17년 1회차

지름을 3배로 하면 응력은 1/9배가 된다.

축응력은 $\sigma=\dfrac{P}{A}$이고 원형 단면적은 $A=\dfrac{\pi d^2}{4}$로 지름의 제곱에 비례한다.

지름이 3배면 단면적은 $3^2=9$배이고, 하중이 같으므로 응력은 $\dfrac{1}{9}$배다.

• 1/27배: 지름의 세제곱에 비례하는 양(단면계수 등)과 혼동한 값이다.
• 3배: 단면이 커지면 응력은 줄어들므로 증가할 수 없다.
• 9배: 단면적의 증가 배율을 응력 배율로 거꾸로 적용한 값이다.

단위가 다른 것은 전단 변형률로, 길이/길이 꼴의 무차원량(rad)이다.

나머지는 모두 힘/면적 차원이어서 단위가 $\mathrm{N/mm^2}$($\mathrm{MPa}$)로 같다.

• 인장 응력: $\sigma=\dfrac{P}{A}$로 응력 단위다.
• 비틀림 응력: 비틀림에 의한 전단응력 $\tau=\dfrac{Tr}{J}$로 역시 응력 단위다.
• 철근의 탄성계수: $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}$에서 변형률이 무차원이므로 응력과 같은 단위다.

두 힘의 합력 크기는 5√7 kN이다.

$\mathrm{P}_{1}$은 x축 위로 30°, $\mathrm{P}_{2}$는 x축 아래로 30° 방향이므로 두 힘 사이의 각은 60°이다.

$R=\sqrt{P_1^2+P_2^2+2P_1P_2\cos 60^\circ}=\sqrt{25+100+50}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}\,\mathrm{kN}$

성분으로 확인하면 $R_x=(5+10)\cos 30^\circ=\dfrac{15\sqrt{3}}{2}$, $R_y=(5-10)\sin 30^\circ=-\dfrac{5}{2}$이고 $R=\sqrt{\dfrac{675}{4}+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{175}$로 같다.

전단에 대해 허용할 수 있는 최대하중은 3.00 kN이다.

자유단 집중하중을 받는 캔틸레버는 전 구간에서 전단력이 $V=P$이고, 원형 단면의 최대 전단응력은 중립축에서 평균 전단응력의 4/3배다.

$\tau_{max}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{V}{A}\le\tau_a$
$P\le\dfrac{3A\tau_a}{4}=\dfrac{3\times 4000\times 1}{4}=3000\,\mathrm{N}=3.00\,\mathrm{kN}$

보 길이 2 m는 휨모멘트에만 영향을 주며, 전단 검토에는 쓰이지 않는다.

도심까지의 거리 c는 5a/6이다.

빗금 단면을 2a×2a 정사각형에서 오른쪽 위 a×a 정사각형을 뺀 것으로 보고, x축에 대한 단면 1차모멘트를 면적으로 나눈다.

$A=4a^2-a^2=3a^2$
$Q_x=4a^2\times a-a^2\times\dfrac{3a}{2}=\dfrac{5a^3}{2}$
$c=\dfrac{Q_x}{A}=\dfrac{5a^3}{2}\times\dfrac{1}{3a^2}=\dfrac{5a}{6}$

아래 2a×a 직사각형(도심 높이 a/2)과 왼쪽 위 a×a 정사각형(도심 높이 3a/2)으로 나눠도 $c=\dfrac{2a^2\cdot\frac{a}{2}+a^2\cdot\frac{3a}{2}}{3a^2}=\dfrac{5a}{6}$로 같다.

부재력이 0인 부재는 AE, GF, BC, CD, HD의 5개다.

하중·지점이 없는 절점에 일직선이 아닌 두 부재만 모이면 둘 다 0이고, 세 부재 중 두 부재가 일직선이면 나머지 하나가 0이라는 0부재 판별을 차례로 적용한다.

