24년 1회차

출구 조사 방식은 계통추출법이다.

출구로 나오는 투표자를 순서대로 보다가 일정 간격(16대 대선은 6, 19대 대선은 5)마다 한 명씩 뽑는 것은, 첫 표본 이후 k번째마다 추출하는 계통추출의 정의 그대로이다.

• 단순임의추출법은 모집단 전체 목록에서 각 원소가 같은 확률로 무작위로 뽑히는 방식으로, 일정 간격이라는 규칙이 없다.
• 층화임의추출법은 모집단을 성격이 비슷한 층으로 나눈 뒤 층마다 임의추출하는 방식이다.
• 집락추출법은 모집단을 집락으로 나누어 일부 집락을 뽑고 그 집락을 조사하는 방식이다.

구하는 확률은 $P(B\cap C^c)=\dfrac{5}{12}$이다.

세 사건이 서로 독립이면 여사건끼리도 독립이므로, $P(C)=c$라 두면 $P(A\cap B^c\cap C)=P(A)P(B^c)P(C)$이다.
$\dfrac{1}{4}(1-3c)c=\dfrac{1}{48}$
$36c^2-12c+1=0,\ (6c-1)^2=0$
$c=\dfrac{1}{6},\ P(B)=3c=\dfrac{1}{2}$

독립성에 의해
$P(B\cap C^c)=P(B)\{1-P(C)\}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{12}$

• 12분의 1은 $P(B)P(C)$에 해당하는 값으로, B와 C가 함께 일어날 확률이다.
• 12분의 7은 $1-P(B\cap C^c)$로 여사건의 확률이다.
• 12분의 11은 $1-P(B)P(C)$로, 구하는 사건과 무관한 값이다.

공분산은 $\mathrm{Cov}(X,Y)=-6$이다.

기댓값의 선형성으로 두 조건을 풀어 쓰면 $E(XY)+E(X)=9$, $E(XY)+E(Y)=10$이고, 두 식을 더하면 $2E(XY)+E(X+Y)=19$이다.
$2E(XY)+7=19,\ E(XY)=6$
$E(X)=9-6=3,\ E(Y)=10-6=4$

공분산 공식에 대입하면
$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=6-3\times4=-6$

• -5는 $E(X)E(Y)$를 11로 잘못 잡아야 나오는 값으로, 실제로는 $3\times4=12$이다.
• 5는 양수이지만 $E(XY)=6$이 $E(X)E(Y)=12$보다 작으므로 공분산은 음수여야 한다.
• 6은 $E(X)E(Y)-E(XY)$로 부호를 거꾸로 뺀 값이다.

동치가 아닌 것은 $\mathrm{Cov}(X+Y,\,X-Y)=0$이다. 이 식은 $\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)=0$, 즉 두 분산이 같다는 조건일 뿐 공분산과 무관하다.

$\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)=\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(Y,X)-\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)$

• $\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X-Y)$는 $4\mathrm{Cov}(X,Y)=0$과 같으므로 동치이다.
• $E(XY)=E(X)E(Y)$는 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$과 같으므로 동치이다.
• $\mathrm{Cov}(-2X+3,3Y-2)=-6\mathrm{Cov}(X,Y)$이므로 0이 되는 것은 공분산이 0인 것과 동치이다.

옳지 않은 것은 '상관계수가 0이면 X, Y는 독립이다'이다. 상관계수 0은 선형관계가 없다는 뜻일 뿐, 비선형 종속관계는 남아 있을 수 있다.

예컨대 $X\sim N(0,1)$, $Y=X^2$이면 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(X^3)=0$이지만 Y는 X로 완전히 결정되므로 독립이 아니다. 역으로 독립이면 상관계수는 0이다.

• 상관계수는 공분산을 두 표준편차로 나눈 무차원 값이므로 측정단위의 영향을 받지 않는다는 것은 옳다.
• 선형관계의 강도는 절댓값으로 비교하므로 -0.7이 +0.5보다 선형관계가 강하다는 것은 옳다.
• 양의 상수배 변환 $3X$, $5Y$는 상관계수를 바꾸지 않으므로 표본상관계수가 그대로 0.5라는 것은 옳다.

정규분포의 사분위수범위는 $2\times z_{0.25}\times\sigma$이다.

