25년 1회차

옳지 않은 것은 표준편차와 변동계수의 단위가 같다는 설명이다. 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 값이라 단위가 약분되어 단위가 없는 상대적 산포 측도이다.

$CV = \dfrac{s}{\bar{x}}$ 에서 분자·분모가 모두 자료의 단위를 가지므로, 단위가 다른 자료끼리의 산포 비교에 쓰인다.

• 제40 백분위수는 자료를 크기순으로 놓았을 때 40% 지점의 값이므로 50% 지점인 중앙값보다 작거나 같다는 설명은 옳다.
• 자료 1, 2의 산술평균은 1.5, 기하평균은 $\sqrt{2} \approx 1.414$ 이므로 산술평균이 더 크다는 설명은 옳다.
• 5% 절사평균은 위쪽 5%와 아래쪽 5%, 즉 전체의 10%를 삭제한 뒤 구한 평균이라는 설명은 옳다.

결정계수가 가장 큰 것은 점들이 오른쪽 위로 향하는 좁은 직선 띠에 몰려 있는 산점도이다. 결정계수 $R^2 = \dfrac{SSR}{SST}$ 는 총변동 중 회귀직선이 설명하는 비율이라, 점이 직선 주위에 가까이 모일수록 1에 가까워진다.

단순선형회귀에서 $R^2 = r^2$ 이므로 선형 상관이 강할수록 결정계수가 크다.

• 양의 경향은 있으나 점들이 넓게 흩어진 산점도는 잔차가 커서 결정계수가 더 작다.
• 점들이 사각형 테두리와 가운데에 고르게 퍼진 산점도는 선형 경향이 거의 없어 결정계수가 0에 가깝다.
• 점들이 원 모양으로 배열된 산점도는 비선형 패턴이라 직선으로 설명되는 변동이 거의 없다.

인자 A에 대한 F－검정통계량의 값은 27이다. 반복이 없는 이원배치법이므로 오차 자유도는 (3 − 1)(6 − 1) = 10이다.

자유도: 인자 A = 3 − 1 = 2, 인자 B = 6 − 1 = 5, 오차 = 10, 계 = 18 − 1 = 17
$MS_A = \dfrac{540}{2} = 270, \quad MSE = \dfrac{100}{10} = 10$

$F = \dfrac{MS_A}{MSE} = \dfrac{270}{10} = 27$

• 4는 인자 B의 제곱합을 오차 제곱합으로 바로 나눈 값(400/100)이라 평균제곱의 비가 아니다.
• 8은 인자 B에 대한 F－검정통계량($MS_B = 400/5 = 80$, 80/10)이다.
• 54는 인자 A의 제곱합 540을 자유도 2로 나누지 않고 MSE 10으로만 나눈 값이다.

옳지 않은 것은 자료를 관찰한 후 가설을 설정한다는 설명이다. 귀무가설과 대립가설은 자료를 관찰하기 전에 연구 목적에 따라 미리 설정해야 한다.

자료를 본 뒤 가설을 정하면 관찰 결과에 맞춰 가설을 고르게 되어 유의수준(제1종 오류 확률)이 보장되지 않는다.

• 제2종 오류는 대립가설이 참인데 귀무가설을 기각하지 못하는 오류라는 설명은 옳다.
• 검정력은 대립가설이 참일 때 귀무가설을 기각할 확률(1 − 제2종 오류 확률)이라는 설명은 옳다.
• 유의확률이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각한다는 설명은 옳다.

카이제곱검정통계량의 값은 8이고 유의수준 5%에서 귀무가설을 기각함이다.

기대도수 = 행 합 × 열 합 / 총합 = 150 × 100 / 300 = 50 (모든 칸)
$\chi^2 = \dfrac{(60-50)^2}{50} + \dfrac{(40-50)^2}{50} + 0 + \dfrac{(40-50)^2}{50} + \dfrac{(60-50)^2}{50} + 0 = 8$

자유도는 (2 − 1)(3 − 1) = 2이고, $8 > \chi^2_{0.05}(2) = 5.99$ 이므로 성별에 따라 선호도에 차이가 있다고 판단한다.

• 통계량 8이면서 귀무가설을 기각하지 못한다는 조합은 자유도 6의 임계값 12.59와 잘못 비교한 것이다.
• 통계량 15이면서 귀무가설을 기각한다는 조합은 통계량 계산이 틀렸다.
• 통계량 15이면서 귀무가설을 기각하지 못한다는 조합은 통계량과 결론이 모두 틀렸다.

