21년 1회차

이 라멘의 부정정 차수는 9차이다.

고정지점과 강절점으로만 이루어진 라멘은 지반을 포함한 폐합 고리 하나마다 부정정 차수가 3씩 생긴다.
$N = 3B - h$ (B: 폐합 고리 수, h: 힌지로 풀린 구속 수)

폐합 고리는 위층 왼쪽 사각 틀, 아래층 왼쪽 칸(두 기둥·보·지반), 아래층 오른쪽 칸(두 기둥·보·지반)의 3개이고 힌지는 없다.
$N = 3\times3 - 0 = 9$

지간 중앙에 작용시킬 수 있는 최대 집중하중은 1,200 kN이다.

단면계수: $Z = \dfrac{bh^2}{6} = \dfrac{200\times600^2}{6} = 1.2\times10^{7}\ \mathrm{mm^3}$
허용 휨모멘트: $M = \sigma_a Z = 50\times1.2\times10^{7} = 6\times10^{8}\ \mathrm{N\cdot mm} = 600\ \mathrm{kN\cdot m}$

단순보 중앙 집중하중의 최대 휨모멘트 $M = \dfrac{PL}{4}$에서
$P = \dfrac{4M}{L} = \dfrac{4\times600}{2} = 1200\ \mathrm{kN}$

두 자유단 처짐이 같으려면 $\mathrm{P}_{1}$/$\mathrm{P}_{2}$ = 8이다.

캔틸레버 자유단 집중하중에 의한 처짐: $\delta = \dfrac{PL^3}{3EI}$

대입: $\dfrac{P_1 L^3}{3EI} = \dfrac{P_2 (2L)^3}{3EI}$
$P_1 = 8P_2 \;\Rightarrow\; \dfrac{P_1}{P_2} = 8$

처짐이 길이의 세제곱에 비례하므로, 길이가 2배인 보는 하중이 1/8이어도 같은 처짐이 생긴다.

옳지 않은 것은 '지반의 부등침하나 온도변화로 인한 추가 응력이 발생하지 않는다'는 설명이다.

부정정 구조물은 여분의 구속이 있어 지점 침하나 온도변화에 따른 변형이 자유롭게 일어나지 못하므로 오히려 추가 응력이 생긴다. 이는 부정정 구조물의 대표적인 단점이다.

• 설계모멘트가 작아 부재 단면을 줄일 수 있으므로 경제적이다 — 장점으로 옳다.
• 부정정 반력이나 부정정 부재가 여분의 하중 경로가 되어 안전도를 높인다 — 옳다.
• 구속이 많아 강성이 크므로 처짐이 작다 — 옳다.

도심에서 y축까지의 수평거리는 22/7 m이다.

단면을 원점에 꼭짓점이 있는 삼각형(밑변 3 m, 높이 4 m)과 직사각형(2 m × 4 m)으로 나눈다.
삼각형: $A_1 = \dfrac{1}{2}\times3\times4 = 6\ \mathrm{m^2}$, $x_1 = \dfrac{2}{3}\times3 = 2\ \mathrm{m}$
직사각형: $A_2 = 2\times4 = 8\ \mathrm{m^2}$, $x_2 = 3 + 1 = 4\ \mathrm{m}$

y축에 대한 단면1차모멘트를 전체 면적으로 나눈다.
$\bar{x} = \dfrac{6\times2 + 8\times4}{6+8} = \dfrac{44}{14} = \dfrac{22}{7}\ \mathrm{m}$

두 길이 변화의 비는 $\delta _{b}$/$\delta _{a}$ = 3이다.

(a)는 강체판 중심에 P가 작용하고 두 봉이 대칭으로 배치된 병렬 연결이므로 각 봉이 P/2를 분담한다.
$\delta_a = \dfrac{(P/2)L}{EA} = \dfrac{PL}{2EA}$

(b)는 두 구간이 모두 P를 받는 직렬 연결이다.
$\delta_b = \dfrac{P(0.75L)}{EA} + \dfrac{P(1.5L)}{2EA} = \dfrac{1.5PL}{EA}$
$\dfrac{\delta_b}{\delta_a} = \dfrac{1.5}{0.5} = 3$

수평 스프링 A가 받는 힘은 5 N이다.