정규분포는 μ에 대해 대칭이므로 제3사분위수는 $Q_3=\mu+z_{0.25}\sigma$, 제1사분위수는 $Q_1=\mu-z_{0.25}\sigma$이다($z_{0.25}$는 제75백분위수).
$IQR=Q_3-Q_1=2z_{0.25}\sigma$

• $z_{0.025}\times\sigma$는 95% 구간의 반폭으로, 사분위수와 무관하다.
• $z_{0.25}\times\sigma$는 중앙값에서 한쪽 사분위수까지의 거리(사분위편차)에 해당한다.
• $2\times z_{0.025}\times\sigma$는 중앙 95% 구간의 폭이다.

불편추정량이면서 분산이 최소인 것은 $\hat{\mu}_1=\dfrac{1}{5}(X_1+X_2+2X_3+X_4)$이다.

선형추정량 $\sum a_iX_i$는 계수 합이 1일 때 불편이며, 분산은 $\sigma^2\sum a_i^2$이다. 계수 합은 $\hat{\mu}_1$과 $\hat{\mu}_4$만 1이다.

분산 비교
$\mathrm{Var}(\hat{\mu}_1)=\dfrac{1+1+4+1}{25}\sigma^2=\dfrac{7}{25}\sigma^2=0.28\sigma^2$
$\mathrm{Var}(\hat{\mu}_4)=\dfrac{4+1+1}{16}\sigma^2=\dfrac{6}{16}\sigma^2=0.375\sigma^2$

• $\hat{\mu}_2$는 계수 합이 $\dfrac{5}{4}$라 $E(\hat{\mu}_2)=\dfrac{5}{4}\mu$인 편향추정량이다.
• $\hat{\mu}_3$은 계수 합이 $\dfrac{6}{5}$라 편향추정량이다.
• $\hat{\mu}_4$는 불편이지만 분산이 $\hat{\mu}_1$보다 크다.

옳은 것은 ㄱ만이다.

ㄱ. 확률의 합이 1이므로 (가)+(나) $=1-0.25=\dfrac{3}{4}$로 옳다.
ㄴ. (가)를 a라 두면 $E(X)=-a+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$이므로 $a=\dfrac{1}{8}$, (나) $=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}$이다. 따라서 옳지 않다.

ㄷ. $-a+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$에서 $a=\dfrac{1}{6}$이다.
$E(X^2)=a+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{12},\ \mathrm{Var}(X)=\dfrac{5}{12}-\left(\dfrac{1}{12}\right)^2=\dfrac{59}{144}$
$\mathrm{Var}(\overline{X})=\dfrac{\mathrm{Var}(X)}{2}=\dfrac{59}{288}$
제시된 $\dfrac{59}{144}$는 모분산이므로 옳지 않다.

옳은 것은 '결정계수는 X, Y의 표본상관계수를 이용하여 구할 수 있다'이다.

절편이 있는 단순선형회귀에서는 결정계수가 표본상관계수의 제곱과 같다.
$R^2=\dfrac{SSR}{SST}=r_{XY}^2$

• 결정계수가 0이면 $SSR=0$, 즉 적합선이 수평선이어서 잔차제곱합이 총제곱합과 같다는 뜻이다. 모든 잔차가 0인 것은 결정계수가 1일 때이다.
• 결정계수가 클수록 총변동 중 회귀로 설명되는 비율이 커지므로 설명력이 높은 모형이다.
• 독립변수를 추가하면 잔차제곱합이 늘어날 수 없으므로 결정계수는 감소하지 않는다(같거나 증가).

(가)는 60이고, 검정통계량은 근사적으로 자유도가 1인 카이제곱분포를 따른다.

(가) $=a$라 두면 남학생 영어 $100-a$, 여학생 수학 $100-a$, 여학생 영어 $a$이고, 기대도수는 모두 $\dfrac{100\times100}{200}=50$이다.
$\chi^2=4\times\dfrac{(a-50)^2}{50}=8$
$(a-50)^2=100,\ a=60\ (a\ge50)$

2×2 동질성 검정의 자유도는 $(2-1)(2-1)=1$이다.

• (가)가 55이면 $\chi^2=4\times\dfrac{25}{50}=2$가 되어 8과 맞지 않는다.
• 자유도가 2인 카이제곱분포는 행·열 범주 수에서 1씩 빼서 곱한 값과 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 '제3사분위수는 3이다'이다. 누적 일수로 보면 제3사분위수는 2이다.