옳은 것은 a = c 이고 a ＜ b이다. 변동계수는 표준편차 ÷ 평균이므로 자료에 상수를 곱하면 변하지 않고, 상수를 빼면 평균만 줄어 커진다.

자료 A의 평균은 30, 표준편차를 s라 하면 $a = \dfrac{s}{30}$
B는 A에서 5씩 뺀 자료: 평균 25, 표준편차 s → $b = \dfrac{s}{25}$
C는 A를 2로 나눈 자료: 평균 15, 표준편차 s/2 → $c = \dfrac{s/2}{15} = \dfrac{s}{30}$

따라서 a = c ＜ b이다.

• a = c 이고 b ＜ a 라는 관계는 B의 평균이 더 작아 변동계수가 커지는 점을 반대로 본 것이다.
• a ＜ b ＜ c 라는 관계는 C의 변동계수가 A와 같다는 점에 어긋난다.
• c ＜ b ＜ a 라는 관계는 a와 c가 같다는 점과 b가 가장 크다는 점에 모두 어긋난다.

옳은 것은 P(X + Y = 0) = 1/8이다. 표의 빈칸을 먼저 채우면 X = −1, Y = 1인 확률은 0, X = 1, Y = −1인 확률은 1/8이다.

빈칸 두 개의 합은 1 − (3/8 + 1/8 + 1/4 + 1/8) = 1/8이고, E(X) = 0 이면 $P(X = -1) = P(X = 1) = \dfrac{1}{2}$ 이므로 X = −1 열의 빈칸은 1/2 − 4/8 = 0이다.
X + Y = 0 인 경우는 (−1, 1)과 (1, −1)뿐이므로 $P(X+Y=0) = 0 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8}$

• X는 −1과 1을 각각 1/2 확률로 가지므로 $Var(X) = E(X^2) - 0 = 1$ 이고, 분산이 1/4이라는 것은 틀렸다.
• $P(Y=-1) = \dfrac{1}{2}, \ P(Y=1) = \dfrac{1}{8}$ 이므로 $E(Y) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{3}{8}$ 이고, 3/8이라는 것은 부호가 틀렸다.
• $E(XY) = \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{8} - 0 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$ 이므로 E(XY) = 1/4이라는 것은 틀렸다.

옳지 않은 것은 P(X ≥ 5) = 2/3이다. 구간 4 ≤ x ＜ 6에서 $F(x) = \dfrac{x}{6}$ 은 연속이므로 x = 5에 확률질량이 없어 $P(X \ge 5) = 1 - F(5) = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$ 이다.

누적분포함수는 x = 2에서 1/3 → 1/2, x = 4에서 1/2 → 2/3으로 점프하므로 X = 2와 X = 4에만 각각 1/6의 점확률이 있고, 나머지 구간은 연속이다.

• $F(a) = \dfrac{a}{6} = \dfrac{1}{4}$ 에서 a = 3/2이므로 P(X ≤ a) = 1/4을 만족하는 a가 3/2라는 것은 옳다.
• 2 ≤ x ＜ 4에서 F가 1/2로 일정하므로 P(X = 3) = 0은 옳다.
• $P(1 < X \le 4) = F(4) - F(1) = \dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$ 이므로 옳다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 정규분포의 선형변환은 정규분포이고, 표준정규변수의 제곱은 자유도 1인 카이제곱분포를 따른다.

ㄴ에서 $Z = X - 1 \sim N(0, 1)$ 이므로 $(X-1)^2 = Z^2 \sim \chi^2(1)$ 이다.

• ㄱ. $5X + 100 \sim N(5\mu + 100, \ 25\sigma^2)$ 이므로 옳다.
• ㄷ. F(1, 1)분포를 따르는 것은 제곱의 비 $\dfrac{X^2/1}{Y^2/1}$ 이고, $\dfrac{X}{Y}$ 자체는 음수도 가질 수 있어 F분포가 아니므로(코시분포) 옳지 않다.

시청한 가구 수는 52, 유의확률은 0.0228이다.

귀무가설 하의 표준오차: $\sqrt{\dfrac{0.1 \times 0.9}{400}} = 0.015$
$Z = \dfrac{\hat{p} - 0.1}{0.015} = 2 \ \Rightarrow \ \hat{p} = 0.13$, 가구 수 = 400 × 0.13 = 52

대립가설이 p＞0.1인 단측검정이므로 유의확률 = P(Z ≥ 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228이다.