도르래와 줄의 마찰을 무시하므로 줄의 장력은 블록 C의 무게와 같은 $T = 10\ \mathrm{N}$이다. 경사 3:4(빗변 5)로 분해하면
수평 $T_x = 10\times\dfrac{4}{5} = 8\ \mathrm{N}$, 연직 $T_y = 10\times\dfrac{3}{5} = 6\ \mathrm{N}$

블록 B의 수직항력과 최대 정지마찰력:
$N = 16 - 6 = 10\ \mathrm{N}$, $F_s = 0.3\times10 = 3\ \mathrm{N}$

줄이 B를 오른쪽으로 8 N 당기고, 미끄러지기 직전 상태에서 마찰력 3 N이 왼쪽으로 저항하므로 나머지를 스프링이 부담한다.
$F_A = 8 - 3 = 5\ \mathrm{N}$

휨모멘트의 크기는 5 kN·m이다.

곡률과 휨모멘트의 관계: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{M}{EI} \;\Rightarrow\; M = \dfrac{EI}{R}$

원형 단면의 단면2차모멘트: $I = \dfrac{\pi d^4}{64} = \dfrac{\pi(0.2)^4}{64} = 2.5\pi\times10^{-5}\ \mathrm{m^4}$
탄성계수: $E = 200{,}000\ \mathrm{MPa} = 2\times10^{8}\ \mathrm{kN/m^2}$

$M = \dfrac{2\times10^{8}\times2.5\pi\times10^{-5}}{1000\pi} = \dfrac{5000\pi}{1000\pi} = 5\ \mathrm{kN\cdot m}$

A점의 처짐각 크기는 $\dfrac{5M}{2EI}$로, 보 전체가 순수 휨 상태이기 때문이다.

A점에는 시계 방향, B점에는 반시계 방향으로 같은 크기의 모멘트가 작용하므로 지점 반력이 0이 되고, 보 전 구간에 일정한 휨모멘트 M이 생긴다.

공액보법: 탄성하중 $\dfrac{M}{EI}$가 길이 5 m에 균일하게 실리고, 대칭이므로 A점 처짐각은 전체 탄성하중의 절반이다.
$\theta_A = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{M}{EI}\times5 = \dfrac{5M}{2EI}$

B점에 필요한 최소 힘의 크기는 150 kN이다.

A를 기준으로 C는 오른쪽 300 mm, 위쪽 150 mm에 있고, 500 kN은 4:3 경사의 좌하향 힘이므로 수평 300 kN(왼쪽), 연직 400 kN(아래)으로 분해된다.
$M_A = 400\times300 - 300\times150 = 75{,}000\ \mathrm{kN\cdot mm} = 75\ \mathrm{kN\cdot m}$ (시계 방향)

B에서 같은 크기의 반대 모멘트를 가장 작은 힘으로 만들려면 팔길이가 최대가 되도록 힘을 AB에 수직으로 가해야 한다.
$\overline{AB} = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\ \mathrm{mm}$
$F_{min} = \dfrac{75{,}000}{500} = 150\ \mathrm{kN}$

옳지 않은 것은 '각 부재의 절점은 회전에 구속되어 있다'이다.

평면 트러스 해석에서는 절점을 마찰 없는 힌지(핀)로 가정하므로 절점의 회전이 자유롭다. 그래서 부재에는 휨모멘트 없이 축방향력만 생긴다.

• 각 부재는 직선이다 — 기본 가정에 해당한다.
• 각 부재의 중심축은 절점에서 만난다 — 편심이 없다는 기본 가정이다.
• 모든 하중은 절점에만 작용한다 — 부재에 휨이 생기지 않게 하는 기본 가정이다.

