07년 1회차

뉴턴의 운동법칙에 해당하지 않는 것은 마찰력의 발생과 방향에 관한 설명이다.

뉴턴의 운동법칙은 관성의 법칙(제1법칙), 가속도의 법칙(제2법칙), 작용·반작용의 법칙(제3법칙) 세 가지이며, 마찰력은 접촉면의 성질에 관한 쿨롱 마찰 법칙의 내용이다.

• 힘이 평형이면 정지 물체는 정지, 운동 물체는 등속 직선 운동을 한다는 설명은 관성의 법칙이다.
• 가속도가 힘에 비례하고 질량에 반비례한다는 설명은 가속도의 법칙이다.
• 작용힘과 반작용힘이 크기는 같고 방향은 반대이며 동일선상에 있다는 설명은 작용·반작용의 법칙이다.

옳지 않은 것은 힘·변위·속력·가속도가 모두 벡터량이라는 설명이다.

속력은 크기만 갖는 스칼라량이고, 방향까지 가진 벡터량은 속도이다.

• 힘의 3요소는 크기·방향·작용점이다.
• 선형 탄성영역에서는 훅의 법칙에 따라 응력과 변형률이 비례한다.
• 일반적으로 운동을 시작하게 하는 정마찰계수가 운동 중의 동마찰계수보다 크다.

옳지 않은 것은 단면 1차 모멘트가 도심축에 대해 최대라는 설명이다.

단면 1차 모멘트 $G=\int y\,dA$ 는 도심축에 대해 0이 되며, 이 성질로 도심 위치를 구한다.

• 단면 2차 모멘트 $I=\int y^2 dA$ 는 거리의 제곱을 적분하므로 항상 양의 값이다.
• 같은 면적이면 정삼각형의 도심축 2차 모멘트(약 $0.096A^2$)가 정사각형($A^2/12\approx0.083A^2$)보다 크다.
• 대칭축에 대해서는 단면 상승모멘트가 0이므로 대칭축은 항상 주축이지만, 비대칭 단면에도 주축은 존재하므로 그 역은 성립하지 않는다.

지름은 0.025 mm 감소한다.

포아송수 $m=4$ 이므로 포아송비 $\nu=\dfrac{1}{m}=0.25$ 이다.
세로 변형률 $\varepsilon=\dfrac{1.0}{150}$, 가로 변형률 $\varepsilon'=\nu\varepsilon=\dfrac{1}{600}$

$\Delta d=\varepsilon' d=\dfrac{15}{600}=0.025\,\mathrm{mm}$ 이며, 인장을 받으면 단면은 수축하므로 감소이다.

• 증가로 본 값들은 인장 시 가로 방향이 줄어드는 포아송 효과와 방향이 반대이다.
• 0.050 mm 는 포아송비를 0.5로 잘못 쓴 값이다.

정정 구조물이 되려면 내부힌지가 1개 더 필요하다.

지점은 롤러 3개(반력 3)와 힌지 1개(반력 2)로 반력 수는 5이고, 그림의 내부힌지 1개가 조건식 1개를 더하므로 $N=5-3-1=1$ 차 부정정이다.

내부힌지 1개를 추가할 때마다 조건식이 하나씩 늘어 부정정 차수가 1 줄어든다. 따라서 1개를 더 넣으면 정정이 된다.

• 필요 없다고 보면 1차 부정정 상태가 그대로 남는다.
• 2개·3개를 넣으면 불안정 구조가 된다.

하중 P는 약 115.5 kN이다.

절점 B의 평형에서 AB는 수평과 30°, BC는 수평과 60°를 이룬다.
$\Sigma F_x=0:\ T_{AB}\cos30^\circ=T_{BC}\cos60^\circ \Rightarrow T_{AB}=100\times\dfrac{0.5}{0.866}=57.7\,\mathrm{kN}$

$\Sigma F_y=0:\ P=T_{AB}\sin30^\circ+T_{BC}\sin60^\circ=28.9+86.6=115.5\,\mathrm{kN}$

• 100.0 kN 은 BC 부재력만 본 값으로, AB 부재의 연직 기여를 빠뜨렸다.
• 141.4·173.2 kN 은 절점 B의 두 평형식을 동시에 만족하지 않는다.

옳지 않은 것은 그림 (b)의 거동을 비선형 탄성이라 한 설명이다.

하중 제거 후 원래 곡선을 따라 돌아가지 않고 BC를 따라 내려와 변형률이 남는 것은 비탄성(소성) 거동이다. 비선형 탄성이라면 비선형이더라도 같은 곡선 OB를 따라 O점으로 돌아가야 한다.