• 50가구는 표본비율 0.125에 해당해 Z값이 2가 되지 않는다.
• 유의확률 0.0456은 양측검정으로 2배 한 값이라 단측 대립가설에 맞지 않는다.

잔차제곱합은 240이다. 총제곱합에서 회귀제곱합을 빼서 구한다.

$SSR = \hat{\beta}_1^2 \sum (x_i - \bar{x})^2 = 2^2 \times 30 = 120$
$SSE = SST - SSR = 360 - 120 = 240$

• 90은 SSR 120과 더해 SST 360이 되지 않으므로 잔차제곱합이 될 수 없다.
• 120은 회귀제곱합 SSR이며 잔차제곱합이 아니다.
• 270도 SSR 120과 더해 360이 되지 않으므로 잔차제곱합이 될 수 없다.

최소제곱추정량은 $\hat{\beta} = \dfrac{\sum_{i=1}^{20} x_i y_i}{\sum_{i=1}^{20} x_i^2}$이다. 절편이 없는 원점 통과 회귀에서는 평균 편차가 아니라 원자료의 곱과 제곱을 쓴다.

$S(\beta) = \sum (y_i - \beta x_i)^2$ 을 β로 미분해 0으로 두면
$-2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0 \ \Rightarrow \ \beta \sum x_i^2 = \sum x_i y_i$

• 분자가 $\sum x_i y_i$, 분모가 $\sum (x_i - \bar{x})^2$ 인 식은 두 모형의 공식을 섞은 것이다.
• 분자가 $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, 분모가 $\sum x_i^2$ 인 식도 두 공식을 섞은 것이다.
• 분자가 $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, 분모가 $\sum (x_i - \bar{x})^2$ 인 식은 절편이 있는 모형의 기울기 추정량이다.

잔차제곱합의 자유도와 결정계수의 합은 21/2이다. 자유도 → 제곱합 순으로 표를 채운다.

자유도: 회귀 1, 잔차 12 − 2 = 10
$MSR = F \times MSE = 10 \times 13 = 130 = SSR, \quad SSE = 13 \times 10 = 130$

$R^2 = \dfrac{SSR}{SST} = \dfrac{130}{260} = \dfrac{1}{2}$, 합 = 10 + 1/2 = 21/2

• 17/2 = 8 + 1/2로 보면 잔차 자유도가 8이어야 하므로 n − 2 = 10과 맞지 않는다.
• 19/2 = 9 + 1/2로 보면 잔차 자유도가 9이어야 하므로 맞지 않는다.
• 23/2 = 11 + 1/2로 보면 잔차 자유도를 n − 1 = 11로 센 것이라 맞지 않는다.

구하는 확률은 37/360이다. 공에 4가 있으려면 주사위 눈 N이 4 이상이어야 하므로 전확률 공식으로 N = 4, 5, 6인 경우를 더한다.

$P = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right)$
$= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{15 + 12 + 10}{60} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{37}{60} = \dfrac{37}{360}$

N = 1, 2, 3이면 주머니에 4가 적힌 공이 없으므로 이 경우의 확률은 0이다.

옳지 않은 것은 교통수단별 소요 시간 차이를 일표본 t－검정으로 확인한다는 설명이다. 세 집단(대중교통·자가용·기타)의 평균을 비교하므로 일원배치 분산분석을 써야 한다.

일표본 t－검정은 한 모집단의 평균이 특정 값과 같은지를 검정하는 방법이라 여러 집단 간 평균 비교에는 맞지 않는다.

• 성별과 교통수단은 모두 범주형이므로 관련성을 분할표의 독립성검정으로 확인할 수 있다는 설명은 옳다.
• 출근 거리와 소요 시간은 모두 연속형이므로 선형관계를 상관분석으로 확인할 수 있다는 설명은 옳다.
• 교통수단 비율이 6 : 3 : 1인지는 한 범주형 변수의 분포를 지정 비율과 비교하는 적합도검정으로 확인할 수 있다는 설명은 옳다.

옳은 방법은 $F_0 = \dfrac{4}{5} < \dfrac{1}{0.32}$ 이므로 귀무가설을 기각하지 못함이다.

