12년 1회차

A점 휨모멘트의 크기는 $5\sqrt2\,\mathrm{kN\cdot m}$이다.

2 kN 은 45° 경사 부재의 축선 방향으로 작용하므로 그 작용선은 보 끝(A에서 5 m)을 지난다. 힘을 작용선 위의 그 점으로 옮겨 성분으로 나누면 수평 $\sqrt2$, 연직 $\sqrt2\,\mathrm{kN}$ 이다.

수평성분은 A를 지나는 보 축선 위에 있어 모멘트가 없으므로
$M_A=\sqrt2\times5=5\sqrt2\,\mathrm{kN\cdot m}$ (힘의 이동성)

• $3\sqrt2$ 는 연직성분이 3 m 위치에 작용한다고 본 값이다.
• $\sqrt2$·$2\sqrt2$ 는 모멘트 팔을 잘못 잡은 값이다.

D점 휨모멘트의 크기는 13/2 kN·m이다.

A점의 4 kN·m 는 반시계방향이다. B점 모멘트 평형(반시계 +)
$-4R_A+4-9\times1=0 \Rightarrow R_A=-\dfrac{5}{4}\,\mathrm{kN}$ (하향)

D점을 왼쪽에서 보면 반시계방향 단모멘트는 부모멘트 −4 를 준다.
$M_D=-4+\left(-\dfrac{5}{4}\right)\times2=-\dfrac{13}{2}\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 13/4·13/3 은 모멘트 팔 또는 반력을 잘못 잡은 값이다.
• 3/2 는 단모멘트 또는 반력의 부호를 잘못 적용한 값이다.

처짐은 원래 값의 2.0배가 된다.

등분포하중 단순보 중앙 처짐 $\delta=\dfrac{5wL^4}{384EI}$ 이고, 직사각형 단면 $I=\dfrac{bh^3}{12}$ 이다.

지간 2배 → $2^4=16$ 배, 높이 2배 → $I$ 가 $2^3=8$ 배이므로 $\dfrac{16}{8}=2$ 배이다($L^{4}$ 비례, $h^{3}$ 반비례).

• 1.0배는 지간과 높이의 효과가 상쇄된다고 본 오해이다.
• 0.5·1.5배는 지수 관계를 잘못 적용한 값이다.

좌굴에 가장 취약한 기둥은 일단 고정·타단 힌지, 길이 3L/2인 기둥이다.

좌굴하중은 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$ 이므로 유효길이 KL이 가장 긴 기둥이 가장 약하다.

• 고정·힌지, 길이 3L/2: $0.7\times1.5L=1.05L$ 로 가장 길다.
• 고정·자유, 길이 L/2: $2\times0.5L=L$
• 양단 힌지, 길이 L: $1.0L$
• 양단 고정, 길이 L: $0.5L$

가장 큰 것은 오른쪽 끝 세로축 $Y_b$에 대한 단면2차모멘트이다.

폭 20 cm, 높이 10 cm 단면에서 각 축 값은 다음과 같다(평행축 정리).

• $I_{X_c}=\dfrac{20\times10^3}{12}=1667\,\mathrm{cm^4}$
• $I_{X_b}=\dfrac{20\times10^3}{3}=6667\,\mathrm{cm^4}$
• $I_{Y_c}=\dfrac{10\times20^3}{12}=6667\,\mathrm{cm^4}$
• $I_{Y_b}=\dfrac{10\times20^3}{3}=26667\,\mathrm{cm^4}$ 로 최대

도심의 y좌표는 $\dfrac{14R}{9\pi}$ 이다.

