18년 1회차

남은 부분의 도심 거리는 $\bar{y}=\dfrac{2r}{3(4-\pi)}$이다.

정사각형에서 원점에 중심을 둔 1/4원을 뺀 합성 단면으로 보고, x축에 대한 단면1차모멘트를 뺀다.
정사각형: $A_1=r^2,\ y_1=\dfrac{r}{2},\ Q_1=\dfrac{r^3}{2}$
1/4원: $A_2=\dfrac{\pi r^2}{4},\ y_2=\dfrac{4r}{3\pi},\ Q_2=\dfrac{r^3}{3}$

$\bar{y}=\dfrac{Q_1-Q_2}{A_1-A_2}=\dfrac{r^3/6}{r^2(4-\pi)/4}=\dfrac{2r}{3(4-\pi)}\approx 0.78r$

• $\dfrac{3r}{4(4-\pi)}\approx 0.87r$ 는 위 계산값과 다르다.
• $\dfrac{(3\pi-4)r}{3\pi}=r-\dfrac{4r}{3\pi}$ 는 1/4원 도심을 반대쪽 변에서 잰 거리일 뿐 남은 부분의 도심이 아니다.
• $\dfrac{(\pi-1)r}{\pi}\approx 0.68r$ 도 단면1차모멘트 계산과 맞지 않는다.

C점 수평변위가 0이 되려면 $Q=3.0P$이어야 한다.

고정단 A에서 B까지(길이 L)는 Q와 P가 함께, B에서 C까지(길이 2L)는 P만 작용한다. 중첩으로 C점 변위를 구하면
Q에 의한 변위(오른쪽): $\dfrac{QL}{EA}$
P에 의한 변위(왼쪽): $\dfrac{P\cdot 3L}{EA}$

$\dfrac{QL}{EA}-\dfrac{3PL}{EA}=0\ \Rightarrow\ Q=3P$
Q는 AB 구간에만 늘음을 주고, P는 전체 길이 3L에 걸쳐 줄음을 주기 때문이다.

B점의 최대 휨모멘트는 13.2 kN·m이다.

A–C 경간 5 m 단순보의 B점(A에서 2 m) 휨모멘트 영향선은 B에서 꼭짓점 $\dfrac{2\times 3}{5}=1.2$ 인 삼각형이고, 내민 구간 C 오른쪽은 음(−)의 값이다. 최대값은 큰 하중을 꼭짓점에 놓을 때 나온다.

10 kN을 B에 놓으면 5 kN은 A 왼쪽 보 밖, 3 kN은 B에서 2 m 오른쪽(종거 $0.4\times 1=0.4$)에 온다.
$M_B=10(1.2)+3(0.4)=13.2\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 5 kN을 B에 두면 10 kN은 C(종거 0), 3 kN은 내민 끝(종거 −0.8)이라 $6-2.4=3.6\ \mathrm{kN\cdot m}$ 에 그친다.
• 3 kN을 B에 두면 10 kN이 A 위(종거 0)이고 5 kN은 보 밖이라 $3\times1.2=3.6\ \mathrm{kN\cdot m}$ 에 그친다. 따라서 최대는 10 kN을 B에 둔 경우다.

최대 휨모멘트는 A점에서 6 m 떨어진 집중하중 작용점에서 생긴다.

B점에 대한 모멘트 평형으로 A점 반력을 구한다.
$R_A=\dfrac{(2\times 6)(6)+12(3)}{9}=\dfrac{72+36}{9}=12\ \mathrm{kN}$, $R_B=24-12=12\ \mathrm{kN}$

휨모멘트 최대점은 전단력이 0인 곳이다. 분포하중 구간에서 $V(x)=12-2x$ 이므로 $x=6\ \mathrm{m}$ 에서 0이 되고, 바로 그 점에서 12 kN 집중하중으로 전단력 부호가 바뀐다.
$M_{max}=12(6)-2(6)(3)=36\ \mathrm{kN\cdot m}$, 따라서 3·4·5 m 위치는 전단력이 0인 점이 아니다.

A점의 수평 반력은 20 kN이다.

양단 고정이라 온도 강하에 의한 수축이 완전히 구속되어 인장응력이 생긴다.
$\sigma=E\alpha|\Delta T|=200000\times 5\times 10^{-5}\times 10=100\ \mathrm{MPa}$

이 값은 항복응력 200 MPa보다 작으므로 탄성 범위이고(그래프의 기울기 200/0.001 = 200 GPa와도 일치), 반력은
$R=\sigma A=100\times 200=20000\ \mathrm{N}=20\ \mathrm{kN}$

• 40 kN은 항복응력 200 MPa에 단면적을 곱한 소성 상태의 힘으로, 응력이 항복에 이르지 않았으므로 해당하지 않는다.
• 30·50 kN은 구속 변형률 $5\times 10^{-4}$ 에서 나오지 않는 값이다.