$MSE = \dfrac{1000}{20} = 50, \quad F_0 = \dfrac{MSR}{MSE} = \dfrac{40}{50} = \dfrac{4}{5}$
기각값은 $F_{0.05}(3, 20) = \dfrac{1}{F_{0.95}(20, 3)} = \dfrac{1}{0.32}$ (F분포의 역수 관계)

• $F_0 = 5/4$ 로 놓고 0.12와 비교해 기각한다는 방법은 F를 MSE/MSR로 뒤집었고 하위 백분위수와 비교했다.
• $F_0 = 5/4$ 로 놓고 8.66과 비교하는 방법은 F를 뒤집었고 자유도 순서(20, 3)도 바뀌었다.
• $F_0 = 4/5 > 1/8.66$ 이므로 기각한다는 방법은 1/8.66 = $F_{0.95}(3, 20)$ 인 하위 5% 점과 비교한 것이라 상측 기각역이 아니다.

제1종 오류의 확률은 P(V＞18)이다. 귀무가설 $\sigma^2 = 4$ 가 참일 때 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 은 자유도 12인 카이제곱분포를 따른다.

$P(S^2 > 6 \mid \sigma^2 = 4) = P\left(\dfrac{12S^2}{4} > \dfrac{12 \times 6}{4}\right)$
$= P(V > 18)$

• P(V＞6)은 $S^2$ 의 기각 경계 6을 $(n-1)/\sigma^2$ 로 변환하지 않고 그대로 쓴 것이다.
• P(V＞12)는 기각 경계를 자유도 12와 혼동한 것이다.
• P(V＞24)는 경계가 18보다 커서 귀무가설 하의 기각 확률을 실제보다 작게 나타낸다.

t－검정통계량의 값은 $\dfrac{1}{3} \times t_{0.025}(14)$이다. 신뢰구간의 중심과 반폭에서 표본평균과 표준오차를 역산한다.

중심 $\bar{x} = \dfrac{296 + 308}{2} = 302$, 반폭 $6 = t_{0.025}(14) \times \dfrac{s}{\sqrt{15}}$
$T = \dfrac{302 - 300}{s/\sqrt{15}} = \dfrac{2 \times t_{0.025}(14)}{6} = \dfrac{1}{3} t_{0.025}(14)$

• $\dfrac{2}{3} \times t_{0.025}(14)$ 는 반폭을 3으로 잘못 잡은 값이다.
• $t_{0.025}(14)$ 는 표본평균과 300의 차이가 반폭 6과 같을 때의 값이다.
• $\dfrac{4}{3} \times t_{0.025}(14)$ 는 차이를 8로 잘못 본 값이다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두이다. 첫 조건에서 $\mathrm{X}_{1}$의 분포가 5를 중심으로 대칭이므로 μ = 5이고, $\sigma^2 = E(X_1^2) - \mu^2 = 34 - 25 = 9$ 이다.

따라서 $X_1 \sim N(5, 3^2)$, $\overline{X} \sim N\left(5, \dfrac{9}{25}\right)$ 로 표준편차 0.6이다.

• ㄱ. 4와 6은 평균 5에서 같은 거리이므로 $P(\overline{X} \le 4) = P(\overline{X} \ge 6)$ 이 성립한다.
• ㄴ. $\dfrac{6-5}{0.6} = \dfrac{5}{3}$, $\dfrac{10-5}{3} = \dfrac{5}{3}$ 로 표준화 값이 같아 두 확률이 같다.
• ㄷ. $P(X_1 \ge 8) = P(Z \ge 1)$, $P(\overline{X} \ge 4.4) = P(Z \ge -1) = P(Z \le 1)$ 이므로 합이 1이다.

유의확률은 증가하다가 감소한다. 카이제곱통계량이 a = 200에서 최소가 되는 아래로 볼록한 이차식이기 때문이다.

기대도수 = 1,200 × (1, 1, 1, 1, 2)/6 = 200, 200, 200, 200, 400
$\chi^2 = \dfrac{30^2 + 10^2 + 20^2}{200} + \dfrac{(a-200)^2}{200} + \dfrac{(200-a)^2}{400} = 7 + \dfrac{3(a-200)^2}{400}$

a가 0 → 200으로 갈 때 통계량은 감소(유의확률 증가)하고, 200 → 600으로 갈 때 통계량은 증가(유의확률 감소)한다.

• 감소하다가 증가한다는 설명은 통계량의 변화 방향을 유의확률로 그대로 옮긴 것이라 반대이다.
• 지속적으로 증가한다는 설명은 a = 200 이후 통계량이 커지는 구간을 놓쳤다.
• 지속적으로 감소한다는 설명은 a = 200 이전 통계량이 작아지는 구간을 놓쳤다.