(9)$보다 작다는 설명은 2.25 > 1.83이므로 틀리다.

인자 A는 유의하지 않고, 인자 B는 유의하다.

N = 4×3×3 = 36이므로 자유도는 A 3, B 2, 계 35이고, 교호작용을 포함한 오차는 35−3−2 = 30이다.
오차 제곱합 = 396−54−72 = 270, $MSE=\dfrac{270}{30}=9$

$F_A=\dfrac{54/3}{9}=2 < 2.92$, $F_B=\dfrac{72/2}{9}=4 > 3.32$이므로 B만 유의하다.

• A, B 모두 유의하다는 설명은 A의 F값 2가 2.92보다 작아 틀리다.
• A만 유의하다는 설명은 결과와 정반대이다.
• 둘 다 유의하지 않다는 설명은 B의 F값 4가 3.32보다 커 틀리다.

분산이 가장 큰 것은 x가 −5 부근에서 5 부근까지 거의 직선처럼 가장 완만하게 증가하는 누적분포함수이다.

정규분포의 누적분포함수는 평균에서의 기울기가 밀도의 최댓값 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$와 같으므로 분산이 클수록 S자 곡선이 완만해지고 작을수록 가팔라진다.

• −2와 2 사이에서 0 부근에서 0.9 이상으로 급히 뛰어오르는 곡선은 분산이 가장 작다.
• −2와 2 사이에서 대부분 증가하고 양 끝이 서서히 꺾이는 곡선도 분산이 작은 편이다.
• −4에서 4 사이에 걸쳐 완만한 S자를 그리는 곡선은 거의 직선형 곡선보다 기울기가 커 분산이 더 작다.

최소제곱 회귀식은 $\hat{y}=-1+2x$이다.

$\hat{\beta}_1=r\sqrt{\dfrac{\sum(y_i-\bar{y})^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}}=\dfrac{1}{3}\times\sqrt{\dfrac{36}{1}}=2$
$\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=3-2\times 2=-1$

최소제곱 직선은 반드시 $(\bar{x},\bar{y})=(2,3)$을 지나야 한다.

• $\hat{y}=-2+x$는 x = 2에서 0이 되어 (2, 3)을 지나지 않는다.
• $\hat{y}=-4+2x$는 기울기는 맞지만 x = 2에서 0이 된다.
• $\hat{y}=-4+x$는 기울기도 틀리고 (2, 3)을 지나지 않는다.

유의확률이 0.03보다 작다는 설명이 옳지 않다. 95% 신뢰구간 (349, 361)이 350을 포함하므로 유의수준 5%에서 기각되지 않고, 유의확률은 0.05보다 크다.

양측검정에서 $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간이 $\mu_0$를 포함하면 유의수준 α에서 귀무가설을 기각하지 못하며, 이는 유의확률이 α보다 크다는 것과 같다.

• 유의수준 5%에서 기각할 수 없다는 설명은 옳다.
• 유의수준 2%에서 기각할 수 없다는 설명은 옳다(98% 신뢰구간은 더 넓어 350을 포함한다).
• 유의확률이 0.01보다 크다는 설명은 옳다(0.05보다 크기 때문이다).

옳은 것은 알코올 중독자 중 질병 A의 유병률을 53/76으로 추정하는 것이다.

중독자 76명, 비중독자 109명으로 각 집단의 표본 크기를 미리 고정해 뽑았으므로(동질성 검정 설계), 추정할 수 있는 것은 각 집단 안에서의 유병률뿐이다. 행·열 합계 비율은 연구자가 정한 표본 크기에 좌우된다.

• 알코올 중독자 비율 76/185는 연구자가 정한 표본 배분일 뿐 지역의 중독자 비율 추정값이 아니다.
• 질병 A의 유병률 81/185는 중독자·비중독자 표본 배분에 따라 달라지므로 지역 전체 유병률로 볼 수 없다.
• 유병자 중 알코올 중독자 비율 53/81도 고정된 집단 크기에 좌우되어 추정할 수 없다.

n의 최솟값은 100이다.

정규근사로 $P\left(|\hat{p}-p|\le 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95$이므로 $1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\le 0.098$이 모든 p에서 성립해야 한다. $p(1-p)\le\dfrac{1}{4}$이므로 p = 0.5인 경우를 기준으로 한다.

$1.96\times\dfrac{0.5}{\sqrt{n}}\le 0.098 \Rightarrow \sqrt{n}\ge 10 \Rightarrow n\ge 100$

• 64는 $1.96\times 0.5/8\approx 0.1225$로 0.098보다 커서 조건을 만족하지 못한다.
• 400은 조건을 만족하지만 최솟값이 아니다.
• 625도 조건을 만족하지만 최솟값이 아니다.