14년 1회차

상호 연관성이 없는 짝은 곡률－단면상승모멘트이다.

휨에 의한 곡률은 $\dfrac{1}{\rho}=\dfrac{M}{EI}$ 로 단면2차모멘트와 관계된다. 단면상승모멘트는 주축의 방향을 정할 때 쓰는 값이다.

• 전단응력 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$ 에는 단면1차모멘트 Q가 들어간다.
• 휨응력 $\sigma=\dfrac{M}{Z}$ 에는 단면계수가 들어간다.
• 처짐은 휨강성 EI, 즉 단면2차모멘트에 반비례한다.

B지점 반력은 60 kN이다.

위쪽 보 DC(D 3 m ~ C 6 m)는 120 kN 이 D에서 1 m 이므로 $R_D=120\times\dfrac{2}{3}=80\,\mathrm{kN}$ 이고, 이 힘이 강성부재 DE를 통해 아래 보 AB의 E점(A에서 3 m)에 전달된다.

보 AB(지간 4 m)에서 A점 모멘트 평형
$R_B\times4=80\times3 \Rightarrow R_B=60\,\mathrm{kN}$ (간접 전달)

• 80 kN 은 E점에 전달되는 힘 자체이다.
• 120 kN 은 하중이 B 바로 위의 아래 보에 직접 실린다고 본 값이고, 90 kN 은 120 kN 전체가 E점으로 전달된다고 본 값($120\times3/4$)이다.

평균전단응력은 10 N/$\mathrm{mm}^{2}$이다.

블록 가운데 100 mm 부분이 받침대 사이로 밀려 내려가려면 점선의 두 전단면이 잘려야 한다. 각 전단면은 폭 200 mm × 두께 5 mm 이다.

$\tau=\dfrac{F}{2\times200\times5}=\dfrac{20000}{2000}=10\,\mathrm{N/mm^2}$

• 20 N/$\mathrm{mm}^{2}$ 는 전단면을 하나로 본 값이다.
• 1 N/$\mathrm{mm}^{2}$ 는 가운데 블록 윗면 면적(100 mm × 200 mm)으로 나눈 값이다.

강재 응력은 $\sigma_s=\dfrac{E_s}{E_cA_c+E_sA_s}P$ 이다.

두 재료는 함께 같은 양만큼 줄어드므로 변형률이 같다(변형 적합): $\varepsilon=\dfrac{P}{E_cA_c+E_sA_s}$

강재 응력은 $\sigma_s=E_s\varepsilon$ 이므로 위 식이 된다(축강성 합으로 나눔).

• 분자가 $E_sA_s$ 인 식은 강재가 분담하는 하중이다.
• 분자가 $E_cA_c$ 인 식은 콘크리트 분담 하중이고, 단면적이 빠진 식은 차원이 응력이 아니다.

와이어 변형률은 $\dfrac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta}$ 이다.

원호 반지름을 R이라 하면 원래 길이(현)는 $2R\sin\theta$, 처진 길이(호)는 $2R\theta$ 이다.

$\varepsilon=\dfrac{2R\theta-2R\sin\theta}{2R\sin\theta}=\dfrac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta}$ (변형 후 − 변형 전을 변형 전 길이로 나눔)

• $1-\sin\theta/\theta$ 는 늘어난 길이를 변형 후 길이(호)로 나눈 값이다.
• $\sin\theta/(\theta-\sin\theta)$ 는 역수이고, $\theta/\cos\theta-1$ 은 현 길이를 $2R\cos\theta$ 로 잘못 잡은 값이다.

단면2차모멘트 비 $I_c/I_s$ 는 2.0이다.

캔틸레버 자유단 처짐 $\dfrac{WL^3}{3EI_c}$, 지간 2L 단순보 중앙 처짐 $\dfrac{W(2L)^3}{48EI_s}=\dfrac{WL^3}{6EI_s}$ 이다.

두 값을 같게 두면 $\dfrac{1}{3I_c}=\dfrac{1}{6I_s} \Rightarrow \dfrac{I_c}{I_s}=2$ (처짐 공식 비교)

필요한 최소 수평력은 Q/10이다.

오른쪽 부재 CB는 C점(마찰 연결)과 롤러 B로 지지되고, Q가 그 중앙(각 a)에 작용하므로 C점 연직 접촉력은 $\dfrac{Q}{2}$ 이다.