이 재료의 탄성계수는 500 MPa이다.

그래프의 직선(탄성) 구간 끝에서 하중 20 kN일 때 변위가 $4\times10^{-4}\ \mathrm{m}$이다. 훅의 법칙 $\delta = \dfrac{PL}{EA}$에서
$E = \dfrac{PL}{A\delta}$

$E = \dfrac{20\times10^{3}\times2}{0.2\times4\times10^{-4}} = 5\times10^{8}\ \mathrm{Pa} = 500\ \mathrm{MPa}$

옳지 않은 것은 '마찰력의 방향이 물체의 운동방향과 같다'는 설명이다.

마찰력은 접촉면에서 상대운동이나 운동하려는 경향을 방해하는 방향, 즉 운동방향과 반대로 작용한다.

• 벡터양은 크기와 방향을 함께 갖는 물리량이다 — 옳다.
• 길이·면적·부피·온도는 크기만 갖는 스칼라양이다 — 옳다.
• 마찰계수에는 움직이기 직전까지의 정지마찰계수와 움직일 때의 동마찰계수가 있다 — 옳다.

전단탄성계수는 G = 100 GPa이다.

세로변형률: $\varepsilon = \dfrac{1.0}{1000} = 1\times10^{-3}$
가로변형률: $\varepsilon' = \dfrac{0.008}{20} = 4\times10^{-4}$
푸아송비: $\nu = \dfrac{4\times10^{-4}}{1\times10^{-3}} = 0.4$

$G = \dfrac{E}{2(1+\nu)} = \dfrac{280}{2\times1.4} = 100\ \mathrm{GPa}$

옳은 영향선은 B점 수직반력의 영향선(A에서 0, 왼쪽 힌지에서 1.25, B에서 1.0, C에서 0, 오른쪽 힌지에서 −0.25, D에서 0)이다.

이 게르버보는 B–C 지간(8 m) 양쪽으로 2 m씩 내민 내민보 위에, A–왼쪽 힌지와 오른쪽 힌지–D 구간이 걸린 보로 얹힌 구조다. 단위하중이 왼쪽 힌지(B 왼쪽 2 m)에 있으면 $R_B = \dfrac{8+2}{8} = 1.25$, 오른쪽 힌지(C 오른쪽 2 m)에 있으면 $R_B = -\dfrac{2}{8} = -0.25$이고, 걸린 보 구간에서는 지점 A·D 쪽으로 0까지 직선으로 줄어든다.

• A점 반력 영향선은 A에서 1, 왼쪽 힌지에서 0이고 다른 구간은 0이어야 하므로, C~오른쪽 힌지 구간에만 값이 있는 A점 선도는 틀렸다.
• C점 반력 영향선은 왼쪽 힌지에서 $-\dfrac{2}{8} = -0.25$, 오른쪽 힌지에서 $\dfrac{10}{8} = 1.25$여야 하므로 −0.2와 1.2로 그린 C점 선도는 틀렸다.
• 정정 구조물의 반력 영향선은 직선의 조합이고 D점 반력은 오른쪽 힌지~D 구간에서만 0→1로 생기므로, 곡선이 섞이고 왼쪽에도 값이 있는 D점 선도는 틀렸다.

C점 휨모멘트의 크기는 $\dfrac{12}{7}PL$이다.

