16년 1회차

합력의 위치는 A점에서 왼쪽으로 5.2 m이다.

A점에서 왼쪽 거리로 8 kN 1 m, 1 kN(상향) 4 m, 3 kN 8 m, 5 kN 10 m 이다. 합력은 $R=5+3+8-1=15\,\mathrm{kN}$(하향)이다.

A점 모멘트(바리뇽 정리)
$15d=8\times1+3\times8+5\times10-1\times4=78 \Rightarrow d=5.2\,\mathrm{m}$ (모든 하중이 A 왼쪽이므로 왼쪽)

• 오른쪽으로 본 것은 하중이 모두 A 왼쪽에 있다는 점과 어긋난다.
• 5.8 m 는 A점 모멘트 합 78 kN·m 을 합력 15 kN 으로 나눈 값과 맞지 않는다.

세 상자는 모두 미끄러져 내려간다.

세 상자는 서로 맞닿아 있으므로 한 덩어리로 검토한다. 경사면 방향 하중 $4W\sin30^\circ=2W$, 최대 마찰력 $(0.3W+0.6\times2W+0.3W)\cos30^\circ=1.8W\times0.866\approx1.56W$ 로 하중이 더 크다.

B만 보면 $\mu=0.6\gt \tan30^\circ\approx0.577$ 로 버틸 수 있지만, 위의 C가 B를 밀어 B+C도 $1.5W\gt 1.5W\times0.866=1.30W$ 로 미끄러진다(접촉 상자의 합력, 마찰 한계).

• A만 미끄러진다는 설명은 C가 B를 미는 효과를 무시했다.
• 모두 정지해 있다는 설명은 마찰계수 0.3인 상자가 $\tan30^\circ$ 보다 작은 점과 어긋난다.

수축량은 $\dfrac{1}{100\pi}\,\mathrm{mm}$ 이다.

$A=\dfrac{\pi(100^2-80^2)}{4}=900\pi\,\mathrm{mm^2}$

$\delta=\dfrac{PL}{EA}=\dfrac{9000\times200}{200000\times900\pi}=\dfrac{1}{100\pi}\,\mathrm{mm}$ (속이 빈 단면적, 축변형 공식)

• $1/50\pi$ 는 단면적을 절반으로 잡은 값이다.
• $9/1600\pi$·$9/2500\pi$ 는 바깥지름 또는 안지름만의 원 면적을 쓴 값이다.

최종 지름은 29.973 mm이다.

세로 변형률 $\varepsilon=\dfrac{3}{1000}=0.003$, 가로 변형률 $\nu\varepsilon=0.3\times0.003=0.0009$ 이다.

$\Delta d=0.0009\times30=0.027\,\mathrm{mm}$ 감소(인장 시 가로 수축), 최종 지름 $30-0.027=29.973\,\mathrm{mm}$

• 30.027 mm 는 지름이 늘어난다고 본 값이다.
• 29.730·30.270 mm 는 변화량을 10배로 잡은 값이다(자릿수 오류).

A지점 수평반력은 20 kN이다.

양단 고정봉에서 B점 하중은 두 구간의 축강성 $EA/L$ 비로 나뉜다.
AB: $\dfrac{E\times100}{2000}=0.05E$, BC: $\dfrac{E\times200}{1000}=0.2E$

$R_A=100\times\dfrac{0.05}{0.05+0.2}=20\,\mathrm{kN}$, $R_C=80\,\mathrm{kN}$ (변위 적합)

• 50 kN 은 두 구간이 하중을 반씩 나눈다고 본 값이다.

A지점 수평반력의 크기는 14.44 kN이다.

A(0,0), B(8,2), 힌지 E(4,10)로 놓는다. A점 모멘트 평형
$8B_y-2B_x-20\times5=0$

힌지 E 오른쪽(EDB) 모멘트 0: $4B_y+8B_x=0 \Rightarrow B_y=-2B_x$
대입하면 $-18B_x=100 \Rightarrow B_x=-5.56\,\mathrm{kN}$, 수평 평형 $A_x=-20-B_x=-14.44\,\mathrm{kN}$ (힌지 조건, 지점 높이차 반영)

• 10.00 kN 은 하중을 두 지점이 반씩 받는다고 본 값이다.

주응력은 63 MPa, 37 MPa이다.

주응력은 좌표축 회전과 무관하므로 x′, y′ 성분으로 바로 구한다(불변량).
$\sigma_{avg}=\dfrac{55+45}{2}=50$, $R=\sqrt{5^2+12^2}=13$

$\sigma_{max}=50+13=63$, $\sigma_{min}=50-13=37\,\mathrm{MPa}$ (모어 원)

• 50, 13 은 모어 원의 중심과 반지름이다.

