13년 1회차

도심의 높이는 $\bar y=\dfrac{21}{40}D$ 이다.

지름 D 원(도심 높이 $D/2$)에서 아래쪽에 접한 지름 $D/4$ 의 원(도심 높이 $D/8$)을 뺀다. 면적비는 $1:\dfrac{1}{16}$ 이다(단면 1차모멘트 합성).

$\bar y=\dfrac{1\times\frac{D}{2}-\frac{1}{16}\times\frac{D}{8}}{1-\frac{1}{16}}=\dfrac{\frac{63}{128}D}{\frac{15}{16}}=\dfrac{21}{40}D$

• $7D/12$ 는 구멍의 지름을 $D/2$ 로 잘못 잡은 값이다: $\dfrac{\frac12-\frac14\times\frac14}{1-\frac14}=\dfrac{7}{12}$.
• $7D/24$·$7D/40$ 은 $D/2$ 보다 작은데, 아래쪽 구멍을 빼면 도심은 큰 원의 중심 $D/2$ 보다 위로 올라가야 하므로 성립하지 않는다.

C점 휨모멘트는 16/3 kN·m이다.

A점 반력모멘트 8 kN·m(반시계), B점 4 kN·m(시계)는 모두 부모멘트이다. B점 모멘트 평형으로
$R_A=\dfrac{6\times6}{9}+\dfrac{8-4}{9}=4+\dfrac{4}{9}=\dfrac{40}{9}\,\mathrm{kN}$

$M_C=-8+\dfrac{40}{9}\times3=-8+\dfrac{40}{3}=\dfrac{16}{3}\,\mathrm{kN\cdot m}$ (정모멘트)

O점 모멘트 벡터는 $-7\vec i-4\vec j-24\vec k\ \mathrm{kN\cdot m}$ 이다.

O에서 A까지 y로 5 m, x로 4 m, z로 −2 m 이므로 $\vec r=4\vec i+5\vec j-2\vec k$, $\vec F=8\vec i+4\vec j-3\vec k$ 이다.

$\vec M=\vec r\times\vec F=(5\cdot(-3)-(-2)\cdot4)\vec i+((-2)\cdot8-4\cdot(-3))\vec j+(4\cdot4-5\cdot8)\vec k=-7\vec i-4\vec j-24\vec k$ (벡터곱)

$R_B$ 의 최대 크기는 38/5 kN이다.

$R_B$ 영향선은 ABD(내민보)에서 $x/5$ 로 B에서 1, 힌지 D(7 m)에서 $7/5$ 이고, DC 구간에서는 D의 7/5에서 C의 0으로 선형 감소한다.

4 kN 을 최대 종거인 D에, 2 kN 을 2 m 왼쪽인 B에 두면
$R_B=4\times\dfrac{7}{5}+2\times1=\dfrac{38}{5}\,\mathrm{kN}$ (큰 하중을 최대 종거에)

최대 연직처짐은 0.10 m이다.

위쪽 보(C~B 위, 지간 5 m)의 중앙에 20 kN 이 작용하므로 C점 반력 10 kN 이 보 AB 중앙(A에서 5 m)에 간접하중으로 전달된다. 오른쪽 끝은 지점 B 위로 바로 전달된다.

지간 10 m 단순보 중앙 집중하중 처짐
$\delta=\dfrac{PL^3}{48EI}=\dfrac{10\times10^3}{48\times\frac{1}{48}\times10^5}=0.10\,\mathrm{m}$

20 kN 전체가 AB 중앙에 작용한다고 보면 처짐이 0.20 m 로 두 배가 되므로, 위쪽 보의 반력 분배를 먼저 따져야 한다.

포아송비는 1/5이다.

$A=\dfrac{3\times10^2}{4}=75\,\mathrm{mm^2}$, $\sigma=\dfrac{3\times10^6}{75}=40000\,\mathrm{MPa}$
$\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}=\dfrac{40000}{2\times10^5}=0.2$

가로 변형률 $\varepsilon'=\dfrac{0.4}{10}=0.04$ 이므로 $\nu=\dfrac{0.04}{0.2}=\dfrac{1}{5}$ (가로/세로 변형률비)

큰 절댓값은 16.0 kN·m(부모멘트)이다.

힌지 C~D 구간(10 m)은 단순보처럼 거동해 힌지 반력 $\dfrac{1\times10}{2}=5\,\mathrm{kN}$, 이 구간 최대 정모멘트는 $\dfrac{wL^2}{8}=12.5\,\mathrm{kN\cdot m}$ 이다.