• 절점 D: 하중·지점 없이 HD와 CD만 모이므로 HD=0, CD=0
• 절점 C: BC·CD가 수평 일직선이고 HC가 연직이므로 HC가 하중 P를 받고(인장), 수평 평형에서 BC=CD=0
• 절점 G: EG와 GB가 한 직선(E–G–B) 위에 있으므로 GF=0
• 절점 A: 벽면 로울러의 반력이 수평뿐이고 AB도 수평이므로 연직 부재 AE=0

나머지 EF, EG, GB, FB, FH, BH, HC, AB는 하중 P를 지점 E·A로 전달하므로 부재력이 생긴다.

강봉에 저장된 변형에너지는 50 N·m이다.

선형탄성 봉의 변형에너지는 하중-신장량 선도 아래 삼각형 넓이로 $U=\dfrac{1}{2}P\delta$이다.

$U=\dfrac{1}{2}\times 100{,}000\,\mathrm{N}\times 0.001\,\mathrm{m}=50\,\mathrm{N\cdot m}$

하중과 신장량이 모두 주어졌으므로 단면 치수(한 변 40 mm)는 이 계산에 필요하지 않다.

부재력은 AB=0, BC=20αE$\mathrm{A}_{2}$(압축), AC=0이다.

B·C가 모두 힌지 지점이라 BC 부재는 늘어나지 못하지만, AB·AC는 절점 A가 위로 이동하면서 구속 없이 늘어날 수 있다.

BC의 막힌 열변형률 $\varepsilon=\alpha\Delta T=20\alpha$가 그대로 압축응력이 된다.
$F_{BC}=EA_2\,\alpha\Delta T=20\alpha EA_2$(압축)

이 압축력은 B·C 지점의 수평반력과 평형을 이루므로 AB·AC에는 힘이 필요 없다.

• 세 부재 모두 0: 양 지점이 힌지라 BC의 신장이 막히므로 성립하지 않는다.
• AB·AC 인장 20αE$\mathrm{A}_{1}$: AB·AC의 신장은 절점 A의 이동으로 흡수되어 힘이 생기지 않는다.
• BC 인장 20αE$\mathrm{A}_{2}$: 늘어나려는 부재를 막으면 인장이 아니라 압축이 생긴다.

구조물의 부정정 차수는 1차이다.

A·B 고정단 반력 3+3=6개에 두 보를 잇는 로울러 C가 전달하는 연직력 1개를 더하면 미지력은 7개이고, 강체 2개의 평형방정식은 3×2=6개다.

$N=7-6=1$

각 캔틸레버는 단독으로 정정이므로, 로울러 C를 통해 생기는 여분의 연직력 1개만큼 부정정이 된다.

보의 최대 휨모멘트는 30 kN·m(보 중앙)이다.

연직 평형으로 위로 작용하는 $q_{2}$를 구한다.
$q_2(2a+b)=q_1b\;\Rightarrow\;q_2\times 10=10\times 6\;\Rightarrow\;q_2=6\,\mathrm{kN/m}$

하중이 좌우대칭이므로 전단력이 0이 되는 중앙(왼쪽 끝에서 5 m)에서 휨모멘트가 최대다.
$M=6\times 5\times 2.5-10\times 3\times 1.5=75-45=30\,\mathrm{kN\cdot m}$

$q_{1}$이 시작하는 점(왼쪽 끝에서 2 m)의 모멘트는 $6\times 2\times 1=12\,\mathrm{kN\cdot m}$로 중앙보다 작다.

지점 A의 반력모멘트 크기는 70 kN·m이다.

A는 고정단이고 외력은 10 kN 연직하중 하나뿐이므로, A에 대한 모멘트 평형에는 하중 작용선과 A 사이의 수평거리만 필요하다.

$\sum M_A=0:\;M_A=10\,\mathrm{kN}\times 7\,\mathrm{m}=70\,\mathrm{kN\cdot m}$

부재가 꺾여 있어도 연직하중의 모멘트 팔은 수평거리이므로 높이 4 m는 계산에 들어가지 않는다.

