11년 1회차

옳지 않은 것은 극관성모멘트가 음의 값을 가질 수 있다는 설명이다.

극관성모멘트 $I_p=\int r^2 dA$ 는 거리의 제곱을 적분하므로 단면 형태와 관계없이 항상 양이다. 음의 값이 가능한 것은 단면 상승모멘트이다.

• 균질한 물체는 밀도가 일정하므로 도심과 질량중심이 일치한다.
• 평형방정식은 힘과 모멘트의 균형만 다루므로 재료의 성질과 무관하게 적용된다.
• 우력모멘트는 물체를 회전시키므로 회전각에 대해 $W=M\theta$ 의 일을 한다.

거리 x는 약 2.3 m이다.

두 반력이 같으려면 하중 합력 6 kN 이 지간 중앙(A에서 5 m)에 있어야 한다.

2 kN 위치를 기준으로 합력 위치는 $\dfrac{4\times4}{6}=2.67\,\mathrm{m}$ 이므로
$x+2.67=5 \Rightarrow x\approx2.33\,\mathrm{m}$ (바리뇽 정리)

• 3.0 m 은 합력 위치를 두 하중 중간(2 m)으로 잡은 값이다.
• 2.0·3.3 m 은 합력의 위치 계산이 맞지 않는다.

보 AB의 최대 휨모멘트는 10 kN·m이다.

위쪽 보(C~B 위, 지간 4 m)의 중앙에 10 kN 이 작용하므로 양 끝 반력은 5 kN 씩이다. 오른쪽 끝은 지점 B 바로 위에 놓여 지점으로 바로 전달되고, C점 5 kN만 보 AB에 간접하중으로 작용한다.

AB(지간 8 m)의 A에서 4 m 지점, 즉 중앙에 5 kN 이 작용하므로
$M_{max}=\dfrac{5\times8}{4}=10\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 20 kN·m 은 10 kN 전체가 C점에 전달된다고 본 값이다.
• 30·40 kN·m 은 하중 위치나 전달력을 잘못 잡은 값이다.

B점 연직 처짐은 0.026 m이다.

대칭이므로 각 스프링 힘은 $\dfrac{1\times2}{2}=1\,\mathrm{kN}$, 스프링 변위 $\dfrac{1}{100}=0.010\,\mathrm{m}$ 로 보 전체가 강체처럼 내려간다.

보 자체의 중앙 처짐($EI=\frac{5}{384}\times10^3$)
$\dfrac{5qL^4}{384EI}=\dfrac{5\times1\times2^4}{384\times\frac{5}{384}\times10^3}=0.016\,\mathrm{m}$
중첩하면 $0.010+0.016=0.026\,\mathrm{m}$

• 0.010 m 은 스프링 변위만 본 값이다.
• 0.018·0.022 m 은 보 처짐 계산이 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 T형 단면의 전단중심을 플랜지 바깥에 표시한 그림이다.

얇은 판 두 개가 한 점에서 만나는 단면(T형·ㄱ형)은 각 판의 전단흐름 합력이 모두 그 교점을 지나므로 전단중심은 두 판의 교점(T형은 플랜지와 웨브 중심선의 교차점)이다.

• ㄱ형(앵글) 단면의 전단중심이 두 다리의 교차점(모서리)에 있는 것은 옳다.
• 플랜지 크기가 다른 I형 단면의 전단중심이 큰 플랜지 쪽 웨브 위에 있는 것은 옳다.
• ㄷ형(채널) 단면의 전단중심이 웨브 바깥쪽에 있는 것은 옳다.

최대 휨응력은 8 MPa이다.