누적 일수는 0건 90, 1건까지 140, 2건까지 170, 3건까지 190, 4건까지 200이다. 상위 25% 경계인 150번째 전후 값은 141~170번째에 해당하는 2건이다.

• 평균은 $\dfrac{0\times90+1\times50+2\times30+3\times20+4\times10}{200}=\dfrac{210}{200}=1.05$로 옳다.
• 중앙값은 100번째와 101번째 값이 모두 1(91~140번째)이므로 1로 옳다.
• 최빈값은 해당일 수가 90으로 가장 많은 0으로 옳다.

95% 신뢰구간의 길이는 8.58이다.

등분산이므로 합동표본분산을 쓰고, 자유도는 $8+8-2=14$이다.
$S_p^2=\dfrac{(8-1)\times19+(8-1)\times13}{14}=\dfrac{224}{14}=16,\ S_p=4$
$SE=S_p\sqrt{\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}}=4\times\dfrac{1}{2}=2$

$L=2\times t_{0.025}(14)\times SE=2\times2.145\times2=8.58$

• 4.29는 구간의 반폭(오차한계)만 구한 값이다.
• 4.73은 자유도를 7로 잘못 잡아 $t_{0.025}(7)=2.365$로 반폭을 구한 값이다.
• 9.46은 자유도를 7로 잘못 잡아 구간 길이를 구한 값이다.

유의확률은 $\dfrac{3}{16}$이다.

대립가설이 $p>\dfrac{1}{2}$인 우측 검정이므로, 귀무가설 하에서 앞면 수 $X\sim B\left(5,\dfrac{1}{2}\right)$가 관측값 4 이상일 확률이 유의확률이다.

$P(X\ge4)=\left\{\binom{5}{4}+\binom{5}{5}\right\}\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{6}{32}=\dfrac{3}{16}$

• 16분의 1은 $\dfrac{2}{32}$로, 관측값 자체의 확률 $P(X=4)=\dfrac{5}{32}$보다도 작다.
• 16분의 2는 $\dfrac{4}{32}$로, 역시 $P(X=4)=\dfrac{5}{32}$보다 작아 유의확률이 될 수 없다.
• 16분의 4는 $\dfrac{8}{32}$로, 관측값 이상일 확률 $\dfrac{6}{32}$를 넘는다.

기대도수와 관측도수의 차이가 가장 큰 연령대는 20~30대이다.

귀무가설 하에서는 공통 비율을 합동 비율로 추정한다. 위험군 관측도수는 $14,\ 37,\ 22,\ 8$이고
$\hat{p}=\dfrac{14+37+22+8}{300}=\dfrac{81}{300}=0.27$

기대도수 = 표본 크기 × 0.27 이므로 $13.5,\ 27,\ 27,\ 13.5$이다.

• 10대 이하는 $|14-13.5|=0.5$로 차이가 가장 작다.
• 40~50대는 $|22-27|=5$이다.
• 60대 이상은 $|8-13.5|=5.5$로, 20~30대의 $|37-27|=10$보다 작다.

옳지 않은 것은 '유의확률은 인자 A가 교호작용 A×B보다 크다'이다. F-값이 훨씬 큰 인자 A의 유의확률이 더 작다.

반복 2회 이원배치(12회)에서 자유도는 A 2, B 1, A×B 2, 오차 $11-5=6$이다.
$MS_A=\dfrac{1544}{2}=772,\ MS_B=\dfrac{12}{1}=12,\ MS_{AB}=\dfrac{24}{2}=12,\ MS_E=\dfrac{62}{6}\approx10.33$
$F_A\approx74.7,\ F_{AB}\approx1.16$

• 총제곱합은 $1544+12+24+62=1642$로 옳다.
• 인자 B와 교호작용 A×B의 평균제곱은 모두 12로 같다는 것은 옳다.
• 오차 자유도는 $12-3\times2=6$으로 옳다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두이다.

ㄱ. $R^2=\dfrac{SSR}{SST}=\dfrac{420}{480}=0.875$로 옳다.
ㄴ. p-값이 0.001보다 작아 유의수준 0.01보다 작으므로 귀무가설 $\beta_1=\beta_2=0$을 기각한다. 모형이 유의하므로 옳다.

