18년 1회차

필요한 동력은 πR$\mathrm{F}_{W}$N/30 [W]이다.

동력은 힘×속도이고, 드럼에 감긴 로프의 속도는
$v=R\omega=R\dfrac{2\pi N}{60}=\dfrac{\pi RN}{30}\,\mathrm{m/s}$
$P=F_Wv=\dfrac{\pi RF_WN}{30}\,\mathrm{W}$

동력은 들어 올리는 높이 H 와 무관하다. 높이는 해야 할 일의 양과 걸리는 시간에만 영향을 준다.

• 분모가 60H 인 식: 높이 H 가 들어가 동력의 차원이 맞지 않는다.
• 분모가 120H 인 식: 마찬가지로 높이 H 로 나눈 식이라 동력이 아니다.
• 분모가 735 인 식: 1 PS ≒ 735 W 로 나눈 마력 단위 값이라 [W] 단위 답이 아니다.

옳지 않은 설명은 직렬 기통 수가 많아질수록 에너지 변동계수도 커진다는 것이다.

4행정기관에서 기통 수가 많아지면 각 기통의 폭발 행정이 고르게 겹쳐 토크 변동이 줄어들므로 에너지 변동계수는 오히려 작아진다. 따라서 기통 수가 많을수록 필요한 플라이휠도 작아진다.

• 내연기관·왕복펌프·공기압축기 사용: 주기적으로 토크가 변동하는 기계의 회전 속도를 고르게 하려고 흔히 쓴다.
• 구동토크가 클 때 운동에너지 흡수: 남는 에너지를 관성으로 저장하므로 각속도 증가가 둔화된다.
• 전단기·프레스의 작업에너지: 저장 에너지 $E=\dfrac{1}{2}J\omega^2$ 가 극관성모멘트에 비례하므로 그 크기가 꺼내 쓸 수 있는 출력을 좌우한다.

가장 왼쪽 리벳에 작용하는 전단력은 4000 N, 위쪽(↑)이다.

리벳 3개의 도심은 가운데 리벳이고, 하중 F 는 도심에서 200+200=400 mm 떨어져 있다.
직접 전단력: $\dfrac{6000}{3}=2000\,\mathrm{N}$ (하중 방향, 아래쪽)
편심 모멘트: $M=6000\times400=2.4\times10^6\,\mathrm{N\cdot mm}$ (시계 방향)

모멘트에 의한 전단력은 도심 거리에 비례하므로 바깥 리벳(r=200 mm)에서
$F_m=\dfrac{Mr}{\sum r^2}=\dfrac{2.4\times10^6\times200}{2\times200^2}=6000\,\mathrm{N}$
시계 방향 회전에서 왼쪽 리벳에는 위쪽으로 작용한다.

왼쪽 리벳은 위쪽 6000 N 과 아래쪽 2000 N 이 상쇄되어 4000 N 위쪽이 된다. 반대로 오른쪽 리벳은 두 성분이 모두 아래쪽이라 8000 N 아래쪽으로 가장 크다.

최대 전단응력설에 따른 안전계수는 2이다.

평면응력의 $\sigma_z=0$ 은 두 값 사이에 있으므로 최대·최소 주응력은 $\sigma_1=120\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3=-80\,\mathrm{MPa}$ 이다. 두 주응력의 부호가 반대이므로 최대 전단응력은 그 차의 절반이다.
$\tau_{max}=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\dfrac{120-(-80)}{2}=100\,\mathrm{MPa}$

최대 전단응력설의 한계 전단응력은 $\dfrac{\sigma_Y}{2}=\dfrac{400}{2}=200\,\mathrm{MPa}$ 이므로
$S=\dfrac{200}{100}=2$

비틀림각을 1°로 줄이려면 축지름을 √2 d로 해야 한다.

실축의 비틀림각은 $\theta=\dfrac{TL}{GI_p}=\dfrac{32TL}{G\pi d^4}$ 로 지름의 4제곱에 반비례한다.

