09년 1회차

회전체의 체적은 75π $\mathrm{cm}^{3}$이다.

파푸스 정리에 따라 체적 = 단면적 × 도심이 그리는 원둘레이다. x축은 단면 밑변이므로 도심 거리는 $b/2=2.5\,\mathrm{cm}$ 이다.

$V=A\cdot2\pi\bar y=(3\times5)\times2\pi\times2.5=75\pi\,\mathrm{cm^3}$ (반지름 5, 높이 3 인 원기둥 $\pi\times5^2\times3$ 과 같다)

• 60π·90π 는 파푸스 정리를 만족하지 않는다.
• 150π 는 도심 거리 대신 높이 전체(5 cm)를 쓴 값이다.

잔류변형률은 0.002이다.

전체 변형률 $\varepsilon=\dfrac{2}{400}=0.005$ 이다. 완전 탄소성으로 보면 항복응력 6 MPa, 탄성 기울기 2,000 MPa 이다.

하중을 제거하면 탄성 기울기로 회복하므로 회복 변형률은 $\dfrac{6}{2000}=0.003$ 이다.
$\varepsilon_{res}=0.005-0.003=0.002$

• 0.003 은 잔류분이 아니라 하중 제거 시 회복되는 탄성변형률이다.

내부힌지 C에서 보를 끊어 풀면 $R_B=\dfrac{3P}{2}$, $M_B=PL$이며, 휨모멘트 $PL$이 일치하는 조합이 답이다(보기의 $R_B$ 표기 3P는 $\dfrac{3P}{2}$에서 분모가 빠진 것으로 보인다).

AC 구간(단순보): 길이 $L$의 중앙에 $P$가 작용하므로 대칭으로
$R_A=V_C=\dfrac{P}{2}$

CB 구간(캔틸레버): 힌지 반력 $\dfrac{P}{2}$가 C점에 하향으로 전달되고, B에서 $\dfrac{L}{2}$ 떨어진 곳에 $P$가 작용한다.
$\Sigma F_y=0:\ R_B=\dfrac{P}{2}+P=\dfrac{3P}{2}$
$\Sigma M_B=0:\ M_B=\dfrac{P}{2}\cdot L+P\cdot\dfrac{L}{2}=PL$

• $P,\ \dfrac{PL}{2}$: 힌지에서 전달되는 하중을 빼먹은 값으로 반력·모멘트 모두 작다.
• $\dfrac{5P}{3},\ \dfrac{7PL}{6}$: 반력과 모멘트 모두 계산값과 맞지 않는다.
• $\dfrac{7P}{4},\ \dfrac{5PL}{4}$: 반력과 모멘트 모두 계산값보다 크다.

H의 최대값은 2 kN이다.

롤러에 대한 모멘트 평형으로 힌지 반력을 구하면 $R_{hinge}\times4=200\times2 \Rightarrow R_{hinge}=100\,\mathrm{kN}$ 이고, 내민 끝 하중 때문에 보가 블록을 위로 들어 올리는 방향이다.

블록 무게 $W=11000\times10=110\,\mathrm{kN}$ 이므로 바닥 수직력 $N=110-100=10\,\mathrm{kN}$.
수평력은 힌지(블록)만 받으므로 $H_{max}=\mu N=0.2\times10=2\,\mathrm{kN}$

• 5·20·44 kN 은 모두 마찰 저항 한계 2 kN 을 넘으므로 블록이 미끄러진다.

C점의 최대 전단력은 9.4 kN이다.

C점 전단력 영향선은 C 오른쪽에서 $\dfrac{10-x}{10}$(C 바로 오른쪽 0.7), 왼쪽에서 $-\dfrac{x}{10}$ 이다. 선두 하중 5 kN 을 C 바로 오른쪽에 두면 하중군 전체가 양(+)의 구간에 놓인다.