B점 반력이 A점 반력의 2배가 되는 분포하중은 $w=\dfrac{1}{2}\ \mathrm{kN/m}$이다.

삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{1}{2}(6)(w)=3w$, 작용점은 A에서 4 m이다. 돌출부의 두 3 kN 힘은 크기가 같고 방향이 반대인 우력으로, 시계방향 $3\times 2=6\ \mathrm{kN\cdot m}$ 이다(수평력은 상쇄).

$\sum M_A=0:\ 12R_B=3w(4)+6\ \Rightarrow\ R_B=w+0.5$
$R_A=3w-R_B=2w-0.5$
$w+0.5=2(2w-0.5)\ \Rightarrow\ 3w=1.5\ \Rightarrow\ w=0.5$

n–n 단면의 전단력 크기는 9 kN이다.

A가 고정단이므로 단면 n–n의 자유단 쪽(B–C)만 보면, 작용하는 외력은 C점의 연직하중 15 kN 하나다. 전단력은 이 힘의 부재축에 직각인 성분이다.

AB 부재는 수평 3 m, 연직 4 m로 길이 5 m이다.
직각 성분: $V=15\times\dfrac{3}{5}=9\ \mathrm{kN}$
축방향 성분: $N=15\times\dfrac{4}{5}=12\ \mathrm{kN}$

• 12 kN은 축방향력으로, 전단력과 혼동한 값이다.
• 15 kN은 연직하중을 분해하지 않은 값이다.
• 6 kN은 부재 기울기 성분과 맞지 않는다.

C점의 휨모멘트는 26 kN·m이다.

사다리꼴 하중을 등분포 2 kN/m(합력 18 kN, A에서 4.5 m)와 0→2 kN/m 삼각형(합력 9 kN, A에서 6 m)으로 나눈다.
$R_A=\dfrac{18(4.5)+9(3)}{9}=\dfrac{81+27}{9}=12\ \mathrm{kN}$

A–C 구간(3 m)의 하중: 등분포분 $2\times 3=6\ \mathrm{kN}$(C에서 1.5 m), 삼각형분은 C에서 세기 $\dfrac{2}{3}$ 이므로 $\dfrac{1}{2}(3)\left(\dfrac{2}{3}\right)=1\ \mathrm{kN}$(C에서 1 m).

$M_C=12(3)-6(1.5)-1(1)=36-9-1=26\ \mathrm{kN\cdot m}$
삼각형분의 A–C 구간 몫을 빼먹으면 27이 나오니 주의한다.

최대 길이는 폭의 $8\sqrt{3}$ 배이다.

세장비는 최소 회전반경으로 계산한다. 폭 b 방향이 약축이다.
$I_{min}=\dfrac{2b\cdot b^3}{12}=\dfrac{b^4}{6},\quad A=2b^2$
$r_{min}=\sqrt{\dfrac{I_{min}}{A}}=\sqrt{\dfrac{b^2}{12}}=\dfrac{b}{2\sqrt{3}}$

$\lambda=\dfrac{L}{r_{min}}\le 48\ \Rightarrow\ L\le 48\times\dfrac{b}{2\sqrt{3}}=\dfrac{24b}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\,b$

강축(높이 2b 방향) 회전반경 $\dfrac{b}{\sqrt{3}}$ 을 쓰면 $16\sqrt{3}\,b$ 가 되어 과대평가된다. 좌굴은 약축으로 먼저 일어나므로 최소 회전반경이 기준이다.

B점의 수평변위는 2.5 mm이다.

AB 부재(길이 5 m)의 자유 열팽창량은
$\delta=\alpha\Delta T L=4\times 10^{-5}\times 10\times 5000=2\ \mathrm{mm}$

정정 트러스이므로 부재력은 생기지 않고 변형만 생긴다. BC는 연직 부재이고 길이가 변하지 않으므로 B의 연직변위는 0이다. AB의 늘음은 B 변위의 AB 방향 성분과 같다.
$u\cos\theta=\delta\ \Rightarrow\ u\times\dfrac{4}{5}=2\ \Rightarrow\ u=2.5\ \mathrm{mm}$

• 2.0 mm는 AB의 늘음 자체를 수평변위로 본 값이다.
• 1.5 mm·1.0 mm는 AB의 늘음보다 작아, BC가 B의 연직 이동을 막는 변위 적합 관계와 맞지 않는다.

자유단 처짐각이 0이 되는 모멘트는 $M=\dfrac{PL}{2}$이다.