ㄷ. 자유도는 회귀 2, 잔차 $23-3=20$, 잔차제곱합은 $480-420=60$이다.
(가), (나), (다)는 차례로 $MSR=\dfrac{420}{2}=210,\ MSE=\dfrac{60}{20}=3,\ F=\dfrac{210}{3}=70$
$210+3+70=283$이므로 옳다.

옳지 않은 것은 '$t_{0.05}(n)$'이다. t분포는 자유도가 커질수록 꼬리가 얇아져 표준정규분포에 가까워지므로 상위 5% 분위수는 감소한다.

즉 모든 자연수 n에 대해 $t_{0.05}(n)>t_{0.05}(n+1)$이며, 극한값은 $z_{0.05}$이다.

• 유의수준 0.01에서 기각되면 유의확률이 0.01 이하이므로 유의수준 0.05에서도 기각된다는 것은 옳다.
• $\chi^2(n+1)$은 $\chi^2(n)$에 독립인 $\chi^2(1)$을 더한 분포로 확률적으로 더 크므로, 제95백분위수가 자유도와 함께 증가한다는 것은 옳다.
• $A_1$, $A_2$가 배반이면 $A_1\cap B$와 $A_2\cap B$도 배반이므로 $P(A_1\cup A_2\mid B)=P(A_1\mid B)+P(A_2\mid B)$라는 것은 옳다.

옳은 식은 $SSE=S_{yy}-\hat{\beta}_1S_{xy}$이다.

$\hat{\beta}_1=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$이고 회귀제곱합은 $SSR=\hat{\beta}_1^2S_{xx}=\hat{\beta}_1S_{xy}$이므로
$SSE=SST-SSR=S_{yy}-\hat{\beta}_1S_{xy}$

• $\hat{\beta}_1=\dfrac{S_{xy}}{S_{yy}}$는 분모가 틀렸다. 기울기 추정값의 분모는 $S_{xx}$이다.
• $r^2=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}S_{yy}}$는 분자의 제곱이 빠졌다. 결정계수는 $\dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$이다.
• $\sum y_ie_i=0$은 틀렸다. 정규방정식에서 $\sum e_i=0$, $\sum x_ie_i=0$이므로 $\sum\hat{y}_ie_i=0$이지만, $\sum y_ie_i=\sum e_i^2=SSE$이다.

구하는 확률은 $P(Y=2X)=\dfrac{1}{6}$이다.

먼저 확률의 합이 1이 되도록 상수 c를 구한다.
$c=\sum_{x=1}^{3}\sum_{y=1}^{4}(x+y)=4(1+2+3)+3(1+2+3+4)=24+30=54$

Y=2X를 만족하는 순서쌍은 $(1,2)$, $(2,4)$뿐이다($x=3$이면 $y=6$이 범위 밖).
$P(Y=2X)=\dfrac{3+6}{54}=\dfrac{9}{54}=\dfrac{1}{6}$

• 18분의 1은 $f(1,2)=\dfrac{3}{54}$로, 한 점의 확률만 센 값이다.
• 9분의 1은 $f(2,4)=\dfrac{6}{54}$로, 역시 한 점의 확률만 센 값이다.
• 9분의 2는 $\dfrac{12}{54}$로, 조건을 만족하는 두 점의 확률 합 $\dfrac{9}{54}$보다 크다.

처리제곱합은 60이다.

먼저 총평균을 반복수 가중으로 구한다.
$\bar{y}_{\cdot\cdot}=\dfrac{5\times6+10\times3+15\times2}{30}=\dfrac{90}{30}=3$

$SS_{Tr}=\sum_{i}n_i(\bar{y}_{i\cdot}-\bar{y}_{\cdot\cdot})^2=5(6-3)^2+10(3-3)^2+15(2-3)^2=45+0+15=60$

• 90은 처리제곱합이 아니라 전체 자료의 총합 $\sum n_i\bar{y}_{i\cdot}$이다.
• 270은 수정항 $N\bar{y}_{\cdot\cdot}^2=30\times3^2$이다.
• 330은 $\sum n_i\bar{y}_{i\cdot}^2=180+90+60$으로, 여기서 수정항 270을 빼야 처리제곱합이 된다.