$V_C=5\times0.7+10\times0.5+2\times\dfrac{1}{2}\times3\times0.3=3.5+5+0.9=9.4\,\mathrm{kN}$
10 kN 을 C에 두면 5 kN 이 음의 구간으로 들어가 $7-0.5+2.5=9.0$ 으로 더 작다.

• 9.0 kN 은 10 kN 을 C점에 둔 재하 위치의 값으로 최대가 아니다.

옳지 않은 것은 C점 주응력이 중립축과 45° 면에 발생한다는 설명이다.

두 하중 사이 구간은 전단력이 0인 순수 휨 구간이다. 그 중립축 위 C점은 휨응력도 0, 전단응력도 0이어서 응력이 없으므로 주응력 방향을 말할 수 없다.

• A·B점은 휨모멘트가 PL 로 같은 상연이고 상연의 전단응력은 0이어서 주응력이 같다.
• D점은 하중 바깥 구간의 중립축으로 순수 전단 상태이므로 주응력 크기가 최대 전단응력과 같다.
• E점은 하연이므로 휨에 의한 인장 주응력이 생긴다.

옳지 않은 것은 좌굴 후 평면이 중립축에 직각을 유지하지 않는다는 설명이다.

오일러 좌굴이론은 보 이론의 평면유지 가정을 그대로 써서, 좌굴 전 중립축에 직각인 평면은 좌굴 후에도 평면이며 중립축에 직각을 유지한다고 본다.

• 재료가 균질하고 훅의 법칙을 따른다는 것은 기본 가정이다.
• 처짐이 작아 곡률을 $d^2v/dx^2$ 로 근사하는 것도 기본 가정이다.
• 기둥이 초기결함·잔류응력 없는 완전한 직선이라는 것도 기본 가정이다.

AB부재력이 0이 아닌 것은 A가 상현 우측 절점, B가 하현 중간 절점이고 하중이 내민 하현 끝에 걸린 트러스이다.

하중점 절점에서 하현재는 수평이므로 경사재(A와 하중점 연결)가 P의 연직성분을 받는다. 절점 A에는 수평 상현재와 이 경사재, 수직재 AB만 모이므로 경사재의 연직성분을 AB가 받아야 해서 0이 아니다.

• 단순 지지 트러스에서 B가 하현 중앙 절점인 경우: B에는 일직선 하현재 2개와 AB만 있고 하중이 없어 AB는 0부재이다.
• 경사 상현의 A와 롤러 B를 잇는 경우: A 아래 수직재가 0부재가 되고, A에서 AB만 일직선 상현에서 벗어나므로 AB도 0부재이다.
• A가 핀, B가 롤러인 좌측 수직재: 롤러 B는 수평반력만 주고 B에 연직 방향 부재가 AB 하나뿐이어서 0부재이다.

B점의 압축응력은 1 kPa이다.

단면 2 m × 2 m 의 중심에서 A점은 B 반대쪽(왼쪽)으로 $e_x=0.6\,\mathrm{m}$, B 쪽(위쪽)으로 $e_y=0.4\,\mathrm{m}$ 편심이다. 직사각형 단면에서 $\sigma=\dfrac{P}{A}\left(1\pm\dfrac{6e_x}{b}\pm\dfrac{6e_y}{h}\right)$.

B점은 $e_x$ 에 대해 인장측, $e_y$ 에 대해 압축측이므로
$\sigma_B=\dfrac{10}{4}\left(1-\dfrac{6\times0.6}{2}+\dfrac{6\times0.4}{2}\right)=2.5\times0.4=1\,\mathrm{kPa}$ (압축)

• 4 kPa 은 두 편심 항의 부호를 반대로 넣은 값 $2.5(1+1.8-1.2)$ 이다.

두 봉에서 값이 같은 것은 단면력이다.

정정 봉의 축방향 단면력(축력)은 평형조건만으로 $N=P$ 로 정해지므로 단면적과 무관하다.