• (a)에서 같은 직선 OA를 따라 되돌아가는 성질은 선형 탄성이다.
• (b)에서 남은 변형률 OC는 잔류변형률, CD는 탄성적으로 회복된 변형률이다.
• 제하 후 재하중하면 탄성 직선 CB를 따라 응력·변형률이 생긴다.

탄성계수는 100 GPa이다.

$A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3\times20^2}{4}=300\,\mathrm{mm^2}$

$E=\dfrac{PL}{A\Delta}=\dfrac{30000\times500}{300\times0.5}=100000\,\mathrm{MPa}=100\,\mathrm{GPa}$

• 50 GPa 는 단면적을 2배로 잡은 값이다.
• 150·200 GPa 는 신장량 공식 $\Delta=\dfrac{PL}{EA}$ 을 만족하지 않는다.

옳지 않은 것은 부재 수와 반력 수의 합이 절점 수의 2배보다 작으면 부정정이라는 설명이다.

평면 트러스 판별식 $m+r-2j$ 가 0보다 작으면 불안정, 0이면 정정, 0보다 크면 부정정이다.

• 평형방정식 수보다 미지력이 많은 구조물이 부정정 구조물이라는 정의는 옳다.
• 반력이 외적 안정을 확보하도록 배열·구속되지 않은 경우를 기하학적 불안정이라 한다.
• 반력 작용선이 한 점에서 만나면 그 점에 대한 회전을 막지 못하므로 교차하지 않게 배치해야 한다.

A단에 전달되는 모멘트는 B단 작용 모멘트의 0.5배이다.

타단이 고정된 균일단면 부재의 한쪽 끝에 모멘트를 가하면, 고정단으로 전달되는 모멘트의 비율인 전달률(carry-over factor)은 $\dfrac{1}{2}$ 이다.

처짐각법으로도 $M_{BA}=\dfrac{4EI}{L}\theta_B$, $M_{AB}=\dfrac{2EI}{L}\theta_B$ 이므로 $M_A/M_B=0.5$ 이다.

• 1.0·1.5·2.0배는 끝단 모멘트 비 $2EI/L:4EI/L$ 와 맞지 않는다.

부재가 축방향력만 받는 것으로 가정하는 구조형식은 트러스이다.

트러스는 부재를 마찰 없는 핀 절점으로 연결하고 하중을 절점에만 작용시킨다고 가정하므로 각 부재는 인장 또는 압축의 축력만 받는다.

• 보는 주로 휨모멘트와 전단력을 받는다.
• 라멘은 강절점으로 연결되어 휨모멘트·전단력·축력을 함께 받는다.
• 아치는 축압축이 주가 되지만 하중 형태에 따라 휨모멘트도 발생한다.

최대 휨모멘트는 4.5 kN·m이다.

전단력선도에서 A점 3 kN, 4 m 지점 −1 kN 이므로 기울기는 $-1\,\mathrm{kN/m}$ 이고, 전단력이 0인 위치는 $x=3\,\mathrm{m}$ 이다.

최대 휨모멘트는 전단력 0 위치까지의 전단력선도 면적이다.
$M_{max}=\dfrac{1}{2}\times3\times3=4.5\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 4.0 kN·m 은 4 m 지점까지의 면적(4.5−0.5)이다.
• 3.0·3.5 kN·m 은 전단력 0 위치의 휨모멘트보다 작아 최댓값이 아니다.

단순보 CD의 최대 휨모멘트는 100 kN·m이다.

보 AB(지간 2 m)의 중앙에 100 kN 이 작용하므로 A·B 반력은 각각 50 kN 이고, 이것이 CD의 C에서 2 m·4 m 위치에 하향 하중으로 전달된다.

CD(지간 6 m)는 대칭이므로 $R_C=R_D=50\,\mathrm{kN}$.
$M_{x=2}=50\times2=100\,\mathrm{kN\cdot m}$, 두 하중 사이는 전단력이 0이므로 2~4 m 구간 전체가 100 kN·m로 일정하다.

• 150 kN·m 은 100 kN 을 CD 중앙에 직접 걸었을 때의 값이다.
• 50·75 kN·m 은 2~4 m 구간의 휨모멘트보다 작아 최댓값이 아니다.

부재 A는 5 kN(압축), 부재 B는 3 kN(인장)이다.

대칭이므로 좌측 지점 반력은 $R=4\,\mathrm{kN}$ 이다. 부재 A는 수평 3 m, 연직 4 m 이므로 길이 5 m 인 경사재이다.