내민 끝 C에는 힌지 전달력 5 kN 과 P = 2 kN, 합 7 kN 이 작용하므로
$M_B=-(7\times2+1\times\dfrac{2^2}{2})=-16\,\mathrm{kN\cdot m}$ 로 절댓값이 가장 크다.

• 12.5 kN·m 는 CD 구간의 최대 정모멘트이다.

최대전단응력의 비는 15 : 28이다.

원형 단면: $\tau_{max}=\dfrac{4V}{3A}=\dfrac{4V}{3\pi R^2}=\dfrac{60V}{45\pi R^2}$

원형관($r=0.5R$)의 중립축에서 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$, $Q=\dfrac{2}{3}(R^3-r^3)=\dfrac{7}{12}R^3$, $I=\dfrac{\pi}{4}(R^4-r^4)=\dfrac{15\pi}{64}R^4$, $b=2(R-r)=R$
$\tau_{max}=\dfrac{V\cdot\frac{7}{12}R^3}{\frac{15\pi}{64}R^4\cdot R}=\dfrac{112V}{45\pi R^2}$ → 60 : 112 = 15 : 28

하중 위치는 x = L/4이다.

강체가 수평이려면 두 케이블 늘음량이 같아야 한다(변위 적합).
$\dfrac{F_1h}{EA}=\dfrac{F_2\cdot3h}{EA} \Rightarrow F_1=3F_2$

$F_1+F_2=P$ 이므로 $F_2=\dfrac{P}{4}$. 왼쪽 케이블 위치에 대한 모멘트 평형
$Px=F_2L \Rightarrow x=\dfrac{L}{4}$

• 3L/4 는 짧은 케이블과 긴 케이블의 분담을 거꾸로 본 값이다.
• L/3·2L/3 은 변위 적합 조건 $F_1=3F_2$ 를 만족하지 않는다.

CD 길이는 a = 5 m이다.

AB 부재력이 0이려면 힌지 B의 전달력이 0, 즉 BCD 부분이 롤러 C만으로 평형이어야 하므로 C점에 대한 모멘트 합이 0이어야 한다.

반시계방향 +로
$3\times2+(1\times3)\times1.5+2-\dfrac{1\times a^2}{2}=0 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5\,\mathrm{m}$

• a = 3 m 이면 오른쪽 등분포 모멘트가 4.5 로 부족하다.
• a = 2·6 m 도 C점 모멘트 평형(힌지 전달력 0)을 만족하지 않는다.

막응력의 크기는 100 MPa이다.

얇은 구형 압력용기의 막응력은 모든 방향으로 같으며 $\sigma=\dfrac{pr}{2t}$ 이다.

$\sigma=\dfrac{6\times200}{2\times6}=100\,\mathrm{MPa}$ (원통 원주응력 pr/t의 절반)

• 200 MPa 은 원통형 용기의 원주방향 응력식 $pr/t$ 를 쓴 값이다.
• 50·150 MPa 은 공식의 계수를 잘못 적용한 값이다.

최대 휨모멘트는 8/3 kN·m이다.

수직재 위아래의 2 kN 두 힘은 팔 2 m 의 시계방향 우력 $4\,\mathrm{kN\cdot m}$ 로 보의 4 m 지점에 작용한다. A점 모멘트 평형
$6R_B=2\times2+4 \Rightarrow R_B=\dfrac{4}{3}$, $R_A=\dfrac{2}{3}\,\mathrm{kN}$

2 m: $M=\dfrac{4}{3}$, 4 m 왼쪽: $-\dfrac{4}{3}$, 시계방향 우력으로 4 m 오른쪽은 $-\dfrac43+4=\dfrac{8}{3}$ (오른쪽에서 $R_B\times2$ 로 검산) → 최대

• 4/3 은 집중하중점의 값이다.

부정정 차수는 3차이다.

그림에서 트러스의 절점 10개는 모두 힌지(○)로 그려져 있고, 양 끝은 힌지지점(△, 반력 2개씩)에 수평 부재로 연결되며, 위쪽 두 매단 부재는 해칭된 천장에 고정(반력 3개씩)되어 있다. 따라서 $r=2\times2+3\times2=10$ 이다.

판별식 $N=r+m+S-2K$ 에서 절점은 트러스 10개와 지점 4개로 $K=14$, 부재는 상현 4·하현 4·수직재 5·사재 4·매단 부재 2·양 끝 연결재 2 로 $m=21$, 부재끼리 강결된 절점이 없으므로 $S=0$ 이다.
$N=10+21+0-2\times14=3$ (3차 부정정)

곡률의 절댓값은 0.5 m⁻¹이다.