• 응력 $\sigma=P/A$ 는 단면적이 작은 봉이 크다.
• 변형률 $\varepsilon=\sigma/E$ 도 단면적에 반비례한다.
• 신장량 $\delta=PL/EA$ 도 단면적에 반비례한다.

필요한 하중은 20 kN(인장)이다.

온도 하강으로 봉이 수축하므로 이를 되돌리려면 인장력을 가해야 한다. 필요한 응력은 열변형률을 상쇄하는 값이다.
$\sigma=E\alpha\Delta T=200000\times1.0\times10^{-5}\times100=200\,\mathrm{MPa}$

$P=\sigma A=200\times(10\times10)=20000\,\mathrm{N}=20\,\mathrm{kN}$ (길이와는 무관)

• 압축으로 본 것은 수축을 더 키우는 방향이다.
• 200 N 은 단면적 $100\,\mathrm{mm^2}$ 를 제대로 곱하지 않은 값으로, 필요한 하중은 kN 단위이다.

수평 변위는 $d=\dfrac{hV}{abG}$ 이다.

전단력이 윗면 면적 $ab$ 에 고르게 전달되므로 $\tau=\dfrac{V}{ab}$, 전단 변형률은 $\gamma=\dfrac{\tau}{G}=\dfrac{V}{abG}$ 이다.

변형이 작으므로 $d=h\tan\gamma\approx h\gamma=\dfrac{hV}{abG}$ 로 높이에 비례하고 전단탄성계수에 반비례한다.

• $GV/abh$ 는 강성이 클수록 변위가 커지는 모순이다.
• $abV/Gh$·$V/abhG$ 는 면적과 높이의 역할을 잘못 놓았다.

P = 1,000 N, 최대 전단응력은 50 Pa이다.

경사면 ab는 축과 30°를 이루므로 면의 법선은 축과 60°이다.
$\sigma_n=\sigma\cos^2 60^\circ=\dfrac{\sigma}{4}=25 \Rightarrow \sigma=100\,\mathrm{Pa}$

$P=\sigma A=100\times10=1000\,\mathrm{N}$, 일축 인장의 최대 전단응력 $\tau_{max}=\dfrac{\sigma}{2}=50\,\mathrm{Pa}$

• $25\sqrt3$ 은 경사면 ab의 전단응력 $\sigma\sin60^\circ\cos60^\circ=25\sqrt3\approx43.3$ 으로, 최대 전단응력이 아니다.

옳지 않은 것은 레질리언스를 소성구간 에너지 흡수 능력으로 본 설명이다.

레질리언스는 탄성 범위에서 흡수할 수 있는 변형에너지로 직선 OA 아래 면적에 해당한다. 파단까지 곡선 전체 아래 면적은 인성(toughness)이다.

• 직선 OA의 기울기는 탄성계수이고 A점 응력은 비례한도이다.
• 단면 수축을 반영한 OABCE′가 진응력-변형률 곡선, 처음 단면적 기준의 OABCDE가 공학적 응력-변형률 곡선이다.
• D점은 극한응력으로 인장강도를 나타낸다.

이 구조물은 2차 부정정이다.

판별식 $N=r+m+S-2K$ 를 쓴다. 반력 $r=3+2+1=6$, 부재 $m=6$, 절점 $K=6$ 이고, 강절점 수 $S$ 는 수직재·좌우 수평재가 만나는 T자 절점에서 2이다(두 원형 절점은 모두 힌지).

$N=6+6+2-2\times6=2$ 이므로 2차 부정정이다.

AB 부재력은 100 kN(압축), 최소 단면2차모멘트는 $\dfrac{1000}{\pi^2}\,\mathrm{cm^4}$ 이다.