$\dfrac{\theta_1}{\theta_2}=\left(\dfrac{d_2}{d}\right)^4=\dfrac{4}{1}$
$d_2=\sqrt[4]{4}\,d=\sqrt{2}\,d$

• $\sqrt[8]{2}\,d$: 지름을 이만큼 키우면 비틀림각은 $1/\sqrt{2}$ 배로만 줄어든다.
• $\sqrt[4]{2}\,d$: 지름을 이만큼 키우면 비틀림각은 절반(2°)으로만 줄어든다.

필요한 용접 길이는 m ≒ 95 mm, n ≒ 48 mm이다.

하중이 걸리는 중심선에서 위쪽 용접부까지 50 mm, 아래쪽 용접부까지 100 mm 이므로 모멘트 평형으로 하중을 나눈다.
$P_m=10000\times\dfrac{100}{150}\approx6667\,\mathrm{N}$, $P_n=10000\times\dfrac{50}{150}\approx3333\,\mathrm{N}$

다리길이 10 mm 인 필렛 용접의 목두께는 $a=10\cos45^\circ\approx7.07\,\mathrm{mm}$ 이고 $\tau=\dfrac{P}{al}$ 에서
$m=\dfrac{6667}{7.07\times10}\approx94.3\,\mathrm{mm}$
$n=\dfrac{3333}{7.07\times10}\approx47.1\,\mathrm{mm}$

하중선에 가까운 위쪽 용접부가 더 큰 하중을 받으므로 m 이 n 의 2배가 된다.

사용 가능한 볼트의 최소 바깥지름은 20 mm이다.

아이볼트의 축방향 인장하중은 골지름 단면이 받는다.
$P=\sigma_a\dfrac{\pi d_1^2}{4}\;\Rightarrow\;d_1=\sqrt{\dfrac{4P}{\pi\sigma_a}}$

$d_1=\sqrt{\dfrac{4\times3000}{3\times40}}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{mm}$
$d=\dfrac{d_1}{0.5}=20\,\mathrm{mm}$

골지름 10 mm 를 그대로 바깥지름으로 고르지 않도록 주의한다.

너트의 최소 높이는 5 mm이다.

나사산 접촉면압 조건으로 필요한 나사산 수 z 를 구한 뒤 피치를 곱한다.
$z=\dfrac{W}{\dfrac{\pi}{4}(d^2-d_1^2)\,q}$

$z=\dfrac{1000}{\dfrac{\pi}{4}(12^2-8^2)\times10}=\dfrac{1000}{200\pi}=\dfrac{5}{\pi}$
$H=zp=\dfrac{5}{\pi}\times\pi=5\,\mathrm{mm}$

피치가 π mm 로 주어져 π 가 약분되도록 만든 문항이다.

스프링의 유효감김수는 5이다.

스프링지수 $C=\dfrac{D}{d}=10$ 이므로 평균지름은 $D=20\,\mathrm{mm}$ 이고, 처짐의 변화는 하중 변화량 $\Delta P=70-50=20\,\mathrm{kgf}$ 에 비례한다.
$\Delta\delta=\dfrac{8n\,\Delta P\,D^3}{Gd^4}$

$n=\dfrac{\Delta\delta\,Gd^4}{8\,\Delta P\,D^3}=\dfrac{50\times8\times10^3\times2^4}{8\times20\times20^3}=5$

$\mathrm{F}_{d}$/$\mathrm{T}_{s}$ 는 ($e^{2\mu \theta}$ − 2$e^{\mu \theta}$cosθ + 1)${}^{1/2}$ 이다.

베어링 하중은 긴장측 장력 $T_t=T_se^{\mu\theta}$ 와 이완측 장력 $T_s$ 의 벡터 합이며, 접촉각이 θ 이면 두 장력 사이 각은 $\pi-\theta$ 이다.
$F_d^2=T_t^2+T_s^2+2T_tT_s\cos(\pi-\theta)=T_t^2+T_s^2-2T_tT_s\cos\theta$

$\dfrac{F_d}{T_s}=\sqrt{e^{2\mu\theta}-2e^{\mu\theta}\cos\theta+1}$
검산: θ=π 이면 두 장력이 평행해 $F_d=T_t+T_s$ 가 된다.