순수 휨에서 변형률은 중립축 거리에 비례한다: $\varepsilon_x=\kappa y$. 정사각형 단면이므로 최상단은 중립축에서 $y=2.4\,\mathrm{mm}=0.0024\,\mathrm{m}$ 이다.

$\kappa=\dfrac{\varepsilon_x}{y}=\dfrac{0.0012}{0.0024}=0.5\,\mathrm{m^{-1}}$ (보 길이와 무관)

• 0.1·0.2 m⁻¹ 은 $\kappa=\varepsilon/y$ 관계를 만족하지 않는다.
• 2.0 m⁻¹ 은 곡률과 곡률반경을 뒤바꾼 값이다.

합력의 작용점 거리는 x = 0, 즉 합력이 O점을 지난다.

합력 $R=4-2-1=1\,\mathrm{kN}$(위쪽). O점 기준 각 힘의 위치는 2 kN 이 왼쪽 7 m, 4 kN 이 왼쪽 4 m, 1 kN 이 왼쪽 2 m 이다.

O점 모멘트(반시계 +): $2\times7-4\times4+1\times2=0$. 바리뇽 정리에서 $R\cdot x=0$ 이므로 $x=0$

• 1·2·3 m 은 O점 모멘트 합이 0인 점과 어긋난다.

A점 처짐각은 0.004(↷)이다.

등분포하중에 의한 처짐각 $\dfrac{wL^3}{24EI}=\dfrac{3\times64}{24\times1000}=0.008$(↷, 하향 처짐 방향)이다.

양 끝의 2 kN·m(A 반시계, B 시계)는 보를 위로 볼록하게 하는 부모멘트로, A에서 $\dfrac{ML}{2EI}=\dfrac{2\times4}{2000}=0.004$(↶)를 만든다.
중첩: $0.008-0.004=0.004$(↷)

• 0.012 는 단모멘트 효과를 더해 버린 값이다.
• 반시계방향(↶)은 등분포하중에 의한 처짐각이 더 큰 점과 어긋난다.

부재력이 0인 부재는 9개이다.

하중이 없는 절점에서 두 부재만 만나면(일직선이 아닐 때) 둘 다 0이고, 세 부재 중 두 개가 일직선이면 나머지 하나가 0이다.

• F: AF, FG 가 0, J: IJ, JE 가 0
• E: JE 가 0이므로 남은 DE, EI 도 0
• A: 수평하중 P는 AB가 받고, 연직 성분을 가진 AG 는 0
• B: 수평반력이 AB의 P를 받으므로 BC 는 0, D: 롤러는 수평력이 없으므로 CD 는 0

합계 AF·FG·IJ·JE·DE·EI·AG·BC·CD의 9개이다.

임계좌굴하중은 5hk/3이다.

강체가 A를 중심으로 미소각 $\theta$ 기울면 B·C 스프링 변위는 $h\theta$, $2h\theta$, 하중점 D의 수평변위는 $3h\theta$ 이다.

A점 모멘트 평형(전도모멘트 = 복원모멘트)
$P\cdot3h\theta=k(h\theta)h+k(2h\theta)(2h)=5kh^2\theta \Rightarrow P_{cr}=\dfrac{5hk}{3}$

$\delta_E/\delta_B$ 는 2.00이다.

단순보 중앙 집중하중: $\delta_B=\dfrac{PL^3}{48EI}$

외팔보의 하중점 E는 고정단에서 $L/2$ 이므로 길이 $L/2$ 외팔보의 자유단 하중과 같다.
$\delta_E=\dfrac{P(L/2)^3}{3EI}=\dfrac{PL^3}{24EI}$, $\dfrac{\delta_E}{\delta_B}=\dfrac{48}{24}=2$ (하중점 처짐)

• 0.50 은 비를 거꾸로 구한 값이다.

필요한 관계는 $L=2\sqrt2\,a$ 이다.

최대 부모멘트는 지점에서 $\dfrac{wa^2}{2}$ 이다. 반력 $R=\dfrac{w(L+2a)}{2}$ 로 지간 중앙 모멘트를 구하면
$M_c=R\dfrac{L}{2}-\dfrac{w}{2}\left(a+\dfrac{L}{2}\right)^2=\dfrac{wL^2}{8}-\dfrac{wa^2}{2}$

두 절댓값을 같게 두면 $\dfrac{wL^2}{8}=wa^2 \Rightarrow L^2=8a^2 \Rightarrow L=2\sqrt2\,a$ (정·부모멘트 균형)

• $\sqrt2a$ 이면 중앙 모멘트가 $-wa^2/4$ 로 음이 되어 균형 조건을 만족하지 않는다.
• 근호 안에 a가 들어간 식은 차원이 맞지 않는다.