하단 고정의 캔틸레버로 보고, 폭 b당 수압은 수면 0에서 바닥 $\gamma h=20\,\mathrm{kN/m^2}$ 까지 삼각형으로 분포한다. 고정단 모멘트
$M=\dfrac{1}{2}\gamma h^2\cdot\dfrac{h}{3}\,b=\dfrac{10\times2^3}{6}b=\dfrac{40}{3}b\,\mathrm{kN\cdot m}$

$Z=\dfrac{b t^2}{6}=\dfrac{b\times0.1^2}{6}$ 이므로 폭 b는 약분되어
$\sigma=\dfrac{40/3}{0.01/6}=8000\,\mathrm{kPa}=8\,\mathrm{MPa}$ (고정단에서 최대)

• 12 MPa 은 수압 합력의 작용점을 높이 중앙(고정단에서 1 m)으로 잡은 값이다.
• 6·10 MPa 은 위 식과 맞지 않는다.

좌굴임계하중은 $\dfrac{9}{16}kL$ 이다.

강체 기둥이 힌지 A를 중심으로 미소각 $\theta$ 기울면 C점 수평변위 $L\theta$, B점 스프링 변위 $\dfrac{3}{4}L\theta$ 이다.

A점 모멘트 평형 $P\cdot L\theta=k\cdot\dfrac{3}{4}L\theta\cdot\dfrac{3}{4}L \Rightarrow P_{cr}=\dfrac{9}{16}kL$ (스프링 복원모멘트 = 전도모멘트)

• $\frac34kL$ 은 스프링 변위와 팔 길이 중 한쪽에만 $\frac34L$ 을 반영한 값이다.
• $kL$ 은 스프링이 꼭대기 C점에 붙어 있다고 본 값이다.

D점 휨모멘트는 약 29.6 kN·m이다.

지반반력 합력은 $148+200=348\,\mathrm{kN}$. A점 모멘트 평형(시계방향 모멘트하중 176 포함)으로 합력 위치 $348\bar x=148\times2+200\times10+176=2472 \Rightarrow \bar x=7.10\,\mathrm{m}$.

사다리꼴 분포에서 $q_A+q_B=58$, $\bar x=\dfrac{4(q_A+2q_B)}{58}$ 이므로 $q_A=13$, $q_B=45\,\mathrm{kN/m}$.
D(2 m)에서 $q_D=13+\dfrac{32}{12}\times2=18.33$, $M_D=13\times2\times1+\dfrac{1}{2}\times2\times5.33\times\dfrac{2}{3}\approx29.6\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 모멘트하중 176 kN·m 을 빠뜨리면 $q_A\approx20.3$ 이 되어 D점 모멘트가 약 42.6 kN·m 으로 어느 값과도 맞지 않는다.
• 28.0·31.5·33.2 kN·m 은 지반반력 분포를 잘못 잡은 값이다.

사재가 압축만 받는 것은 사재가 양 끝 하부에서 하중점 쪽 상부로 올라가는 형식(하우 트러스)이다.

중앙 하중을 받는 단순 트러스는 왼쪽 반이 양(+), 오른쪽 반이 음(−)의 전단력을 받는다. 단면법으로 보면 사재가 지점 쪽 하현에서 중앙 쪽 상현으로 오르는 방향이면 전단력을 받기 위해 압축이 된다.

• 사재가 지점 쪽 상현에서 중앙 쪽 하현으로 내려가는 형식(프랫)은 사재가 모두 인장이다.
• 사재가 한 방향으로만 기울어진 두 형식은 좌우 반에서 전단력 부호가 바뀌므로 한쪽 반의 사재가 인장이 된다.

온도 상승량은 $\Delta T=\dfrac{4\pi^2I}{A\alpha L^2}$ 이다.

양단 고정이면 열팽창이 완전히 구속되어 축력 $N=EA\alpha\Delta T$ 가 생긴다.

양단 고정 기둥의 오일러 좌굴하중($K=0.5$) $P_{cr}=\dfrac{4\pi^2EI}{L^2}$ 과 같게 두면
$EA\alpha\Delta T=\dfrac{4\pi^2EI}{L^2} \Rightarrow \Delta T=\dfrac{4\pi^2I}{A\alpha L^2}$ (E는 약분)

• 계수 1은 양단 힌지 좌굴하중을 쓴 값이다.
• 계수 2는 일단고정·타단힌지($K\approx0.7$) 좌굴하중에 가까운 값으로 양단 고정 조건과 맞지 않는다.