A는 부재 AB에 수직인 경사면 위의 이동지점이므로 반력 $\mathrm{R}_{A}$가 AB 방향(경사 3:4)으로 작용하고, D는 힌지 지점이다. D에 대한 모멘트 평형(A는 D보다 왼쪽 6L, 아래쪽 L, P는 D보다 3L 위):
$R_A\left(\dfrac{4}{5}\times6L - \dfrac{3}{5}\times L\right) = P\times3L \;\Rightarrow\; R_A = \dfrac{5P}{7}$

수평 평형으로 D의 수평반력을 구한다($\mathrm{R}_{A}$ 수평성분은 P와 반대 방향).
$D_x = P - \dfrac{3}{5}\times\dfrac{5P}{7} = \dfrac{4P}{7}$

C점에서 잘라 부재 CD만 보면 D의 연직반력은 C와 같은 연직선 위에 있어 모멘트를 만들지 않고, 수평반력만 팔길이 3L로 작용한다.
$M_C = \dfrac{4P}{7}\times3L = \dfrac{12}{7}PL$

D점의 모멘트 $\mathrm{M}_{DO}$의 크기는 1.0 kN·m이다.

절점 O에 모인 각 부재의 휨강도(먼 끝 고정 $4EI/L$, 먼 끝 힌지 $3EI/L$):
OA(A 힌지, 4I, 3 m): $\dfrac{3E(4I)}{3} = 4EI$
OB(B 고정, I, 4 m): $\dfrac{4EI}{4} = EI$
OC(C 고정, 2I, 4 m): $\dfrac{4E(2I)}{4} = 2EI$
OD(D 고정, 2I, 8 m): $\dfrac{4E(2I)}{8} = EI$

분배율과 분배모멘트:
$DF_{OD} = \dfrac{1}{4+1+2+1} = \dfrac{1}{8}$, $M_{OD} = 16\times\dfrac{1}{8} = 2\ \mathrm{kN\cdot m}$

고정단 D로의 전달률은 1/2이므로 $M_{DO} = 2\times\dfrac{1}{2} = 1.0\ \mathrm{kN\cdot m}$

A점(전단력이 0인 점)의 휨모멘트 크기는 36 kN·m이다.

등분포하중 구간 시작점의 전단력이 40 kN이고 50 kN/m씩 줄어들므로, 전단력이 0이 되는 A점은 그 시작점에서 $\dfrac{40}{50} = 0.8\ \mathrm{m}$, 즉 오른쪽 지점에서 1.2 m 떨어져 있다. 오른쪽 지점 반력은 끝의 전단력 크기인 60 kN(상향)이다.

오른쪽 지점부터 A점까지의 자유물체도:
$M_A = 60\times1.2 - 50\times\dfrac{1.2^2}{2} = 72 - 36 = 36\ \mathrm{kN\cdot m}$

검산: 왼쪽 끝부터 전단력도 면적을 누적하면 $-300 + 240 + 80 + 16 = 36\ \mathrm{kN\cdot m}$로 같다.

무응력 부재는 AF, AB, BC, GC, HD의 5개이다.

하중·반력이 없는 절점에 비공선 두 부재만 모이면 둘 다 0이고, 세 부재 중 두 부재가 공선이면 나머지 한 부재가 0이다(0부재 판별).

• 절점 A: 지점이 없는 끝 절점에 AF·AB 두 부재만 모이므로 둘 다 0이다.
• 절점 G: FG·GH가 한 직선 위에 있으므로 수직재 GC는 0이다.
• 절점 D: CD·DE가 한 직선 위에 있으므로 수직재 HD는 0이다.
• 절점 B: 이동지점 반력은 연직 방향뿐이고 AB가 0이므로 수평 평형에서 BC도 0이다.

나머지 부재는 B점 반력 $R_B = \dfrac{2P}{3}$와 하중 P를 전달하므로 0이 아니다.

최대 주응력의 방향은 θ = 22.5°이다.

주응력 방향 공식: $\tan 2\theta_p = \dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$

대입: $\tan 2\theta_p = \dfrac{2\times30}{40-(-20)} = 1$
$2\theta_p = 45^\circ \;\Rightarrow\; \theta_p = 22.5^\circ$

$\sigma_x \gt \sigma_y$이고 $\tau _{xy}$가 양(+)이므로 2$\theta _{p}$가 1사분면에 있어 22.5° 방향이 최대 주응력, 이와 직교하는 112.5° 방향이 최소 주응력이다.