영구 신장량은 12.75 mm이다.

전체 변형률 $\dfrac{15}{1500}=0.01$ 로 항복을 넘었다. 제하 시 탄성 기울기 E로 회복되는 변형률은 $\dfrac{300}{200000}=0.0015$, 회복 신장 $0.0015\times1500=2.25\,\mathrm{mm}$ 이다.

$\delta_{perm}=15-2.25=12.75\,\mathrm{mm}$ (잔류 변형)

• 2.25 mm 는 회복되는 탄성 신장량이다.

A점의 전단응력은 $\dfrac{2PL}{\pi d^3}$ 이다.

직사각형 막대 끝의 $P/4$ 는 원형 막대 축에서 $L/2$ 떨어져 있으므로 원형 막대에 비틀림 $T=\dfrac{P}{4}\cdot\dfrac{L}{2}=\dfrac{PL}{8}$ 를 준다.

A는 단면 최상단이므로 전단력에 의한 전단응력은 0이고 비틀림 전단응력만 남는다.
$\tau=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16}{\pi d^3}\cdot\dfrac{PL}{8}=\dfrac{2PL}{\pi d^3}$ (휨은 수직응력만 생김)

• $4P/3\pi d^2$ 는 전단력에 의한 중립축의 최대 전단응력으로, 최상단에서는 0이다.
• $4PL/\pi d^3$ 는 비틀림 팔을 L 로 잡은 값이다.

E점 휨모멘트의 크기는 20 kN·m이다.

힌지 C 왼쪽 ABC는 지점 B와 힌지 C로 지지된다. 등분포 합력 8 kN 이 B 왼쪽 2 m 에 있으므로 B점 모멘트 평형 $8\times2+4V_C=0 \Rightarrow V_C=-4\,\mathrm{kN}$, 즉 힌지는 ABC를 아래로 4 kN 당긴다.

반작용으로 캔틸레버 CE의 C끝에 상향 4 kN이 작용하고, D에 하향 3 kN 이 있다.
$|M_E|=4\times8-3\times4=20\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 44 kN·m 은 힌지 전달력을 하향으로 본 값이다.
• 12 kN·m 은 D의 3 kN 만 고려한 값이다.

A지점의 수직반력은 4 kN(↓)이다.

수직 부재의 수평 등분포하중 합력은 $10\times2=20\,\mathrm{kN}$, 높이 1 m 에 작용한다.

A점 모멘트 평형 $5R_B=10\times5+20\times1=70 \Rightarrow R_B=14\,\mathrm{kN}$
연직 평형 $R_A=10-14=-4\,\mathrm{kN}$, 즉 하향 4 kN

• 4(↑)는 부호를 반대로 해석한 값이다.

사재 AH의 부재력은 125 kN(압축)이다.

전체 하중 $5\times10+5\times30=200\,\mathrm{kN}$, 대칭이므로 $R_A=100\,\mathrm{kN}$.

AH는 수평 3 m, 연직 4 m(길이 5 m)이고, 절점 A에는 AH와 수평 하현재만 있으므로 연직 평형
$100+F_{AH}\times\dfrac{4}{5}=0 \Rightarrow F_{AH}=-125\,\mathrm{kN}$ (압축)

• 75 kN(인장)은 하현재 AB의 부재력 $125\times\frac{3}{5}$ 이다.
• 인장으로 본 것은 지점 반력이 사재를 밀어 올리는 방향과 반대이다.

A점 응력의 크기는 760 kN/$m^{2}$이다.

단면은 x방향 0.5 m, y방향 1.0 m. 하중은 $e_x=0.25\,\mathrm{m}$, $e_y=0.3\,\mathrm{m}$ 편심이고, A점은 $x=-0.25$, $y=-0.5$ 이다.

$\dfrac{P}{A}=200$, $I_y=\dfrac{1.0\times0.5^3}{12}$, $I_x=\dfrac{0.5\times1.0^3}{12}$
$\sigma_A=200-\dfrac{100\times0.25\times0.25}{0.01042}-\dfrac{100\times0.3\times0.5}{0.04167}=200-600-360=-760$ (압축 + 기준, 즉 인장 760)

• A점은 두 편심 방향 모두 하중 반대쪽 모서리여서 휨에 의한 인장(600 + 360)이 축압축 200보다 크다.

폭 b의 최솟값은 0.03 m이다.

D점 시계방향 30 kN·m 를 포함한 A점 모멘트 평형 $2R_C=80\times1+30 \Rightarrow R_C=55$, $R_A=25\,\mathrm{kN}$.