이 구조물은 안정, 1차 부정정이다.

그림에서 원이 절점 중심에 놓인 위쪽 두 모서리는 보와 기둥을 잇는 힌지이고, 기둥 중간과 보 중앙의 원은 끊기지 않은 기둥·보 옆에 붙어 경사재만 핀으로 연결한다. 판별식 $N=r+m+S-2K$ 에서 하단 힌지지점 2개로 $r=4$, 부재 $m=8$(기둥 4토막, 보 2토막, 경사재 2), 절점 $K=7$, 강절점 $S=3$(두 기둥 중간과 보 중앙에서 연속 부재 각 1)이다.

$N=4+8+3-14=1$ 로 1차 부정정이다. 경사재·기둥 윗부분·보 반쪽이 핀 삼각형을 이루어 모서리 힌지의 회전을 막으므로, 하단 힌지의 문형 라멘처럼 수평 이동에도 안정하다.

B를 힌지로 바꾸면 A지점 모멘트와 최대 모멘트가 모두 증가한다.

양단고정보(중앙 집중하중)는 $M_A=M_B=\dfrac{PL}{8}$, 중앙 $\dfrac{PL}{8}$ 로 최대값이 $\dfrac{PL}{8}=0.125PL$ 이다.

일단고정·타단힌지보는 $M_A=\dfrac{3PL}{16}=0.1875PL$, 중앙 $\dfrac{5PL}{32}$ 이므로 최대 모멘트는 고정단 A의 3PL/16으로 커진다.

• A지점 모멘트가 감소한다는 설명은 B의 구속이 풀리며 A가 더 많은 모멘트를 분담하는 점과 반대이다.
• 최대 모멘트가 감소한다는 설명은 0.125PL → 0.1875PL 증가와 반대이다.

점 d의 수평변위는 $\dfrac{2PL}{EA}$ 이다.

자유단 d부터 구간별 축력을 구한다(인장 +).
cd: $2P$, bc: $2P-3P=-P$, ab: $-P+2P=P$

$\delta_d=\dfrac{P\cdot L}{E(2A)}+\dfrac{(-P)L}{E(2A)}+\dfrac{2P\cdot L}{EA}=\dfrac{2PL}{EA}$ (구간별 신장량의 합, 오른쪽 방향)

• 0 은 ab 구간 신장과 bc 구간 수축이 상쇄되는 것만 보고 cd 구간 신장을 빠뜨린 값이다.
• $3PL/EA$ 는 bc 구간 축력을 인장 $P$ 로 부호를 잘못 잡은 값이다.

해당 정리는 Castigliano의 제2정리이다.

선형 탄성체에서 변형에너지 $U$ 를 하중 $P_i$ 로 편미분하면 그 하중점의 하중 방향 변위가 된다: $\delta_i=\dfrac{\partial U}{\partial P_i}$. 모멘트로 미분하면 처짐각이 된다.

• Maxwell 상반정리는 두 점 사이의 단위하중 처짐이 서로 같다는 정리이다.
• Mohr의 모멘트-면적정리는 M/EI 선도의 면적·1차모멘트로 처짐각과 처짐을 구한다.
• Betti의 정리는 두 하중계가 서로의 변위에 대해 하는 일이 같다는 정리이다.

반력의 크기는 (a) > (b) > (c) 순이다.

양단 고정봉의 온도 반력은 자유 팽창 $\alpha\Delta TL$ 을 되돌리는 힘으로
$R=\dfrac{EA}{L}\alpha\Delta TL=EA\alpha\Delta T$ 이다.

길이와 무관하고 단면적에 비례하므로 2A, A, A/2 순으로 (a) > (b) > (c) 이다.

• 모두 같다고 본 것은 응력($E\alpha\Delta T$)과 반력을 혼동했다.
• (a) < (b) < (c) 는 길이에 비례한다고 본 오해이다.

C점 연직 처짐은 $\dfrac{PL^3}{9EI}$ 이다.