• 100 kN·m: 하중이 D점(A에서 10 m) 위치에 있다고 본 값이다.
• 130 kN·m: 하중이 B점(A에서 13 m) 위치에 있다고 본 값이다.

하중작용점의 수직 처짐은 4$\mathrm{PL}^{3}$/3EI이다.

내민 부분을 롤러 위치에 고정된 캔틸레버로 본 처짐에, 롤러 지점의 처짐각에 의한 강체 회전 처짐을 더한다(중첩).

롤러 위 모멘트 $M=PL$가 지간 3L 단순보 끝에 작용할 때 그 끝의 처짐각
$\theta=\dfrac{M(3L)}{3EI}=\dfrac{PL\cdot 3L}{3EI}=\dfrac{PL^2}{EI}$

$\delta=\dfrac{PL^3}{3EI}+\theta L=\dfrac{PL^3}{3EI}+\dfrac{PL^3}{EI}=\dfrac{4PL^3}{3EI}$

반력의 총 개수는 6개이다.

지점 종류별 반력 수를 더한다.

• A 로울러: 지지면에 수직한 반력 1개
• C 힌지: 수평·연직 반력 2개
• D 고정단: 수평·연직 반력과 모멘트 3개

$1+2+3=6$이며, B는 강결 절점이므로 반력이 아닌 내부 연결이다. 등변분포하중의 형태는 반력 개수에 영향을 주지 않는다.

D점의 전단력은 P/2 + wL/4이다.

하중이 대칭(전체 등분포 w, 중앙 C에 P)이므로 $R_A=\dfrac{wL}{2}+\dfrac{P}{2}$이다.

A에서 D까지 L/4 구간의 분포하중을 빼면
$V_D=R_A-w\cdot\dfrac{L}{4}=\dfrac{P}{2}+\dfrac{wL}{4}$

• P/2 + wL/2: A 지점 바로 오른쪽의 전단력(반력 $\mathrm{R}_{A}$)으로, D까지의 분포하중을 빼지 않은 값이다.
• wL/2: 집중하중 P의 영향을 빠뜨린 반력 값이다.
• P/2: 분포하중 w의 영향을 모두 빠뜨린 값이다.

3P는 D에서 x = 4 m(C에서 1 m) 떨어진 곳에 작용시켜야 한다.

전체 하중이 3P+P=4P이므로 두 반력이 같으려면 $R_A=R_B=2P$이다. 보 CD가 C·D를 통해 아래 보에 전달하는 두 힘의 합력은 3P와 같은 위치에 작용하므로, 3P를 A에서 $7-x$에 놓인 하중으로 보면 된다.

$\sum M_A=0:\;R_B\times 10=3P(7-x)+P\times 11$
$20P=21P-3Px+11P\;\Rightarrow\;3x=12\;\Rightarrow\;x=4\,\mathrm{m}$

확인: C·D 전달력은 $\dfrac{12P}{5}$, $\dfrac{3P}{5}$이고 $\dfrac{12P}{5}\times 2+\dfrac{3P}{5}\times 7+P\times 11=20P$이므로 $R_B=2P$다.

지간 L의 최대 길이는 16 m이다.

등분포하중 합력 $32\times\dfrac{3L}{4}=24L\,\mathrm{kN}$이 B에서 $\dfrac{3L}{8}$에 작용하므로 B 쪽 반력이 커서 최대 전단력은 $\mathrm{R}_{B}$다.
$R_B=24L\times\dfrac{5}{8}=15L\,\mathrm{kN},\;R_A=9L\,\mathrm{kN}$

직사각형 단면은 $\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{V}{A}$이므로
$V\le\dfrac{2\tau_aA}{3}=\dfrac{2\times 1.5\times(400\times 600)}{3}=240{,}000\,\mathrm{N}=240\,\mathrm{kN}$

$15L\le 240\;\Rightarrow\;L\le 16\,\mathrm{m}$

A–A 축에 대한 세장비는 4L/d이다.

