15년 1회차

$R_A=\dfrac{2}{9}P$, $F_{BC}=\dfrac{20}{9}P$(압축)이다.

B점 모멘트 평형(반시계 +)에서 2P(B 왼쪽 3 m)와 수평력 P(높이 4 m)를 고려하면
$-9R_A+2P\times3-P\times4=0 \Rightarrow R_A=\dfrac{2P}{9}$, $R_B=2P-\dfrac{2P}{9}=\dfrac{16P}{9}$

절점 B에서 BC는 수평 3 m·연직 4 m(길이 5 m)이므로 연직 평형
$\dfrac{16P}{9}+F_{BC}\times\dfrac{4}{5}=0 \Rightarrow F_{BC}=-\dfrac{20P}{9}$ (압축)

• $16P/9$ 는 지점 B의 반력이다.
• $25P/12$ 는 절점 B의 연직 평형($\frac{16P}{9}\div\frac{4}{5}=\frac{20P}{9}$)과 맞지 않는다.

전단 변형률은 0.002이다.

$G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}=\dfrac{130}{2.6}=50\,\mathrm{GPa}$

$\tau=\dfrac{V}{A}=\dfrac{10000}{10\times10}=100\,\mathrm{MPa}$, $\gamma=\dfrac{\tau}{G}=\dfrac{100}{50000}=0.002$ (순수 전단, 훅의 법칙)

• 0.001 은 전단탄성계수를 100 GPa 로 잘못 잡은 값이다.

지점 B의 수평반력은 $\dfrac{5}{8}wR$(←)이다.

A점 모멘트 평형: 연직하중 $2wR$(A에서 R), 수평하중 $\dfrac{wR}{2}$(높이 R/2)
$2R\cdot B_y=2wR\cdot R+\dfrac{wR}{2}\cdot\dfrac{R}{2} \Rightarrow B_y=\dfrac{9wR}{8}$

힌지 C 오른쪽 부분의 C점 모멘트 = 0(힌지 조건): $R\,B_y+R\,B_x-wR\cdot\dfrac{R}{2}=0$
$B_x=\dfrac{wR}{2}-\dfrac{9wR}{8}=-\dfrac{5wR}{8}$ 즉 왼쪽 방향 5wR/8

• $wR/8$(→)은 수평 평형 $A_x=-\frac{wR}{2}+\frac{5wR}{8}$ 으로 구한 A점 수평반력이다.
• $7wR/8$(←)·$3wR/8$(→)은 힌지 C의 모멘트 조건을 만족하지 않는다.

$M_{max}=72\,\mathrm{kN\cdot m}$, $\sigma_{max}=2\,\mathrm{MPa}$ 이다.

고정단 A에서 등분포하중 합력 $2\times4=8\,\mathrm{kN}$(A에서 4 m)에 의한 모멘트 32, 시계방향 집중모멘트 40이 같은 방향(부모멘트)으로 더해져 $M_A=32+40=72\,\mathrm{kN\cdot m}$ 이다.

$Z=\dfrac{600^3}{6}=3.6\times10^7\,\mathrm{mm^3}$, $\sigma=\dfrac{72\times10^6}{3.6\times10^7}=2\,\mathrm{MPa}$

• 32 kN·m 은 집중모멘트를 빠뜨린 값이다.
• $\sigma=M/Z$ 에서 72 kN·m 에 대응하는 응력은 2 MPa 이다.

지름의 변화량은 0.012 mm(감소)이다.

$A=\dfrac{3\times10^2}{4}=75\,\mathrm{mm^2}$, $\sigma=\dfrac{15000}{75}=200\,\mathrm{MPa}$
$\varepsilon=\dfrac{200}{50000}=0.004$

가로 변형률 $\varepsilon'=\nu\varepsilon=0.3\times0.004=0.0012$ 이므로 $\Delta d=0.0012\times10=0.012\,\mathrm{mm}$ (포아송 효과로 수축)

• 0.006 mm 는 반지름의 변화량이다.
• 0.009·0.015 mm 는 포아송비나 응력을 잘못 대입한 값이다.

전단변형률 $\gamma_{xy}$ 는 15이다.

게이지 A는 x축(0°), B는 45°, C는 135° 방향이다. 변형률 변환식 $\varepsilon_\theta=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos2\theta+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta$ 에서

$\varepsilon_{45}=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}$, $\varepsilon_{135}=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}-\dfrac{\gamma_{xy}}{2}$ 이므로
$\gamma_{xy}=\varepsilon_B-\varepsilon_C=60-45=15$ (45° 로제트, 변형률 변환)

• 5·10 은 게이지 A를 섞어 뺀 값(50−45, 60−50)이다.

옳지 않은 것은 양 지점 반력이 크기가 같고 방향이 반대라는 설명이다.

B 축력을 N이라 하면 C는 $N-P$, D는 $N-2P$. 전체 길이 변화 0(변위 적합)에서
$\dfrac{N}{3A}+\dfrac{N-P}{2A}+\dfrac{N-2P}{A}=0 \Rightarrow N=\dfrac{15P}{11}$, C: $\dfrac{4P}{11}$, D: $-\dfrac{7P}{11}$

왼쪽 반력 15P/11, 오른쪽 반력 7P/11 로 크기가 다르고 둘 다 왼쪽 방향(합 2P)이다.