C점에서 단순보에 전달되는 힘을 F라 하면 캔틸레버는 $P-F$ 를 받는다. 두 보의 C점 처짐이 같아야 한다(변위 적합).
$\dfrac{F(2L)^3}{48EI}=\dfrac{(P-F)L^3}{3EI} \Rightarrow \dfrac{F}{6}=\dfrac{P-F}{3} \Rightarrow F=\dfrac{2P}{3}$

$\delta_C=\dfrac{(2P/3)L^3}{6EI}=\dfrac{PL^3}{9EI}$. 두 보의 강성 $6EI/L^3$, $3EI/L^3$ 이 병렬로 더해진 $9EI/L^3$ 으로 보아도 같다.

지점 C 반력 영향선은 A에서 0, 힌지 E에서 음(−), B에서 0, C에서 1, 힌지 F에서 1보다 큰 최대값, D에서 0인 형상이다.

E~F 구간(지점 B, C)이 내민보 형태의 주(主)보이고, AE와 FD는 힌지에 얹힌 매달린 보이다. 주보에서 $R_C$ 영향선은 B에서 0, C에서 1인 직선이 양쪽 내민 끝까지 연장되므로 E에서 음, F에서 1보다 크다.

매달린 보 위에서는 영향선이 지점(A, D)의 0과 힌지 종거를 잇는 직선이 된다.

• 최대 종거가 C점에 있는 형상은 F까지의 연장을 무시했다.
• E점 종거가 양(+)인 형상은 B 왼쪽 연장선의 부호를 반대로 그렸다.

단면계수가 최대가 되는 비는 b : h = 1 : 2이다.

둘레가 일정하면 $b+h=s$ (일정)이다. 직사각형 단면계수 $Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{(s-h)h^2}{6}$ 를 h로 미분해 0으로 두면
$2sh-3h^2=0 \Rightarrow h=\dfrac{2s}{3},\ b=\dfrac{s}{3}$

따라서 $b:h=1:2$ 로, 높이가 폭의 2배일 때 최대이다.

• 1 : 1(정사각형)은 같은 둘레에서 면적은 최대이지만 단면계수는 최대가 아니다.
• 2 : 3·1 : 3 은 극값 조건을 만족하지 않는다.

휨응력은 $\sigma=\dfrac{3PL}{bh^2}$, 전단응력은 $\tau=\dfrac{9P}{8bh}$ 이다.

고정단 모멘트 $M=PL$, 점 A는 중립축에서 $y=\dfrac{h}{4}$ 이므로
$\sigma=\dfrac{My}{I}=\dfrac{PL\cdot h/4}{bh^3/12}=\dfrac{3PL}{bh^2}$

A 위쪽 면적의 1차모멘트 $Q=b\cdot\dfrac{h}{4}\cdot\dfrac{3h}{8}=\dfrac{3bh^2}{32}$
$\tau=\dfrac{VQ}{Ib}=\dfrac{P\cdot3bh^2/32}{(bh^3/12)b}=\dfrac{9P}{8bh}$

• $6PL/bh^2$ 는 상연(최대) 휨응력이다.
• $P/bh$ 는 평균 전단응력으로, 위치에 따른 전단응력 분포를 무시했다.

절점 c의 연직 처짐은 $\dfrac{P}{k(2\sin^2\theta+1)}$ 이다.

축부재 하나의 축강성은 $EA/L=k$ 이고, 연직변위 $\delta$ 에 대한 부재 신축은 $\delta\sin\theta$, 축력의 연직성분은 $k\delta\sin\theta\cdot\sin\theta$ 이므로 연직강성은 $k\sin^2\theta$ 이다.

두 축부재와 스프링이 병렬로 저항하므로 전체 강성 $2k\sin^2\theta+k$,
$\delta=\dfrac{P}{k(2\sin^2\theta+1)}$

• $\sin^3\theta$ 를 쓴 식은 방향 변환을 한 번 더 곱한 것이다.
• 분모에 2k를 둔 식은 스프링 강성 항을 잘못 묶었다.