• 제곱근 없이 −2$e^{\mu \theta}$cosθ 인 식: $(F_d/T_s)^2$ 에 해당한다.
• 제곱근 안이 +2$e^{\mu \theta}$cosθ 인 식: θ=π 에서 $T_t-T_s$ 가 되어 평행한 두 장력의 합과 모순이다.
• 제곱근 없이 +2$e^{\mu \theta}$cosθ 인 식: 부호도 틀리고 제곱근도 빠졌다.

레버에 작용할 수 있는 최대 힘은 F = bl$\tau _{0}$d/(2L) 이다.

키의 전단은 너비 b × 길이 l 단면에서 일어나고, 이 전단력이 축 표면(반지름 d/2)에서 토크를 전달한다.
$T=\tau_0\,bl\,\dfrac{d}{2}$

레버의 토크 $FL$ 와 같게 두면
$F=\dfrac{bl\tau_0d}{2L}$

• $\dfrac{hl\tau_0d}{2L}$: 전단 단면의 너비 b 대신 높이 h 를 쓴 식이다.
• $\dfrac{\sqrt{2}\,hl\tau_0d}{L}$: 전단 단면(b×l)과 무관한 식이다.
• $\dfrac{l\tau_0}{2bdL}$: 차원이 힘이 되지 않는다.

옳지 않은 설명은 두 기어의 중심거리를 조정할 수 없다는 것이다.

헬리컬 기어의 중심거리는 $C=\dfrac{m_n(z_1+z_2)}{2\cos\beta}$ 이므로 잇수와 치직각 모듈이 같아도 비틀림각을 바꾸어 중심거리를 조정할 수 있다.

• 물림길이: 이가 잇면을 따라 비스듬히 연속 접촉하므로 물림길이가 길고 물림률이 크다.
• 비틀림각의 크기가 서로 다른 경우: 평행축 헬리컬 기어는 비틀림각의 크기가 같고 방향이 반대여야 하므로, 크기가 다르면 두 축은 평행하지 않게 된다.
• 최소 잇수: 상당 스퍼기어 잇수 $z_e=\dfrac{z}{\cos^3\beta}$ 가 실제 잇수보다 커서 언더컷 한계 잇수가 평기어보다 적으므로 잇수가 적은 기어에 쓸 수 있다.

이 결합의 최대죔새는 0.011이다.

최대죔새 = 축의 최대 치수 − 구멍의 최소 치수
$30.011-30.000=0.011$

최대틈새 = 구멍의 최대 치수 − 축의 최소 치수 $=30.025-29.995=0.030$ 이다. 틈새와 죔새가 모두 생길 수 있으므로 중간 끼워맞춤이다.

• 최대틈새 0.014: 실제 최대틈새는 0.030 이다.
• 최소틈새 0.014: 축이 구멍보다 클 수 있어 최소틈새는 생기지 않고, 그 경우가 최대죔새 0.011 이다.
• 억지 끼워맞춤: 구멍의 최대 치수가 축의 최소 치수보다 커서 틈새도 생기므로 억지 끼워맞춤이 아니다.

마찰차의 최소 너비는 b = (4.5×$10^{6}$)H/($p_{0}$μπDN) 이다.

너비 b 에 걸리는 밀어붙이는 힘은 $p_0b$, 전달 가능한 마찰력은 $\mu p_0b$ 이고, 원주속도는 $v=\dfrac{\pi DN}{60\times1000}\,\mathrm{m/s}$ 이다.

$1\,\mathrm{PS}=75\,\mathrm{kgf\cdot m/s}$ 이므로
$H=\dfrac{\mu p_0b\,v}{75}=\dfrac{\mu p_0b\,\pi DN}{75\times60000}$
$b=\dfrac{4.5\times10^6H}{p_0\mu\pi DN}$

• 계수 $4.5\times10^3$, 분자에 μ 인 식: 단위 환산도 틀리고 μ 가 클수록 너비가 커지는 꼴이다.
• 계수 $4.5\times10^6$, 분자에 μ 인 식: 마찰계수가 클수록 필요한 너비는 줄어야 하므로 μ 는 분모에 있어야 한다.
• 계수 $4.5\times10^3$, 분모에 μ 인 식: mm 를 m 로 바꾸는 1000 을 빠뜨렸다.