반원의 도심 $\bar y=\dfrac{4r}{3\pi}$ 를 이용해 큰 반원에서 작은 반원을 뺀다(단면 1차모멘트의 합성).
$\bar y=\dfrac{\frac{\pi R^2}{2}\cdot\frac{4R}{3\pi}-\frac{\pi R^2}{8}\cdot\frac{2R}{3\pi}}{\frac{\pi R^2}{2}-\frac{\pi R^2}{8}}=\dfrac{\frac{2R^3}{3}-\frac{R^3}{12}}{\frac{3\pi R^2}{8}}$

$=\dfrac{7R^3/12}{3\pi R^2/8}=\dfrac{14R}{9\pi}$

반력의 비 $R_A:R_B$ 는 7 : 5이다.

사다리꼴 하중(A 30, B 10 kN/m)을 등분포 10 kN/m 와 A에서 20 kN/m 인 삼각형으로 나눈다. 각각 합력 60 kN(중앙 3 m), 60 kN(삼각형 도심, A에서 2 m)이다.

$R_B=\dfrac{60\times3+60\times2}{6}=50\,\mathrm{kN}$, $R_A=120-50=70\,\mathrm{kN}$ → 7 : 5

탄성계수는 $\dfrac{400}{\pi}\,\mathrm{GPa}$, 포아송비는 0.3이다.

$\sigma=\dfrac{20000}{\pi\times10^2}=\dfrac{200}{\pi}\,\mathrm{MPa}$, $\varepsilon=\dfrac{0.5}{1000}=5\times10^{-4}$ (양쪽 250 μm 씩 총 500 μm)
$E=\dfrac{200/\pi}{5\times10^{-4}}=\dfrac{400000}{\pi}\,\mathrm{MPa}=\dfrac{400}{\pi}\,\mathrm{GPa}$

지름 감소 3 μm(위아래 1.5 μm)이므로 $\varepsilon'=\dfrac{0.003}{20}=1.5\times10^{-4}$, $\nu=\dfrac{1.5\times10^{-4}}{5\times10^{-4}}=0.3$

• 0.15 는 지름 변화를 한쪽 1.5 μm 만 반영한 값이다.
• $200/\pi$ 는 늘음량을 500 μm 의 2배(1,000 μm)로 잡은 값이다.

주응력은 $\sigma_1=-1+3\sqrt2\,\mathrm{MPa}$, 방향은 22.5°이다.

그림에서 $\sigma_x=2$(인장), $\sigma_y=-4$(압축), $\tau_{xy}=3\,\mathrm{MPa}$ 이다.
$\sigma_1=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=-1+\sqrt{9+9}=-1+3\sqrt2$

$\tan2\theta_1=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\dfrac{6}{6}=1 \Rightarrow \theta_1=22.5^\circ$ (주응력 방향)

• $3+3\sqrt2$·$1+3\sqrt2$ 는 평균응력 $(\sigma_x+\sigma_y)/2=-1$ 과 맞지 않는다.
• 45°는 $2\theta$ 를 θ로 착각한 값이다.

B점 모멘트 크기는 40 kN·m이다.

휨모멘트는 왼쪽 끝 A(0)부터 전단력선도 면적을 누적한 값이다.

A~B 구간은 30 kN 에서 −10 kN 까지 직선이므로
$M_B=\dfrac{30+(-10)}{2}\times4=40\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 최대 휨모멘트(전단력 0 위치, 3 m)는 45 kN·m 이며 B점 값과 다르다.
• 10·20·30 kN·m 은 사다리꼴 면적을 잘못 계산한 값이다.

작용한 모멘트는 EI/3이다.

길이 π 인 봉이 중심각 $\dfrac{\pi}{3}$(1/6원)의 원호가 되었으므로 곡률반경 $R=\dfrac{\pi}{\pi/3}=3$ 이다.

순수 휨에서 $\dfrac{1}{R}=\dfrac{M}{EI}$ 이므로 $M=\dfrac{EI}{3}$ (곡률-모멘트 관계)

이 구조물은 2차 부정정이다.

