20년 1회차

0이 아닌 값을 갖는 것은 양단지점의 중립축에서의 전단응력이다.

등분포하중 단순보는 지점에서 전단력이 최대 $V=\dfrac{wL}{2}$이고 휨모멘트는 0이다. 직사각형 단면의 전단응력은 중립축에서 최대 $\tau=\dfrac{3V}{2A}$이므로 지점 중립축의 전단응력은 0이 아니다.

• 중립축에서의 휨응력: $\sigma=\dfrac{My}{I}$에서 $y=0$이므로 0이다.
• 단면 상단과 하단의 전단응력: 자유 표면이라 단면1차모멘트 $Q=0$이 되어 0이다.
• 양단지점에서의 휨응력: 지점의 휨모멘트가 0이므로 0이다.

옳은 설명은 지점 간 거리가 증가하면 지점 처짐각의 크기는 증가한다는 것이다.

중앙 집중하중 단순보의 지점 처짐각과 중앙 처짐은 다음과 같다.
$\theta_A=\dfrac{PL^2}{16EI},\ \delta_C=\dfrac{PL^3}{48EI}$
둘 다 EI에 반비례하고 L의 거듭제곱에 비례한다.

• 탄성계수가 증가하면 처짐각이 증가한다는 설명: EI가 커지므로 처짐각은 감소한다.
• 휨강성이 증가하면 C점 처짐량이 증가한다는 설명: 처짐은 EI에 반비례하므로 감소한다.
• 지점 간 거리가 증가하면 C점 처짐량이 감소한다는 설명: 처짐은 $L^3$에 비례하므로 증가한다.

등분포하중의 크기는 w = 1.5 kN/m이다.

힌지 C로 나눈 부재 CB는 C와 B에서 지지되는 단순보이고 9kN이 중앙에 작용한다.
$R_B=R_C=\dfrac{9}{2}=4.5\ \mathrm{kN}$
C점의 힌지력 4.5kN은 캔틸레버 AC의 C 끝에 하향으로 전달된다.

캔틸레버 AC의 연직 평형: $R_A=3w+4.5$
조건 $R_A=2R_B=9\ \mathrm{kN}$에서 $3w=4.5$
$w=1.5\ \mathrm{kN/m}$

절대 최대 전단력의 크기는 23 kN이다.

단순보의 최대 전단력은 지점 바로 옆에서 생기므로 지점 반력의 최댓값을 찾는다. 고정하중에 의한 지점 전단력은 $\dfrac{wL}{2}=\dfrac{2\times10}{2}=10\ \mathrm{kN}$이다.

이동하중은 큰 하중 10kN을 지점 B 위에 두고 5kN을 4m 안쪽에 둘 때 최대이다.
$R_B=10+5\times\dfrac{6}{10}=13\ \mathrm{kN}$
5kN을 A 위에, 10kN을 안쪽에 두면 $5+10\times\dfrac{6}{10}=11\ \mathrm{kN}$으로 작다.

$V_{max}=10+13=23\ \mathrm{kN}$

단면2차모멘트의 비는 7/8이다.

x축이 직사각형 밑변에 있으므로 밑변축 공식을 쓴다.
$I_{x1}=\dfrac{bh^3}{3}$

빗금친 위쪽 절반은 전체에서 아래쪽 절반을 뺀다.
$I_{x2}=\dfrac{bh^3}{3}-\dfrac{b(h/2)^3}{3}=\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{bh^3}{3}$
$\dfrac{I_{x2}}{I_{x1}}=\dfrac{7}{8}$

고정단 C의 모멘트 반력 크기는 18 kN·m이다.

A와 C가 고정이고 축방향 변형을 무시하면 B는 이동하지 않으므로 절점 B의 회전만 미지수이다. 먼 단이 고정인 부재의 강도는 $\dfrac{4EI}{L}$이다.
$K_{BA}=\dfrac{4EI}{3},\ K_{BC}=\dfrac{4EI}{4}=EI$

분배모멘트: $M_{BC}=84\times\dfrac{EI}{4EI/3+EI}=84\times\dfrac{3}{7}=36\ \mathrm{kN\cdot m}$
전달률 1/2로 C에 전달: $M_C=\dfrac{36}{2}=18\ \mathrm{kN\cdot m}$

상수는 a = 1/2, b = 5/8이다.

B의 수직재에 걸린 두 힘 P는 팔 길이 L의 우력 $PL$을, D의 두 힘은 반대 방향 우력 $PL$을 만든다. 두 우력이 상쇄되어 지점 반력은 0이므로 휨모멘트는 B~D 구간에서만 크기 PL로 일정하고 나머지 구간은 0이다.