태양기어에 대한 캐리어의 각속도비는 1/6이다.

표준기어이므로 내접기어 잇수는 $z_r=z_s+2z_p=20+2\times40=100$ 이다.

내접기어를 고정하면 캐리어/태양기어 속도비는
$\dfrac{\omega_c}{\omega_s}=\dfrac{z_s}{z_s+z_r}=\dfrac{20}{20+100}=\dfrac{1}{6}$

유성기어 개수(3개)는 하중 분담에만 관계하고 속도비에는 영향을 주지 않는다.

차동피니언의 회전속도는 7.5 rpm이다.

링기어와 함께 도는 케이스(캐리어)의 속도는 두 측면기어 속도의 평균이다.
$N_c=\dfrac{40+50}{2}=45\,\mathrm{rpm}$

케이스에 대한 측면기어의 상대속도는 $50-45=5\,\mathrm{rpm}$ 이고, 차동피니언은 이 상대운동으로 자기 축 둘레로 자전한다.
$N_p=5\times\dfrac{36}{24}=7.5\,\mathrm{rpm}$

중심선 평균거칠기는 $\mathrm{R}_{a}$ = 4 μm이다.

$\mathrm{R}_{a}$ 는 측정 길이 l 동안 중심선으로부터 편차 절댓값의 평균이다.
$R_a=\dfrac{1}{l}\int_0^l|y|\,dx$

그림의 삼각파는 중심선에서 산·골까지 높이가 d 이고, 각 삼각형에서 |y| 가 0 에서 d 까지 직선으로 변하므로 평균은 d/2 이다.
$R_a=\dfrac{d}{2}=\dfrac{8}{2}=4\,\mu\mathrm{m}$

같은 삼각형이 반복되므로 측정 길이 l=80 μm 는 결과에 영향을 주지 않는다.

내식성·내압성·경제성이 우수하여 가스 압송관, 광산용 양수관 등에 가장 많이 쓰는 관은 주철관이다.

주철관은 녹에 강해 땅속에 묻어도 내구성이 좋고 값이 싸서 수도관·가스관·배수관·광산용 양수관 등에 널리 쓰인다.

• 강관: 인장강도와 인성이 커 고압 배관에 유리하지만 주철관보다 부식에 약하다.
• 비철금속관: 동관·황동관·알루미늄관 등으로 열교환기·급수·화학 배관에 쓰이며 값이 비싸다.
• 비금속관: 경질 염화비닐관·콘크리트관 등으로 내압성이 금속관보다 떨어진다.

강관에 생기는 축방향 압축력은 απE(T−$\mathrm{T}_{0}$)(tD−$t^{2}$)이다.

양단이 고정되어 열팽창이 구속되면 열응력 $\sigma=E\alpha(T-T_0)$ 이 생긴다. 안지름이 $D-2t$ 이므로 단면적은
$A=\dfrac{\pi}{4}\left\{D^2-(D-2t)^2\right\}=\pi(Dt-t^2)$

따라서 $P=\sigma A=\alpha\pi E(T-T_0)(tD-t^2)$ 이다.

• απE(T−$\mathrm{T}_{0}$)tD: 단면적을 $\pi Dt$ 로 근사해 $t^2$ 항이 빠진 식이다.
• απE(T−$\mathrm{T}_{0}$)t$\mathrm{D}^{2}$/4: $tD^2$ 는 넓이의 차원이 아니어서 힘이 되지 않는다.
• απE(T−$\mathrm{T}_{0}$)(Dt−2$t^{2}$)/2: 단면적 전개가 틀린 식이다.

사각나사를 조일 때의 효율은 5/18이다.

자리면 마찰을 무시한 사각나사의 효율은 리드각 λ, 마찰각 ρ 로 나타내면
$\eta=\dfrac{\tan\lambda}{\tan(\lambda+\rho)}$

$\eta=\dfrac{\tan3^\circ}{\tan10^\circ}=\dfrac{0.05}{0.18}=\dfrac{5}{18}$

분모는 리드각과 마찰각의 합(10°)의 탄젠트이며, 둘의 차(4°)는 풀 때의 회전력 계산에 쓰는 값이다.