22년 1회차

A점에 대한 모멘트 합이 0이 되려면 L = 4.4 m이어야 한다.

그림에서 30 kN(팔길이 4 m)과 아래쪽 50 kN(팔길이 2 m)은 A점을 시계방향으로, 오른쪽 50 kN(팔길이 L)은 반시계방향으로 돌린다.

$\Sigma M_A=0:\ 30\times4+50\times2-50\times L=0$
$120+100=50L$
$L=\dfrac{220}{50}=4.4\ \mathrm{m}$

• 3.2 m이면 반시계방향 모멘트가 160 kN·m로 시계방향 220 kN·m를 다 상쇄하지 못한다.
• 3.8 m이면 반시계방향 모멘트가 190 kN·m로 여전히 30 kN·m가 부족하다.
• 5.0 m는 반시계방향 모멘트가 250 kN·m가 되어 오히려 30 kN·m가 남는다.

옳지 않은 것은 '주축에 대한 관성모멘트는 0이다'이다. 주축에서 0이 되는 것은 단면2차모멘트(관성모멘트)가 아니라 단면상승모멘트 $I_{xy}$ 이다.

단면2차모멘트는 면적×거리²의 적분이므로 항상 양수이며, 주축에 대해서는 0이 아니라 최댓값·최솟값을 가진다.

• 주축에 대한 단면2차모멘트가 최대 및 최소가 된다는 것은 옳다.
• 주축의 방향을 $\tan2\theta_p=-\dfrac{2I_{xy}}{I_x-I_y}$ 로 구한다는 것은 옳다.
• 대칭축에 대해서는 $I_{xy}=0$ 이므로 대칭축과 그에 직교하는 축이 주축이 된다는 것은 옳다.

그림 (b) 장주의 좌굴하중은 5 kN이다.

오일러 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$ 에서 (a)는 양단 힌지로 $K=1$, (b)는 하단 고정·상단 자유로 유효길이계수 $K=2$ 이다.

$\dfrac{P_{(b)}}{P_{(a)}}=\dfrac{1^2}{2^2}=\dfrac{1}{4}$
$P_{(b)}=20\times\dfrac{1}{4}=5\ \mathrm{kN}$

• 20 kN은 두 기둥의 지지 조건이 같다고 본 값이다.
• 40 kN은 $K\approx0.7$(1단 고정·1단 힌지)에 해당하는 값이다.
• 80 kN은 $K=0.5$(양단 고정)에 해당하는 값으로, 상단이 자유단인 (b)와 맞지 않는다.

옳지 않은 진술은 '순수굽힘 단면에서 전단응력이 곡선으로 변화한다'는 것이다. 순수굽힘은 휨모멘트만 일정하게 작용하고 전단력이 0인 상태이므로, 전단력에 의한 전단응력 자체가 생기지 않는다.

직사각형 단면의 전단응력은 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$ 로 구하며, 전단력 $V=0$ 이면 단면 전체에서 $\tau=0$ 이다.

• 전단응력이 부재의 임의 단면에 평행(접선 방향)하게 작용한다는 것은 옳다.
• 상·하연에서 $Q=0$ 이라 전단응력이 0이고, 중립축에서 최대(평균의 1.5배)가 된다는 것은 옳다.
• 중립축으로부터의 거리에 따라 2차 포물선으로 변화한다는 것은 옳다.

합력의 작용선은 y축 위의 점 x = 0, y = 4 m를 지난다.

원점 O 기준으로 성분과 모멘트(반시계 +)를 구한다. 2√2 kN(위 변, x=8)은 (−2, −2), 10 kN(왼 변, y=6)은 (6, −8), 6 kN(오른 변, y=4)은 (−6, 0), 8 kN(아래 변, x=2)은 (0, 8) kN이다.

$R_x=-2+6-6=-2,\ R_y=-2-8+8=-2\ \mathrm{kN}$
$M_O=4-36+24+16=8\ \mathrm{kN\cdot m}$
$xR_y-yR_x=M_O \Rightarrow -2x+2y=8 \Rightarrow y=x+4$

• (0, 0)은 원점에 대한 모멘트가 8 kN·m 남으므로 작용선 위가 아니다.
• (4, 0)은 y=x+4를 만족하지 않는다(작용선의 x축 교점은 x=−4).
• (4, 4)도 y=x+4를 만족하지 않는다.

최대 휨응력의 비는 4 : 2 : 1이다.