• B : C 축력 비는 15 : 4 로 옳다.
• 응력은 B가 $\frac{15P}{33A}=\frac{5P}{11A}$, D가 $\frac{7P}{11A}$ 로 7/5배이므로 옳다.
• 길이 변화량은 B·C·D가 5·2·7(×PL/11EA)로 D가 가장 크다.

좌굴하중은 $P_{cr}=\dfrac{kab}{a+b}$ 이다.

힌지 B가 옆으로 $\Delta$ 이동하면 AB, BC가 각각 $\Delta/a$, $\Delta/b$ 회전한다. 각 봉의 B점 모멘트 평형으로 A, C의 수평반력은 $\dfrac{P\Delta}{a}$, $\dfrac{P\Delta}{b}$ 이다.

수평 평형에서 두 수평반력의 합을 스프링력 $k\Delta$ 가 받는다.
$P\Delta\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=k\Delta \Rightarrow P_{cr}=\dfrac{kab}{a+b}$ (중립 평형 조건, 강체 좌굴)

• $a=b$ 이면 $ka/2$ 가 되지만, 일반적인 a, b 에서는 $kab/(a+b)$ 이다.

수직응력은 2,500 MPa, 전단응력은 12.5 MPa이다.

P가 A에서 L/3 이므로 $R_B=\dfrac{120}{3}=40\,\mathrm{kN}$. C점(A에서 2L/3)은 $V=40\,\mathrm{kN}$, $M=40\times9=360\,\mathrm{kN\cdot m}$.

$I=\dfrac{30\times120^3}{12}=4.32\times10^6\,\mathrm{mm^4}$, 중립축 거리 $y=30\,\mathrm{mm}$
$\sigma=\dfrac{360\times10^6\times30}{4.32\times10^6}=2500\,\mathrm{MPa}$
$Q=30\times30\times45=40500\,\mathrm{mm^3}$, $\tau=\dfrac{40000\times40500}{4.32\times10^6\times30}=12.5\,\mathrm{MPa}$

• 5,000 MPa 은 상연(y = 60 mm)의 휨응력이다.
• 25.0 MPa 은 전단력을 80 kN(A쪽 구간)으로 잡은 값이다.

하중 P의 최대 허용값은 $\dfrac{\pi^2EI}{L^2}$ 이다.

P가 보 AB 중앙에 작용하므로 힌지 A를 통해 기둥 AC에 $\dfrac{P}{2}$ 의 압축력이 전달된다.

양단 힌지 기둥의 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{L^2}$, 안전율 2를 적용하면
$\dfrac{P}{2}\le\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi^2EI}{L^2} \Rightarrow P\le\dfrac{\pi^2EI}{L^2}$ (기둥 분담력 P/2)

• $\pi^2EI/2L^2$ 는 기둥이 P 전체를 받는다고 본 값이다.
• $2\pi^2EI/L^2$ 는 안전율을 반영하지 않은 값이다.

지점 B의 수직반력은 40 kN이다.

삼각형 분포(0~10 kN/m, 3 m) 합력 15 kN 은 A에서 2 m, 등분포(10 kN/m, 6 m) 합력 60 kN 은 A에서 6 m 이다. 3 m 지점의 30 kN·m 은 반시계방향이다.

A점 모멘트 평형
$9R_B=15\times2+60\times6-30=360 \Rightarrow R_B=40\,\mathrm{kN}$

• 집중모멘트를 시계방향으로 넣으면 $R_B=420/9\approx46.7\,\mathrm{kN}$ 이 되어 맞지 않는다.

처짐 곡선은 A에서 수평으로 시작해 위로 오목하게 올라가 힌지 B에서 꺾이고, 이후 위로 볼록하게 내려가 C를 지나 D에서 아래로 처지는 형상이다.

휨모멘트가 양(+)인 AB 구간은 곡률이 위로 오목하고, 고정단 A에서는 처짐·처짐각이 0이다. 힌지 B에서는 처짐각이 불연속이므로 곡선이 꺾인다.

B~D 구간은 휨모멘트가 음(−)이므로 위로 볼록하고, 롤러 C에서 처짐 0, 내민 끝 D는 하중 방향(아래)으로 처진다.

• B에서 꺾이지 않고 매끄러운 곡선은 힌지의 처짐각 불연속을 무시했다.
• B가 아래로 처지고 D가 위로 올라가는 곡선은 곡률 부호를 반대로 그렸다.

C점의 최대 휨모멘트는 52.5 kN·m이다.

C점(중앙) 휨모멘트 영향선은 최대 종거 $\dfrac{5\times5}{10}=2.5$, 양쪽 기울기 0.5인 삼각형이다.

큰 하중 15 kN 을 C에 두면 10 kN 은 2 m 떨어진 종거 1.5 위치이다.
$M_C=15\times2.5+10\times1.5=52.5\,\mathrm{kN\cdot m}$ (큰 하중을 최대 종거에)
10 kN 을 C에 두면 $25+22.5=47.5$ 로 작다.