공액보에 크기 $\dfrac{PL}{EI}$, 길이 L인 분포하중을 재하하면 대칭이므로
$\theta_A=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{PL}{EI}\cdot L=\dfrac{PL^2}{2EI}$

C점(A에서 1.5L)의 공액보 휨모멘트가 처짐이다.
$\delta_C=\dfrac{PL^2}{2EI}\cdot\dfrac{3L}{2}-\dfrac{PL}{EI}\cdot\dfrac{L}{2}\cdot\dfrac{L}{4}=\dfrac{5PL^3}{8EI}$

인장응력이 생기지 않는 단면 높이의 최솟값은 h = 120 mm이다.

최대 휨모멘트(중앙): $M=\dfrac{PL}{4}=\dfrac{2\times2}{4}=1\ \mathrm{kN\cdot m}$
축압축력 50kN이 도심에 작용하므로 하단 응력은 $-\dfrac{N}{A}+\dfrac{M}{Z}$이다.

인장이 없으려면 $\dfrac{N}{bh}\ge\dfrac{6M}{bh^2}$, 즉 편심 M/N이 핵반경 h/6 이하여야 한다.
$h\ge\dfrac{6M}{N}=\dfrac{6\times10^6}{50\times10^3}=120\ \mathrm{mm}$

스프링 강성은 $k=\dfrac{48EI}{L^3}$로, 단순보 중앙의 처짐 강성과 같은 값이다.

스프링이 P/2를 받치므로 보에는 C에 순하중 $P-\dfrac{P}{2}=\dfrac{P}{2}$가 작용하는 것과 같다.
$\delta_C=\dfrac{(P/2)L^3}{48EI}=\dfrac{PL^3}{96EI}$

변위 적합 조건: 스프링 변형량이 보의 C점 처짐과 같다.
$k\delta_C=\dfrac{P}{2}$
$k=\dfrac{P/2}{PL^3/(96EI)}=\dfrac{48EI}{L^3}$

옳지 않은 것은 모멘트면적정리에서 수직편차가 M/EI선도의 면적과 같다는 설명이다.

모멘트면적 제1정리는 두 점 사이 M/EI선도의 면적이 두 접선의 사잇각(처짐각 변화)과 같다는 것이고, 제2정리는 접선편차가 그 면적의 1차모멘트(면적×도심까지 거리)와 같다는 것이다. 수직편차를 면적 자체와 같다고 한 것은 두 정리를 혼동한 것이다.

• 이중적분법: $EI\dfrac{d^2v}{dx^2}=M(x)$를 두 번 적분해 처짐을 구한다는 옳은 설명이다.
• 공액보법: M/EI선도를 하중으로 재하한 공액보의 휨모멘트가 처짐이 된다는 옳은 설명이다.
• 카스틸리아노 정리: 변형에너지를 힘으로 편미분하면 그 힘 방향의 처짐이 된다는 옳은 설명이다.

하중비는 $\mathrm{P}_{C}$/$\mathrm{P}_{D}$ = 4이다.

휨모멘트선도의 기울기가 전단력이다.
AC: $V=\dfrac{9}{3}=3\ \mathrm{kN}$
CD: $V=\dfrac{6-9}{3}=-1\ \mathrm{kN}$
DB: $V=\dfrac{0-6}{3}=-2\ \mathrm{kN}$

집중하중은 그 점에서 전단력이 급변한 양이다.
$P_C=3-(-1)=4\ \mathrm{kN},\ P_D=-1-(-2)=1\ \mathrm{kN}$
$\dfrac{P_C}{P_D}=4$

B점의 휨모멘트 크기는 2 kN·m이다.

A에 대한 모멘트 평형(1kN 수평력은 높이 2m):
$10R_C=2\times7+1\times2+2\times12=40,\ R_C=4\ \mathrm{kN}$
연직 평형 $R_A=2+2-4=0$, 수평 반력 $H_A=1\ \mathrm{kN}$(좌향)

B 단면 오른쪽 자유물체(B~D)로 계산하면
$M_B=R_C\times3-2\times5=12-10=2\ \mathrm{kN\cdot m}$
왼쪽으로 계산해도 1kN 수평력의 팔 길이 2m만 남아 $1\times2=2\ \mathrm{kN\cdot m}$로 같다.

부재력의 크기는 $\mathrm{F}_{AB}$ = 30 kN, $\mathrm{F}_{BC}$ = 30√3 kN이다.

AB는 수평과 30°, BC는 수평과 60°를 이룬다. 절점 B에서 AB를 인장, BC를 압축으로 두면
수평: $F_{AB}\cos30^\circ=F_{BC}\cos60^\circ$
연직: $F_{BC}\sin60^\circ=F_{AB}\sin30^\circ+30$

수평식에서 $F_{BC}=\sqrt{3}F_{AB}$, 연직식에 대입하면 $\dfrac{3}{2}F_{AB}-\dfrac{1}{2}F_{AB}=30$
$F_{AB}=30\ \mathrm{kN}$(인장), $F_{BC}=30\sqrt{3}\ \mathrm{kN}$(압축)

상수 a의 값은 6이다.