롤러 B는 수평력을 받지 못하므로 수평력은 C점 정지마찰력만이 저항한다.
$H=\mu N=0.2\times\dfrac{Q}{2}=\dfrac{Q}{10}$

• Q/5 는 접촉력을 Q 전체로 본 값이다.

케이블의 최소 인장력은 5,000 N이다.

포물선 케이블의 장력은 수평성분 H가 일정하고, 경사가 0인 최저점에서 장력이 H로 최소이다.

$H=\dfrac{wL^2}{8f}=\dfrac{8\times100^2}{8\times2}=5000\,\mathrm{N}$

• 최대 장력은 경사가 가장 큰 지점에서 생기며 H보다 크다.

$I_2/I_1$ 는 4이다.

왼쪽 기둥은 하단 힌지, 상단 수평이동이 막힌 롤러로 양단 힌지($K=1$), 오른쪽 기둥은 하단 고정·상단 자유($K=2$)이다.

$\dfrac{\pi^2EI_1}{L^2}=\dfrac{\pi^2EI_2}{(2L)^2} \Rightarrow \dfrac{I_2}{I_1}=4$ (유효길이 비 2)

• 1/4 은 비를 거꾸로 구한 값이다.
• 2·1/2 은 유효길이계수 비를 제곱하지 않은 값이다.

고정단 모멘트는 $M_A=-\dfrac{ql^2}{8}$, 반력은 $R_B=\dfrac{3ql}{8}$ 이다.

B를 제거한 캔틸레버의 처짐 $\dfrac{ql^4}{8EI}$ 와 $R_B$ 에 의한 처짐 $\dfrac{R_Bl^3}{3EI}$ 를 같게 두면(변위일치) $R_B=\dfrac{3ql}{8}$ 이다.

그림의 $M_A$(시계방향)를 양으로 두고 A점 모멘트 평형을 쓰면
$M_A=R_Bl-\dfrac{ql^2}{2}=\dfrac{3ql^2}{8}-\dfrac{4ql^2}{8}=-\dfrac{ql^2}{8}$ 으로, 실제 고정단 모멘트는 그림과 반대 방향인 부모멘트이다.

• $-ql^2/4,\ ql/4$ 조합은 평형식은 만족하지만 $R_B=ql/4$ 가 변위일치 조건에서 구한 $3ql/8$ 과 다르다.
• $-ql^2/3$ 을 쓴 두 조합은 평형식 $M_A=R_Bl-ql^2/2$ 를 만족하지 않는다.

전체 부정정 차수는 15이다.

강절 라멘은 부정정 차수 = 3 × 폐합 고리 수 − 해방 수 이며, 고리 수 B는 지반을 포함한 폐합 고리 수이다. 상층 3칸과 하층 3칸(기둥과 지반 사이)으로 $B=6$, $3B=18$.

지점 해방은 고정단 0, 힌지 1, 롤러 2 이므로 합 3.
$N=18-3=15$

필요한 최소 힘은 66.7 kN이다.

차륜이 장애물 모서리를 중심으로 회전하기 시작할 때 지면 반력은 0이다. 반지름 50 cm, 장애물 20 cm 이므로 모서리에서 중심까지 연직 거리 30 cm, 수평 거리 $\sqrt{50^2-30^2}=40\,\mathrm{cm}$.

모서리점 모멘트 평형 $P\times30=50\times40 \Rightarrow P=66.7\,\mathrm{kN}$

• 37.5 kN 은 팔 길이를 서로 바꾼 값이다.

필요한 단면1차모멘트는 $\dfrac{3}{32}bh^2$ 이다.

a-a 아래쪽 면적은 $b\times\dfrac{h}{4}$, 그 도심은 중립축에서 $\dfrac{h}{2}-\dfrac{h}{8}=\dfrac{3h}{8}$ 이다.

$Q=\dfrac{bh}{4}\times\dfrac{3h}{8}=\dfrac{3bh^2}{32}$ (바깥쪽 면적 × 도심 거리)

• $bh^2/32$ 는 도심 거리를 아래 끝에서 잰 $h/8$ 로 잡은 값이다.
• $2bh^2/32$ 는 도심 거리를 a-a 선까지의 거리 $h/4$ 로 잡은 값이다.
• $8bh^2/32=bh^2/4$ 는 중립축에서의 최댓값 $bh^2/8$ 보다도 커서 성립하지 않는다.