좌측 지점 절점에서
$\Sigma F_y=0:\ A\times\dfrac{4}{5}=4 \Rightarrow A=5\,\mathrm{kN}$ (지점 쪽으로 미는 압축)
$\Sigma F_x=0:\ B=A\times\dfrac{3}{5}=3\,\mathrm{kN}$ (인장)

• A 인장·B 압축은 지점 절점의 힘 방향과 반대이다.
• A 3·B 5 는 경사 성분 비율을 뒤바꾼 값이다.

최대 휨응력은 2 MPa이다.

$M_{max}=\dfrac{PL}{4}=\dfrac{10\times10}{4}=25\,\mathrm{kN\cdot m}$

$Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{300\times500^2}{6}=1.25\times10^7\,\mathrm{mm^3}$
$\sigma_{max}=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{25\times10^6}{1.25\times10^7}=2\,\mathrm{MPa}$

• 1 MPa 은 휨모멘트를 절반으로 잡은 값이다.
• 100·200 MPa 은 $M/Z$ 결과와 자릿수부터 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 B점에 집중하중이 작용한다는 설명이다.

집중하중이 있으면 그 점에서 전단력선도가 불연속(계단)으로 뛰어야 하는데, B점에서는 전단력이 −1 kN 으로 연속이다. 계단이 생기는 곳은 C점이다.

• AB 구간은 4 m 동안 전단력이 −5에서 −1로 일정 기울기로 변하므로 1 kN/m 의 등분포하중이 작용한다.
• CD 구간은 전단력이 일정하므로 하중이 없다.
• 양 끝 휨모멘트가 0인 단순보이므로 전단력선도의 (+) 면적과 (−) 면적이 같다.

하중점 처짐은 $\delta=\dfrac{P}{4k_1}+\dfrac{P}{4k_2}+\dfrac{PL^3}{48EI}$ 이다.

대칭 하중이므로 각 스프링 힘은 $\dfrac{P}{2}$, 스프링 변위는 $\dfrac{P}{2k_1}$, $\dfrac{P}{2k_2}$ 이다. 보가 강체처럼 내려가는 C점 변위는 두 값의 평균인 $\dfrac{P}{4k_1}+\dfrac{P}{4k_2}$ 이다.

여기에 보 자체의 휨 처짐 $\dfrac{PL^3}{48EI}$ 을 중첩한다.

• 스프링 항을 $P/k$·$P/2k$·$P/3k$ 로 둔 식은 스프링 힘과 중앙 위치 평균을 잘못 반영했다.
• 휨 처짐 분모 36EI 는 중앙 집중하중 단순보 공식과 다르다.

옳은 것은 휨 변형률이 중립축으로부터의 거리에 비례한다는 설명이다.

오일러－베르누이 가정(평면 유지)에 의해 $\varepsilon=-\dfrac{y}{\rho}$ 로 변형률이 중립축 거리 $y$ 에 선형 비례한다.

• 휨응력 $\sigma=\dfrac{M}{Z}$ 은 단면계수에 반비례한다.
• 직사각형 단면의 전단응력은 상·하 끝단에서 0이고 중립축에서 최대이다.
• I형 단면의 플랜지에는 수평 방향 전단흐름이 생기므로 모든 전단응력이 수직방향인 것은 아니다.

최대처짐각은 $\dfrac{\omega L^3}{24EI}$, 최대처짐량은 $\dfrac{5\omega L^4}{384EI}$ 이다.

등분포하중 단순보의 처짐각은 지점에서 최대이며 $\theta_A=\dfrac{\omega L^3}{24EI}$ 이다.

처짐은 지간 중앙에서 최대이며 $\delta_{max}=\dfrac{5\omega L^4}{384EI}$ 이다.

• 처짐각 $\omega L^3/12EI$ 는 실제 값의 2배이다.
• 처짐 $\omega L^4/30EI$ 는 등분포하중 단순보 공식이 아니다.

옳지 않은 것은 양단 고정 장주의 유효길이계수가 0.7이라는 설명이다.

이론적 유효길이계수는 양단 고정 0.5, 일단 고정·타단 힌지 0.7, 양단 힌지 1.0, 일단 고정·타단 자유 2.0이다.

• 기둥은 세장비에 따라 단주·중간주·장주로 구분한다.
• 편심하중이 단면의 핵 안에 작용하면 단면 전체가 압축이 되어 인장응력이 생기지 않는다.
• 세장비 $\lambda=\dfrac{KL}{r}$, $r=\sqrt{I/A}$ 이므로 단면적·단면 2차 모멘트·길이로 계산된다.