최대 휨응력은 $\sigma=\dfrac{M}{Z}$, 단면계수는 $Z=\dfrac{bh^2}{6}$ 이므로 같은 M에서 응력은 단면계수에 반비례한다.

$Z_{(a)}=\dfrac{10\times10^2}{6},\ Z_{(b)}=\dfrac{20\times10^2}{6},\ Z_{(c)}=\dfrac{10\times20^2}{6}$
$Z_{(a)}:Z_{(b)}:Z_{(c)}=1:2:4 \Rightarrow \sigma_{(a)}:\sigma_{(b)}:\sigma_{(c)}=4:2:1$

• 1 : 2 : 4는 응력이 아니라 단면계수의 비이다.
• 1 : 2 : 8은 단면2차모멘트의 비이다.
• 8 : 2 : 1은 (a)의 응력을 (c)의 8배로 본 것인데, (c)의 단면계수는 (a)의 4배이므로 응력은 4배 차이다.

최대 휨모멘트는 전단력이 0인 x = 3.2 m 지점에서 생긴다.

등분포하중 합력 20 kN(A에서 2 m)과 4 kN(A에서 6 m)으로 반력을 구하면 $R_A=16\ \mathrm{kN}$ 이다.
$\Sigma M_B=0:\ R_A\times8=20\times6+4\times2=128$

$V(x)=16-5x=0 \Rightarrow x=3.2\ \mathrm{m}$ (등분포 구간 안)
이때 $M_{max}=16\times3.2-\dfrac{5\times3.2^2}{2}=25.6\ \mathrm{kN\cdot m}$ 이다.

• 2 m는 등분포하중 합력의 작용점일 뿐 전단력이 0인 곳이 아니다.
• 3 m에서는 전단력이 1 kN 남는다.
• 2.2 m에서도 전단력이 5 kN으로 0이 아니다.

빗금 단면의 x축에 대한 단면2차모멘트는 10,464 $\mathrm{mm}^{4}$이다.

외곽 직사각형(폭 18, y=−10~10)에서 구멍(x=2~10, y=−4~8)을 빼고, 구멍은 도심(y=2)이 x축에서 떨어져 있으므로 평행축 정리를 쓴다.

$I_{outer}=\dfrac{18\times20^3}{12}=12000\ \mathrm{mm^4}$
$I_{hole}=\dfrac{8\times12^3}{12}+(8\times12)\times2^2=1152+384=1536\ \mathrm{mm^4}$
$I_x=12000-1536=10464\ \mathrm{mm^4}$

• 12,000은 구멍을 빼지 않은 외곽 직사각형 값이다.
• 14,222는 외곽 직사각형 값보다 커서 구멍을 뺀 단면의 값이 될 수 없다.

최대처짐각은 지점에서 생기며 크기는 $\dfrac{PL^2}{8EI}$ 이다.

공액보법에서 $M/EI$ 선도(밑변 2L, 높이 $PL/4$ 인 삼각형)를 하중으로 보면, 대칭이므로 지점 반력 = 전체 면적의 절반 = 지점 처짐각이다.

$A=\dfrac{1}{2}\times2L\times\dfrac{PL}{4EI}=\dfrac{PL^2}{4EI}$
$\theta_{max}=\dfrac{A}{2}=\dfrac{PL^2}{8EI}$

• $\dfrac{PL^2}{16EI}$ 는 경간을 L로 보고 공식을 대입한 값이다(이 보의 경간은 2L).
• $\dfrac{PL^2}{24EI}$ 는 $M/EI$ 삼각형 면적의 절반보다 작다.
• $\dfrac{5PL^2}{48EI}$ 는 $M/EI$ 삼각형 면적의 절반보다 크다.

C점의 처짐은 $\dfrac{11PL^3}{768EI}$ 이다.

하중이 중앙에 있으므로 대칭이고, C점(B에서 L/4)의 처짐은 A에서 L/4인 점과 같다. 집중하중 단순보의 처짐식 $y=\dfrac{Pbx}{6LEI}(L^2-b^2-x^2)$ 에 $b=L/2,\ x=L/4$ 를 대입한다.