하중과 지점이 B에 대해 좌우 대칭이므로 $R_A=R_C=\dfrac{P+2P+P}{2}=2P$이다.

B점 휨모멘트(왼쪽 자유물체): $M_B=-P\times3L+2P\times L=-PL$
정사각형 단면계수 $Z=\dfrac{b^3}{6}$
$\sigma_{max}=\dfrac{PL}{b^3/6}=\dfrac{6PL}{b^3}$

a의 크기는 1/12이다.

B의 수직재에 걸린 두 힘 P는 팔 길이 L의 우력 $M_0=PL$을 경간 중앙에 가한다.

경간 l인 단순보 중앙에 우력이 작용할 때 지점 처짐각은 $\theta_A=\dfrac{M_0l}{24EI}$이다.
$l=2L$을 대입하면 $\theta_A=\dfrac{PL\cdot2L}{24EI}=\dfrac{PL^2}{12EI}$

A점의 변위는 2.0 mm이다.

강체가 힌지 B를 중심으로 미소 회전 θ를 하면 각 스프링은 팔 길이×θ만큼 변형해 B에 대한 저항모멘트 $kL^2\theta$를 낸다. 따라서 회전 강성의 합으로 외력 모멘트와 평형을 이룬다.
$M_B=(k_1L_1^2+k_2L_2^2+k_3L_3^2)\theta$

$30=5000\times(2^2+1^2+1^2)\theta=30000\theta$
$\theta=0.001\ \mathrm{rad}$
$\delta_A=L_1\theta=2000\times0.001=2.0\ \mathrm{mm}$

보의 길이와 단면 높이의 비는 L/h = 2이다.

등분포하중 단순보: $M_{max}=\dfrac{wL^2}{8},\ V_{max}=\dfrac{wL}{2}$
$\sigma_{max}=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{6}{bh^2}\cdot\dfrac{wL^2}{8}=\dfrac{3wL^2}{4bh^2}$
$\tau_{max}=\dfrac{3V}{2A}=\dfrac{3wL}{4bh}$

응력비: $\dfrac{\sigma_{max}}{\tau_{max}}=\dfrac{L}{h}=2$

옳은 설명은 기둥 AB의 유효좌굴길이계수가 0.7보다 크고 1.0보다 작다는 것이다.

X형 가새가 있어 골조의 횡이동이 구속되므로 두 기둥의 유효좌굴길이계수는 1.0 이하이다. 기둥 AB는 하단 A가 힌지, 상단 B가 보와 강접되어 회전이 부분 구속되므로 양단 힌지(1.0)와 일단 고정·타단 힌지(0.7) 사이에 있다.

• AB가 2.0보다 크다는 설명: 횡이동이 허용된 골조에서나 나오는 값으로 가새골조에는 맞지 않는다.
• CD가 0.5보다 작다는 설명: 0.5는 양단 완전 고정일 때의 하한값이며, 하단 고정·상단 부분 구속인 CD는 0.5와 0.7 사이이다.
• CD가 1.0보다 크고 2.0보다 작다는 설명: 횡이동 골조의 범위로, 가새로 횡이동이 막힌 이 골조에는 해당하지 않는다.

강봉의 늘어난 길이는 3.2 mm이다.

응력 $\sigma=\dfrac{20000}{200}=100\ \mathrm{MPa}$로 꺾이는 점 60 MPa를 넘으므로 두 구간의 변형률을 나누어 더한다.

$\varepsilon_1=\dfrac{60}{100000}=0.0006$
$\varepsilon_2=\dfrac{100-60}{40000}=0.001$
$\delta=(0.0006+0.001)\times2000=3.2\ \mathrm{mm}$

틀린 설명은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

ㄴ은 변위·회전이 매우 작다고 보고 기하 관계를 근사하는 미소변위이론의 가정을 서술한 옳은 문장이고, 나머지는 성립 조건을 벗어나 일반화한 문장이다.

• ㄱ: 1축 대칭 단면의 전단 중심은 대칭축 위에 있을 뿐 도심과 일치하지 않을 수 있다(ㄷ형강·T형 단면 등). 항상 일치하는 것은 2축 대칭 단면이다.
• ㄷ: 미소변위 해석에서는 변형 전 형상으로 평형식을 세우지만, 좌굴·P-Δ 효과 같은 대변위 해석에서는 변형 후 형상으로 세운다.
• ㄹ: 반력의 작용선이 한 점에 모이면 그 점에 대한 모멘트에 저항할 수 없어 불안정한 구조물이다.