그림에서 왼쪽 위 모서리는 원이 절점 중심에 있어 보와 기둥을 잇는 힌지이고, 오른쪽 위 모서리는 보와 기둥이 직각으로 강결된 안쪽에 경사재만 핀으로 붙어 있다. 경사재 아래쪽 원도 끊기지 않은 왼쪽 기둥 옆에 붙어 경사재만 핀 연결한다.

판별식 $N=r+m+S-2K$ 에서 반력 $r=3+2=5$(왼쪽 고정, 오른쪽 힌지), 부재 $m=5$(왼쪽 기둥 2토막, 보, 오른쪽 기둥, 경사재), 절점 $K=5$, 강절점 $S=2$(왼쪽 기둥 중간, 오른쪽 위 모서리)이므로 $N=5+5+2-10=2$, 곧 2차 부정정이다.

• 1차 부정정은 왼쪽 고정단을 반력 2개인 힌지로 센 값이다.
• 3차 부정정은 왼쪽 위 모서리 힌지를 강절점으로 본 값이다.

휨모멘트도는 4 m 지점에서 최대값을 가진 뒤 위로 볼록한 곡선으로 0까지 감소하는 형상이다.

0~2 m 는 기울기 10, 2~4 m 는 기울기 6인 직선으로 증가해 $M_{4}=20+12=32\,\mathrm{kN\cdot m}$ 가 된다. 4 m 에서 전단력이 +6에서 −4로 부호가 바뀌므로 여기서 최대이다.

4~8 m 는 전단력이 −4에서 −12로 선형 변하므로 휨모멘트는 2차 곡선으로, 기울기가 점점 가팔라지며(위로 볼록) $32-\dfrac{4+12}{2}\times4=0$ 으로 끝난다.

• 2 m 지점이 최대이고 이후 직선으로만 줄어드는 형상은 2~4 m 구간 전단력이 양(+)이고 4~8 m 구간이 2차 곡선인 점과 어긋난다.
• 2 m 지점이 최대이고 끝 구간만 곡선인 형상도 2~4 m 구간에서 모멘트가 증가해야 하는 점과 어긋난다.
• 4 m 이후 처음에 급하게 떨어지는(아래로 볼록) 곡선은 기울기가 −4에서 −12로 점점 커지는 점과 반대이다.

B점 처짐이 0이 되는 x는 2L/3이다.

하중 P의 수평 위치를 A에서 $a=L-x$ 라 하면 AB 구간 휨모멘트는 $M(s)=P(s-a)$(연직 부재는 연직하중에 대해 모멘트를 바꾸지 않음), B점 단위하중에 의한 모멘트는 $m(s)=-(L-s)$ 이다.

단위하중법으로 $\int_0^L (s-a)(L-s)\,ds=\dfrac{L^3}{6}-\dfrac{aL^2}{2}=0 \Rightarrow a=\dfrac{L}{3}$, 따라서 $x=L-\dfrac{L}{3}=\dfrac{2L}{3}$

• x = L(a = 0)이면 처짐식이 $L^3/6$ 으로 0이 되지 않는다.
• L/3·L/2 도 처짐식 $L^3/6-aL^2/2$ 가 0이 되지 않는다.

전체 길이 변화량은 7/3 mm이다.

자유단부터 구간 축력을 구하면 오른쪽 가는 봉 $N_2=300\,\mathrm{kN}$, 왼쪽 굵은 봉 $N_1=300-200=100\,\mathrm{kN}$(인장)이다.

$\delta=\dfrac{100\times10^3\times500}{300\times10^3\times500}+\dfrac{300\times10^3\times400}{300\times10^3\times200}=\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3}\,\mathrm{mm}$ (구간별 합산)

• 8/3 mm 는 왼쪽 구간 축력을 200 kN 으로 잡은 값이다.
• 11/3 mm 는 왼쪽 구간 축력 방향을 잘못 잡아 두 하중을 더한 500 kN 으로 본 값이다.

A점의 전단응력은 0, 휨응력은 $\dfrac{3wa^2}{bh^2}$ 이다.