B점 정모멘트 $25\times1=25$, C~D 구간은 단모멘트만 있어 부모멘트 30 kN·m로 최대이다.
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{30\times10^3}{b\times0.1^2/6}\le600\times10^6 \Rightarrow b\ge0.03\,\mathrm{m}$

• B점 정모멘트 25 kN·m 로 설계하면 b = 0.025 m 가 되어 C~D 구간의 30 kN·m 를 견디지 못한다.

스프링 상수는 $k=\dfrac{100M}{L^2}$ 이다.

A점이 위로 $L/100$ 올라가면 스프링은 늘어나 A를 아래로 $F=k\dfrac{L}{100}$ 로 당긴다.

B점 모멘트 평형: 작용 모멘트 2M 중 M은 B의 반력모멘트가, 나머지 M은 스프링 힘이 받는다.
$F\cdot L=2M-M=M \Rightarrow F=\dfrac{M}{L}$, $k=\dfrac{M/L}{L/100}=\dfrac{100M}{L^2}$

• $200M/L^2$ 는 스프링이 2M 전체를 받는다고 본 값이다.
• $50M/L^2$·$150M/L^2$ 는 모멘트 평형을 만족하지 않는다.

최대 휨모멘트 위치는 x = 1.5 m이다.

등분포 합력 $6\times2=12\,\mathrm{kN}$(A에서 1 m)이므로 $R_B=\dfrac{12\times1}{4}=3$, $R_A=9\,\mathrm{kN}$.

최대 휨모멘트는 전단력 0 위치에서 생긴다.
$V(x)=9-6x=0 \Rightarrow x=1.5\,\mathrm{m}$ ($M_{max}=6.75\,\mathrm{kN\cdot m}$)

• 1.0 m 는 하중 합력의 위치이다.

x축에 대한 단면2차모멘트는 7,500 $\mathrm{cm}^{4}$이다.

평행축 정리 $I_x=I_{X_C}+Ad^2$ 를 쓴다.

$I_x=5000+100\times5^2=7500\,\mathrm{cm^4}$

• 2,500 $\mathrm{cm}^{4}$ 는 $Ad^2$ 를 뺀 값이다.
• 5,500 $\mathrm{cm}^{4}$ 는 거리를 제곱하지 않은 값(100×5)이고, 5,000 $\mathrm{cm}^{4}$ 는 도심축 값 그대로이다.

B점 처짐은 $\dfrac{PL^3}{32EI}$ 이다.

스프링은 C점 반력 $P/2$ 를 받아 $\dfrac{P/2}{k}=\dfrac{P}{2}\cdot\dfrac{L^3}{24EI}=\dfrac{PL^3}{48EI}$ 만큼 내려간다. 보가 A를 중심으로 강체 회전하므로 중앙 B는 그 절반 $\dfrac{PL^3}{96EI}$ 내려간다.

보 자체의 중앙 처짐 $\dfrac{PL^3}{48EI}$ 를 중첩하면
$\dfrac{PL^3}{96EI}+\dfrac{2PL^3}{96EI}=\dfrac{PL^3}{32EI}$ (스프링 강체 변위 + 휨)

• $PL^3/48EI$ 는 스프링 효과를 빠뜨린 값이다.
• $PL^3/24EI$ 는 스프링 변위를 절반으로 줄이지 않고 B점에 그대로 더한 값이다.

절대최대휨모멘트 위치는 x = 4.25 m(B에서)이다.

합력 $R=8\,\mathrm{kN}$ 은 5 kN 에서 3 kN 쪽으로 $\dfrac{3\times4}{8}=1.5\,\mathrm{m}$ 에 있다.

절대최대휨모멘트는 큰 하중(5 kN) 바로 아래에서 생기며, 지간 중앙이 5 kN 과 합력 사이를 이등분하도록 둔다. 5 kN 은 중앙에서 0.75 m B 쪽, 즉 $x=5-0.75=4.25\,\mathrm{m}$ 이다($M_{max}=3.4\times4.25\approx14.45\,\mathrm{kN\cdot m}$).

• 5.75 m 는 A 기준 거리이다.

D점 수직변위는 0.508 m(↓)이다.

아래에서부터 구간 축력(인장 +): CD $3$, BC $3+4=7$, AB $7-5=2\,\mathrm{kN}$ (B의 5 kN 은 상향).

$\delta_D=\dfrac{1}{20}\left(\dfrac{2\times1}{3}+\dfrac{7\times1}{2}+\dfrac{3\times2}{1}\right)=\dfrac{10.167}{20}\approx0.508\,\mathrm{m}$ (구간별 합산)

• 0.675 m 는 B의 하중을 하향으로 본 값이다(AB 축력 12 kN).