캔틸레버 자유단의 처짐각 공식을 중첩한다.
집중하중 P: $\theta_P=\dfrac{PL^2}{2EI}$
모멘트 M: $\theta_M=\dfrac{ML}{EI}$

그림의 M은 P에 의한 회전과 반대 방향이므로
$\dfrac{ML}{EI}=\dfrac{PL^2}{2EI}\ \Rightarrow\ M=\dfrac{PL}{2}$

• $\dfrac{2PL}{3}$ 는 처짐을 0으로 만드는 조건($\dfrac{ML^2}{2EI}=\dfrac{PL^3}{3EI}$)에서 나오는 값이다.
• $PL$·$\dfrac{PL}{3}$ 은 처짐각 공식과 맞지 않는다.

C점 처짐은 B점 처짐의 3.0배이다.

모멘트 M이 B에 작용하면 A–B 구간만 휘고, B–C 구간은 휨모멘트가 0이라 직선으로 기울어진다.
$\delta_B=\dfrac{ML^2}{2EI},\quad \theta_B=\dfrac{ML}{EI}$

$\delta_C=\delta_B+\theta_B L=\dfrac{ML^2}{2EI}+\dfrac{ML^2}{EI}=\dfrac{3ML^2}{2EI}$
$\dfrac{\delta_C}{\delta_B}=3$

• 4.0배는 길이 2L 전체에 모멘트가 작용한 처짐 $\dfrac{M(2L)^2}{2EI}$ 을 쓴 경우다.
• 3.5·4.5배는 직선 연장 관계와 맞지 않는다.

최대전단응력이 가장 큰 것은 세로 인장 2σ와 가로 압축 σ가 작용하는 요소이다.

전단응력이 없으면 두 수직응력이 곧 주응력이고, 면내 최대전단응력은 $\tau_{max}=\dfrac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2}$ 이다. 인장과 압축이 섞이면 차이가 커진다.

인장 2σ, 압축 σ: $\tau_{max}=\dfrac{2\sigma-(-\sigma)}{2}=1.5\sigma$

• 세로 인장 2σ, 가로 인장 σ: $\dfrac{2\sigma-\sigma}{2}=0.5\sigma$(면외까지 고려해도 σ)
• 세로 인장 σ, 가로 압축 σ/2: $\dfrac{\sigma+0.5\sigma}{2}=0.75\sigma$
• 세로 인장 σ, 가로 압축 σ: $\dfrac{\sigma+\sigma}{2}=\sigma$

케이블 AD의 인장력은 $\dfrac{1}{3}W$이다.

케이블 강성은 $k=\dfrac{EA}{l}$ 이므로 AD, BE, CF의 강성은 $k,\ \dfrac{k}{2},\ \dfrac{k}{3}$ 이다. 강체보의 처짐은 직선이므로 D, E, F의 처짐을 $\delta,\ \delta+\phi L,\ \delta+2\phi L$ 로 둔다.

E점에 대한 모멘트 평형에서 $T_D=T_F$:
$k\delta=\dfrac{k}{3}(\delta+2\phi L)\ \Rightarrow\ \phi L=\delta$
$T_E=\dfrac{k}{2}(2\delta)=k\delta$, 따라서 세 케이블 장력이 모두 같아 $T_D=\dfrac{W}{3}$

• $\dfrac{1}{2}W$ 는 가운데 케이블이 없다고 보고 양 끝 두 케이블로 나눈 값이다.
• $\dfrac{1}{4}W$·$\dfrac{2}{3}W$ 는 변형 적합조건을 만족하지 않는다.

세 사각형의 단면 2차모멘트 비는 1 : 7 : 19이다.

평행축 정리 $I_x=\dfrac{bh^3}{12}+bh\,y_0^2$ 를 쓴다. 도심 높이는 A, B, C가 각각 $\dfrac{h}{2},\ \dfrac{3h}{2},\ \dfrac{5h}{2}$ 이다.

$I_A=\dfrac{bh^3}{12}+\dfrac{bh^3}{4}=\dfrac{4bh^3}{12}$
$I_B=\dfrac{bh^3}{12}+\dfrac{9bh^3}{4}=\dfrac{28bh^3}{12}$
$I_C=\dfrac{bh^3}{12}+\dfrac{25bh^3}{4}=\dfrac{76bh^3}{12}$
$4:28:76=1:7:19$

• 1 : 4 : 19, 1 : 4 : 20: B는 A의 $28/4=7$ 배여야 한다.
• 1 : 7 : 20: C는 A의 $76/4=19$ 배이므로 맞지 않는다.

D점의 처짐각 크기는 $\dfrac{5PL^2}{36EI}$이다.