U는 12 kN(압축), L은 9 kN(인장)이다.

대칭 하중이므로 양 지점 반력은 12 kN 이다. 두 번째 패널(6~12 m)을 자르는 단면법을 쓴다.

U: 하현 12 m 절점(사재·L 교점) 모멘트 $8U=12\times12-8\times6=96 \Rightarrow U=12$(압축)
L: 상현 6 m 절점(U·사재 교점) 모멘트 $8L=12\times6=72 \Rightarrow L=9$(인장)

• U 인장·L 압축은 단순 트러스에서 상현 압축·하현 인장인 점과 반대이다.

최대 휨응력은 2,000 MPa이다.

강봉 중심축의 곡률반경은 드럼 반지름에 봉 반지름을 더한 $\rho=495+5=500\,\mathrm{mm}$ 이다.

$\sigma=\dfrac{Ey}{\rho}=\dfrac{2.0\times10^5\times5}{500}=2000\,\mathrm{MPa}$ (곡률-응력 관계)

B점 처짐각은 $\dfrac{3Pa^2}{2EI}$ 이다.

자유단 B의 하향 P(거리 2a): $\dfrac{P(2a)^2}{2EI}=\dfrac{2Pa^2}{EI}$

C점의 상향 P(거리 a)는 반대 방향으로 $\dfrac{Pa^2}{2EI}$ 이며, C~B 구간은 모멘트가 없어 그대로 전해진다.
중첩: $\dfrac{2Pa^2}{EI}-\dfrac{Pa^2}{2EI}=\dfrac{3Pa^2}{2EI}$

• $5Pa^2/2EI$ 는 두 하중 효과를 더해 버린 값이다.
• $a^3$ 이 들어간 식은 처짐각이 아닌 처짐의 차원이다.

CE 구간 등분포하중은 5 kN/m이다.

등분포하중의 크기는 전단력선도의 기울기와 같다(dV/dx = −w).

C점 전단력 8 kN 에서 E점 −22 kN 까지 6 m 동안 직선으로 변하므로
$w=\dfrac{8-(-22)}{6}=5\,\mathrm{kN/m}$

• 3·7·14 kN/m 은 C~E 전단력 변화 30 kN 을 6 m 로 나눈 값과 맞지 않는다.
• C~E 사이에 집중하중이 없어 전단력선도가 끊김 없는 한 직선이므로 하중은 일정하다.

B지점 수직반력은 0.3 kN이다.

10 kN 의 연직성분은 $10\sin30^\circ=5\,\mathrm{kN}$(하향, A에서 7 m)이다. 등분포하중 합력 $4\times8=32\,\mathrm{kN}$ 은 A 왼쪽 1 m 에 작용한다.

A점 모멘트 평형
$R_B\times10=5\times7-32\times1=3 \Rightarrow R_B=0.3\,\mathrm{kN}$

옳은 것은 축방향응력 $\sigma_x=18\,\mathrm{MPa}$이다.

얇은 원통의 원주방향응력 $\sigma_y=\dfrac{qr}{t}=\dfrac{1.2\times300}{10}=36\,\mathrm{MPa}$, 축방향응력은 그 절반인 $\sigma_x=\dfrac{qr}{2t}=18\,\mathrm{MPa}$ 이다.

• $\sigma_y=24$·$\sigma_y=48$ 은 원주방향응력 36 과 다르다.
• $\sigma_x=36$ 은 원주방향응력 값을 축방향으로 착각한 값이다.

C점 최대 휨모멘트는 9 kN·m이다.

C점 휨모멘트 영향선은 C에서 최대 종거 $\dfrac{6\times4}{10}=2.4$, 기울기는 왼쪽 0.4, 오른쪽 0.6인 삼각형이다.

길이 5 m 분포하중은 양 끝 종거가 같을 때 최대이므로 $0.4x=0.6(5-x)\Rightarrow x=3$, 즉 3~8 m 에 놓는다.
$M_C=1\times\left(\dfrac{1.2+2.4}{2}\times3+\dfrac{2.4+1.2}{2}\times2\right)=5.4+3.6=9\,\mathrm{kN\cdot m}$