세장비는 $\lambda=\dfrac{L}{r}$이고, 회전반경은 $r=\sqrt{\dfrac{I}{A}}$이다.

$I=\dfrac{\pi d^4}{64},\;A=\dfrac{\pi d^2}{4}\;\Rightarrow\;r=\sqrt{\dfrac{d^2}{16}}=\dfrac{d}{4}$
$\lambda=\dfrac{L}{d/4}=\dfrac{4L}{d}$

• L/d: 회전반경 대신 지름을 그대로 쓴 값이다.
• 2L/d: 회전반경을 반지름 d/2로 잘못 본 값이다.
• 2√2L/d: 회전반경을 $\dfrac{d}{2\sqrt{2}}$로 본 값으로, 원형 단면의 r = d/4와 다르다.

부재력은 $\mathrm{F}_{CG}$=20 kN(압축), $\mathrm{F}_{BG}$=0이다.

절점 G에는 하중이 없고 AG·GC가 한 직선(A–C) 위에 있으므로 나머지 부재 BG는 0부재다. 같은 이유로 DF=0이고, 이어서 절점 B·D에서 AB·BC·CD·DE도 0이 된다.

절점 C의 하중 $20\sqrt{3}\,\mathrm{kN}$은 수평과 60°를 이루는 두 부재 CG·CF가 대칭으로 나눠 받는다.
$2F\sin 60^\circ=20\sqrt{3}\;\Rightarrow\;F=\dfrac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=20\,\mathrm{kN}$(압축)

• BG 20 kN(압축): 절점 G의 일직선 조건상 BG에는 힘이 생기지 않는다.
• CG 30 kN(압축): 절점 C의 연직 평형 $2F\sin 60^\circ=20\sqrt{3}$을 만족하지 않는다.

케이블의 장력은 T = 300 kN이다.

마찰 없는 도르래에서는 한 케이블의 장력이 전 구간에서 같으므로, 움직도르래마다 지지하는 줄의 가닥 수로 하중을 나눈다.

아래 움직도르래는 왼쪽 고정대에 매인 케이블 두 가닥이 1,200 kN을 지지하므로 장력이 $\dfrac{1200}{2}=600\,\mathrm{kN}$이고, 이 케이블 끝이 가운데 도르래 축을 600 kN으로 당긴다.

가운데 움직도르래는 오른쪽 고정대에 매인 케이블 두 가닥이 600 kN을 지지하므로 장력이 $\dfrac{600}{2}=300\,\mathrm{kN}$이다. 이 케이블이 위 고정도르래를 넘어 T가 되며, 고정도르래는 방향만 바꾸므로 60°의 각도와 관계없이 $T=300\,\mathrm{kN}$이다.

최대 휨모멘트는 x = 3 m, $\mathrm{M}_{max}$ = 90 kN·m이다.

등분포하중 합력 $20\times 4=80\,\mathrm{kN}$이 A에서 2 m에 작용하므로
$R_B=\dfrac{80\times 2}{8}=20\,\mathrm{kN},\;R_A=80-20=60\,\mathrm{kN}$

휨모멘트는 전단력이 0인 단면에서 최대다.
$V(x)=60-20x=0\;\Rightarrow\;x=3\,\mathrm{m}$

$M_{max}=60\times 3-\dfrac{20\times 3^2}{2}=180-90=90\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 2 m, 80 kN·m: 합력 작용점의 모멘트로, 그 위치는 전단력이 0이 아니어서 최대가 아니다.
• 2 m, 90 kN·m: 위치가 틀렸고 그 위치의 모멘트도 80 kN·m이다.
• 3 m, 80 kN·m: 위치는 맞지만 모멘트 값이 계산과 다르다.