• 47.5 kN·m 은 10 kN 을 C에 둔 값이다.

부정정 차수는 8차이다.

강절 라멘은 3 × (폐합 고리 수) − (해방 수)로 구한다. 지반을 포함한 고리는 기둥 사이 3개와 버팀재·보·기둥이 만드는 삼각형 2개로 5개, 즉 $3\times5=15$ 이다.

해방 수: 오른쪽 힌지지점 1, 세 번째 기둥 상단(보 아래) 힌지 1, 버팀재 하단 핀 2곳 각 1(핀이 기둥 옆에 붙어 기둥은 연속), 보 축선 위의 원형 절점은 보 좌·우와 버팀재 2개의 4부재가 모두 핀이므로 3, 합 7.
$N=15-7=8$ (폐합 고리법)

• 보 위 절점에서 보를 연속으로 보면 해방이 2가 되어 9차가 되지만, 그림의 원은 보 축선 위에 있어 보도 그 점에서 끊긴다.

최대 허용압력은 6 MPa이다.

얇은 구형 용기의 막응력은 $\sigma=\dfrac{pr}{2t}=\dfrac{200p}{20}=10p$ 이고, 반지름 방향 응력은 거의 0이므로 최대 전단응력은 $\tau_{max}=\dfrac{\sigma}{2}=5p$ 이다.

인장 조건 $10p\le100 \Rightarrow p\le10$, 전단 조건 $5p\le30 \Rightarrow p\le6$. 두 조건을 모두 만족하는 작은 값인 6 MPa 이 허용압력이다(전단이 지배).

• 10 MPa 은 인장 조건만 검토한 값이다.
• 8·12 MPa 은 두 조건 중 어느 쪽과도 맞지 않는다.

하중의 B점으로부터 거리는 x = 6 m이다.

마찰이 없으므로 반력은 경사면에 수직이다. A의 반력은 45° 방향, B의 반력은 3:4 경사면의 법선 방향(수평 3, 연직 4 비율)이다.

수평 평형 $\dfrac{N_A}{\sqrt2}=\dfrac{3N_B}{5}$, 연직 평형 $\dfrac{N_A}{\sqrt2}+\dfrac{4N_B}{5}=7$ 에서 $N_B=5$, 연직성분은 A 3 kN, B 4 kN.
A점 모멘트 평형 $7(14-x)=4\times14 \Rightarrow x=6\,\mathrm{m}$

• x = 8 m 는 A와 B의 연직성분을 바꿔 잡은 값이다.

중립축은 하단에서 400/3 mm이다.

탄성계수비로 환산단면을 만든다. B(10 GPa) 기준으로 A는 폭 2배, C는 폭 3배가 되므로 면적 가중치는 A : B : C = 2 : 1 : 3 이다.

각 도심 높이 A 250, B 150, C 50 mm 이므로
$\bar y=\dfrac{2\times250+1\times150+3\times50}{2+1+3}=\dfrac{800}{6}=\dfrac{400}{3}\,\mathrm{mm}$

• 같은 재료로 보면 150 mm(높이 중앙)가 되지만, 아래쪽 C의 탄성계수가 가장 커서 중립축이 내려간다.

압축응력은 20 MPa이다.

자유 열팽창량 $\delta_T=\alpha\Delta TL=1\times10^{-5}\times20\times10000=2\,\mathrm{mm}$ 이다.

간격 1 mm 까지는 자유롭게 늘어나므로 구속량은 1 mm.
$\sigma=E\dfrac{1}{10000}=200000\times10^{-4}=20\,\mathrm{MPa}$ (간격 공제, 압축)

• 40 MPa 은 간격을 무시하고 2 mm 전부를 구속한 값이다.

C점의 처짐은 2.5δ이다.

강체 BD 중앙에 P가 작용하므로 힌지 B, D에 각각 $P/2$ 가 전달된다.
$\delta_B=\dfrac{(P/2)L^3}{3EI}=\delta$

DE는 길이 2L, 휨강성 2EI 인 캔틸레버이므로
$\delta_D=\dfrac{(P/2)(2L)^3}{3(2EI)}=4\delta$. C는 강체의 중앙이므로 $\delta_C=\dfrac{\delta+4\delta}{2}=2.5\delta$ (강체 선형 보간)

• $\delta_D$ 를 B와 같은 δ 로 보면 C의 처짐은 δ 가 되어 맞지 않는다.

B점의 수직 처짐은 1.0 mm이다.

대칭이므로 각 케이블 장력 $T=\dfrac{50}{2\cos45^\circ}=25\sqrt2\,\mathrm{kN}$.
$\delta_{cable}=\dfrac{TL}{EA}=\dfrac{25\sqrt2\times10^3\times600}{250\times10^3\times120}=\dfrac{\sqrt2}{2}\,\mathrm{mm}$

케이블 늘음량은 수직 처짐의 케이블 방향 성분이므로 $\delta_v=\dfrac{\delta_{cable}}{\cos45^\circ}=\dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1.0\,\mathrm{mm}$ (변위 기하)

• $1/\sqrt2$ 는 케이블 늘음량 자체이다.