AB는 수평 4 m, 연직 3 m 로 길이 5 m 이다. 절점 A에는 수평 상현재와 AB만 있으므로 연직 평형에서
$F_{AB}\times\dfrac{3}{5}=60 \Rightarrow F_{AB}=100\,\mathrm{kN}$ (압축)

양단 힌지 오일러 좌굴 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{L^2}\ge100\,\mathrm{kN}$ 에서
$I=\dfrac{100\times10^3\times5^2}{\pi^2\times250\times10^9}=\dfrac{10^{-5}}{\pi^2}\,\mathrm{m^4}=\dfrac{1000}{\pi^2}\,\mathrm{cm^4}$

• 80 kN 은 AB 부재력의 수평성분 $100\times\dfrac{4}{5}$(상현재 부재력)이다.
• $250/\pi^2$ 는 필요한 값의 1/4 로, 좌굴하중이 100 kN 에 못 미친다.

최대 전단응력은 $\dfrac{320}{\pi}\,\mathrm{MPa}$, 비틀림각은 $\dfrac{0.8}{\pi}\,\mathrm{rad}$ 이다.

비틀림 전단응력 $\tau_{max}=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16\times20\times10^6}{\pi\times100^3}=\dfrac{320}{\pi}\,\mathrm{MPa}$

$J=\dfrac{\pi d^4}{32}=\dfrac{\pi\times10^8}{32}\,\mathrm{mm^4}$
$\phi=\dfrac{TL}{GJ}=\dfrac{20\times10^6\times10^4\times32}{80000\times\pi\times10^8}=\dfrac{0.8}{\pi}\,\mathrm{rad}$

• $0.4/\pi$ 는 극관성모멘트를 2배로 잡은 값이다.

휨응력은 1,920 MPa, 최대 전단응력은 18 MPa이다.

반력 $R=\dfrac{20\times12}{2}=120\,\mathrm{kN}$, 지점에서 4 m 지점 모멘트
$M=120\times4-\dfrac{20\times4^2}{2}=320\,\mathrm{kN\cdot m}$

$Z=\dfrac{100\times100^2}{6}=166667\,\mathrm{mm^3}$, $f=\dfrac{320\times10^6}{166667}=1920\,\mathrm{MPa}$
최대 전단력은 지점의 120 kN 이므로 $\tau=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}=1.5\times\dfrac{120000}{10000}=18\,\mathrm{MPa}$

• 1,900 MPa 는 휨모멘트 계산 값이 맞지 않는다.
• 6 MPa 는 4 m 지점의 전단력 40 kN 으로 계산한 값으로, 최대 전단력은 지점에서 생긴다.

최대 정모멘트는 점 A에서 4 m 위치에서 생긴다.

C점에 대한 모멘트 평형
$R_A\times10=8\times6-2\times4=40 \Rightarrow R_A=4\,\mathrm{kN}$

등분포 구간에서 $V(x)=4-x=0 \Rightarrow x=4\,\mathrm{m}$, 이때 $M=4\times4-\dfrac{4^2}{2}=8\,\mathrm{kN\cdot m}$ 로 최대 정모멘트이다.

• 점 C는 내민 끝 하중으로 부모멘트(−8 kN·m)가 생기는 곳이다.
• A에서 3.5 m·C에서 5 m 는 전단력 0 위치가 아니다.

옳지 않은 것은 소성영역 길이가 2L/3이라는 설명이다.

직사각형 단면은 $M_y/M_p=2/3$ 이다. 중앙 집중하중 단순보의 모멘트는 선형이므로 중앙이 $M_p$ 일 때 $M\ge\dfrac{2}{3}M_p$ 인 구간은 중앙 좌우 $L/6$ 씩, 소성영역 길이는 $L/3$ 이다.

• 최대·최소 회전반경 $h/\sqrt{12}$, $b/\sqrt{12}$ 의 곱은 $bh/12$ 로 옳다.
• 이중 대칭 단면이므로 도심과 전단중심이 같고, 탄성·소성 중립축이 모두 h/2 위치이다.
• h > b 이므로 단면 2차 모멘트가 작은 세로축이 좌굴축이 된다.