오른쪽 구간(힌지~롤러, 길이 a)의 힌지 전달력은 $\dfrac{wa}{2}$ 이고, 캔틸레버 고정단 모멘트는 $M=\dfrac{wa}{2}\times a=\dfrac{wa^2}{2}$ 이다.

A점은 단면 최상단이므로 전단응력은 0이고,
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{wa^2/2}{bh^2/6}=\dfrac{3wa^2}{bh^2}$

• $3wa/4bh$ 는 중립축의 최대 전단응력($1.5V/A$)으로 최상단 값이 아니다.
• $6wa^2/bh^2$ 는 고정단 모멘트를 $wa^2$ 로 2배 잡은 값이다.

BD 부재력은 0, CD 부재력은 500 N(인장)이다.

절점 D에는 일직선인 ED·DC와 수직재 BD만 있고 하중이 없으므로 BD는 0부재이다.

절점 C(하중 500 N 상향, 경사재 CB 45°)에서
$\Sigma F_y:\ 500+F_{CB}\sin45^\circ=0 \Rightarrow F_{CB}=-500\sqrt2\approx-700\,\mathrm{N}$ (압축)
$\Sigma F_x:\ F_{CD}=-F_{CB}\cos45^\circ=500\,\mathrm{N}$ (인장)

• CD를 압축으로 본 것은 위로 밀리는 절점 C에서 경사재가 압축일 때 하현재가 인장이 되는 관계와 반대이다.
• BD를 2,000 N(압축)이나 3,400 N(인장)으로 본 것은 하중 없는 절점 D에서 BD가 0부재라는 점과 어긋난다.

전단탄성계수는 125.0 GPa이다.

표면 전단응력 $\tau=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16\times300\times10^3}{3\times40^3}=25\,\mathrm{MPa}$

순수 전단에서 45° 방향 수직변형률은 $\varepsilon=\dfrac{\gamma}{2}$ 이므로 $\gamma=0.0002$.
$G=\dfrac{\tau}{\gamma}=\dfrac{25}{0.0002}=125000\,\mathrm{MPa}=125\,\mathrm{GPa}$ (45° 게이지 = 주변형률). $\gamma=\varepsilon$ 로 두면 250.0 GPa 로 2배가 된다.

하중 P는 3,000 N이다.

케이블은 내부력이므로 전체 평형에서 외력은 E 높이(4 m)의 수평력 P뿐이다. A점 모멘트 평형 $R_D\times9=4P \Rightarrow R_D=\dfrac{4P}{9}$, 연직 평형으로 $R_A=-\dfrac{4P}{9}$(하향).

C점 바로 왼쪽 단면의 왼쪽 자유물체에는 $R_A$ 와 B점 케이블 장력 P(방향 3:4:5, 연직성분 $0.8P$ 상향)가 작용한다.
$M_C=-\dfrac{4P}{9}\times6+0.8P\times3=-\dfrac{4P}{15}$, $\dfrac{4P}{15}=800 \Rightarrow P=3000\,\mathrm{N}$

C점 바로 오른쪽 단면은 기둥 CE에서 전달되는 모멘트가 더해져 값이 달라지므로 왼쪽 자유물체로 계산해야 한다.

스프링의 부재력은 $\dfrac{P}{2\tan\theta}$ 이다.

대칭이므로 두 봉부재의 압축력 N은 연직 평형 $2N\sin\theta=P$ 에서 $N=\dfrac{P}{2\sin\theta}$ 이다.

롤러 B는 수평력을 받지 못하므로 B절점의 수평 평형에서 스프링이 봉 압축력의 수평성분을 받는다.
$F_s=N\cos\theta=\dfrac{P}{2\tan\theta}$ (인장)

• $P/2\sin\theta$ 는 봉부재의 축력이다.
• $P/2\cos\theta$·$P/2\sec\theta$ 는 성분 분해의 삼각함수를 잘못 쓴 값이다.