C는 경간 2L의 중앙이므로 중앙 집중하중 단순보이고, 지점에서 x만큼 떨어진 점(하중점 이전)의 처짐각은
$\theta(x)=\dfrac{P}{16EI}\left(\ell^2-4x^2\right),\quad \ell=2L$

D는 B에서 $x=\dfrac{2L}{3}$ 이므로
$\theta_D=\dfrac{P}{16EI}\left(4L^2-\dfrac{16L^2}{9}\right)=\dfrac{P}{16EI}\cdot\dfrac{20L^2}{9}=\dfrac{5PL^2}{36EI}$

• $\dfrac{5PL^2}{6EI}$·$\dfrac{5PL^2}{12EI}$: 지점 처짐각 $\dfrac{P(2L)^2}{16EI}=\dfrac{PL^2}{4EI}$ 보다 크다. 처짐각은 지점에서 하중점으로 갈수록 줄어들므로 불가능하다.
• $\dfrac{5PL^2}{24EI}$: 위 식에 x를 대입한 결과와 다르다.

부재 CD의 수직응력은 $\dfrac{P}{5A}$(압축)이다.

양단 고정이므로 하중 P는 두 부재의 축강성 비로 나뉜다.
$k_{BC}=\dfrac{E(2A)}{L/3}=\dfrac{6EA}{L},\quad k_{CD}=\dfrac{EA}{2L/3}=\dfrac{1.5EA}{L}$

$N_{CD}=P\cdot\dfrac{1.5}{6+1.5}=\dfrac{P}{5}$
$\sigma_{CD}=\dfrac{N_{CD}}{A}=\dfrac{P}{5A}$

• $\dfrac{P}{3A}$ 는 단면적 차이를 무시하고 길이 비만으로 나눈 값이다.
• $\dfrac{2P}{5A}$ 는 BC 부재의 응력 $\dfrac{0.8P}{2A}$ 이다.
• $\dfrac{P}{6A}$ 는 강성 비와 맞지 않는다.

CB 부재력의 크기는 10.0 kN(압축)이다.

절점 D: 부재 DC(기울기 3/4)와 DB(연직)만 만난다. 수평 평형에서 DC는 0부재($F_{DC}=0$), 연직 평형에서 $F_{DB}=12\ \mathrm{kN}$(압축)이다.

절점 C: 부재 CA와 CB는 수평과 이루는 기울기가 각각 3/4로 대칭이다.
수평: $-\dfrac{4}{5}F_{CA}+\dfrac{4}{5}F_{CB}=0\ \Rightarrow\ F_{CA}=F_{CB}$
연직: $-\dfrac{3}{5}(F_{CA}+F_{CB})=12\ \Rightarrow\ F_{CB}=-10\ \mathrm{kN}$

C점 하중 12 kN을 대칭인 CA, CB가 연직성분 6 kN씩 나눠 받으므로 $6\div\dfrac{3}{5}=10\ \mathrm{kN}$ 이며, 12.5·7.5·5.0 kN은 이 평형을 만족하지 않는다.

필요한 a의 최솟값은 10 mm이다.

바닥 단면은 $2a\times a$, 하중은 긴 변 방향으로 $e=\dfrac{2a}{3}$ 편심이다.
$A=2a^2,\quad S=\dfrac{a(2a)^2}{6}=\dfrac{2a^3}{3}$

$\dfrac{P}{A}=\dfrac{10000}{2a^2}=\dfrac{5000}{a^2},\quad \dfrac{Pe}{S}=\dfrac{10000\cdot 2a/3}{2a^3/3}=\dfrac{10000}{a^2}$
최대 압축: $\dfrac{15000}{a^2}\le 150\ \Rightarrow\ a^2\ge 100\ \Rightarrow\ a\ge 10\ \mathrm{mm}$

반대편 인장응력은 $\dfrac{5000}{a^2}$ 로 압축보다 작으므로 압축 측이 지배한다.

F점의 수직변위는 $\dfrac{32\sqrt{3}PL}{3EA}$이다.

C점에 대한 모멘트 평형으로 케이블 장력을 구한다.
$T\sin 30^\circ\cdot L=P\cdot 2L\ \Rightarrow\ T=4P$
케이블 길이 $l=\dfrac{L}{\cos 30^\circ}=\dfrac{2L}{\sqrt{3}}$, 늘음 $\delta=\dfrac{Tl}{EA}=\dfrac{8PL}{\sqrt{3}EA}$

D점의 연직변위 중 케이블 방향 성분이 늘음과 같다.
$v_D\sin 30^\circ=\delta\ \Rightarrow\ v_D=\dfrac{16PL}{\sqrt{3}EA}$
F는 C에서 2L이므로 $v_F=2v_D=\dfrac{32PL}{\sqrt{3}EA}=\dfrac{32\sqrt{3}PL}{3EA}$

• $\dfrac{16\sqrt{3}PL}{3EA}$ 는 D점 변위에서 멈춘 값이다.
• $\dfrac{8\sqrt{3}PL}{3EA}$ 는 케이블 늘음 자체이고, $\dfrac{4\sqrt{3}PL}{3EA}$ 는 위 변위 관계와 맞지 않는다.