$y_C=\dfrac{P\cdot\frac{L}{2}\cdot\frac{L}{4}}{6LEI}\left(L^2-\dfrac{L^2}{4}-\dfrac{L^2}{16}\right)=\dfrac{PL}{48EI}\times\dfrac{11L^2}{16}=\dfrac{11PL^3}{768EI}$

• $\dfrac{16PL^3}{768EI}=\dfrac{PL^3}{48EI}$ 가 중앙 최대처짐이므로, 이보다 큰 $\dfrac{19PL^3}{768EI}$ 는 C점 값이 될 수 없다.
• $\dfrac{29PL^3}{768EI}$ 도 중앙 최대처짐보다 커서 불가능하다.
• $\dfrac{37PL^3}{768EI}$ 역시 중앙 최대처짐을 넘으므로 C점 값이 아니다.

y축 방향 분력은 $P_y=10\sin\theta\cos\theta$ kN이다.

힘 P = 5 kN이 x축과 $2\theta$ 를 이루므로 $P_y=P\sin2\theta$ 이고, 배각 공식 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 를 쓴다.

$P_y=5\sin2\theta=5\times2\sin\theta\cos\theta=10\sin\theta\cos\theta$

• $10\cos2\theta$ 는 크기도 두 배이고 x축 성분 형태이다.
• $10\sin2\theta$ 는 크기를 두 배로 잡은 값이다.
• $5\sin\theta\cos\theta$ 는 배각 공식의 2를 빠뜨린 값이다.

B 지점의 수직반력은 30 kN이다.

선형 분포하중(내민 길이 3 m, 끝단 최대 w)의 합력은 $\dfrac{3w}{2}$ 이고, 작용점은 B에서 $\dfrac{2}{3}\times3=2\ \mathrm{m}$ 이다. $V_A=0$ 이므로 B점 모멘트 평형에서 집중모멘트 60 kN·m와 분포하중 모멘트가 상쇄된다.

$\Sigma M_B=0:\ 60=1.5w\times2 \Rightarrow w=20\ \mathrm{kN/m}$
$\Sigma F_y=0:\ V_B=1.5w=30\ \mathrm{kN}$

• 15 kN이면 $w=10$ 이 되어 B점 모멘트가 30 kN·m로 60 kN·m와 평형을 이루지 못한다.
• 45 kN이면 $w=30$ 이 되어 B점 모멘트가 90 kN·m로 평형이 깨진다.
• 60 kN은 집중모멘트의 크기를 반력으로 착각한 값이다(이때 B점 모멘트는 120 kN·m).

두 반력이 같아지는 거리는 x = 5 m이다.

전체 하중이 6 kN이므로 $R_A=R_B=3\ \mathrm{kN}$ 이어야 한다. 2 kN은 B에서 x, 즉 A에서 $6-x$ 위치이다.

$\Sigma M_A=0:\ 4\times4+2(6-x)=R_B\times6=18$
$28-2x=18 \Rightarrow x=5\ \mathrm{m}$

• x = 2 m이면 $R_B=\dfrac{16+8}{6}=4\ \mathrm{kN}$ 으로 같지 않다.
• x = 3 m이면 $R_B=\dfrac{16+6}{6}\approx3.67\ \mathrm{kN}$ 이다.
• x = 4 m이면 $R_B=\dfrac{16+4}{6}\approx3.33\ \mathrm{kN}$ 이다.

합성봉의 총 신장량은 10 mm이다.

자유단 쪽부터 구간 축력을 누적하면 C 구간 100 N, B 구간 100+200=300 N, A 구간 300+300=600 N(모두 인장)이다. 각 구간 신장량 $\delta=\dfrac{NL}{EA}$ 를 더한다.

$\delta_A=\dfrac{600\times100}{100\times100}=6,\ \delta_B=\dfrac{300\times200}{200\times100}=3,\ \delta_C=\dfrac{100\times150}{150\times100}=1\ \mathrm{mm}$
$\Delta=6+3+1=10\ \mathrm{mm}$

B 지점 반력은 10 kN이다.

A 고정·B 롤러인 1차 부정정보이므로 변위일치법(중첩)으로 B의 처짐이 0이 되는 반력을 구한다. 표준 결과로 등분포하중은 $\dfrac{3wL}{8}$, 중앙 집중하중은 $\dfrac{5P}{16}$ 를 롤러 쪽에 준다.

$R_B=\dfrac{3\times2\times10}{8}+\dfrac{5\times8}{16}=7.5+2.5=10\ \mathrm{kN}$

7.5 kN은 등분포하중 몫만 계산하고 집중하중 몫을 빠뜨린 값이다.

부재력이 0인 부재는 3개이다.

세 부재가 모인 절점에서 두 부재가 일직선이고 외력이 없으면 나머지 한 부재는 0부재이다. 하현의 두 번째·네 번째 절점은 하중이 없고 하현재가 일직선이므로 그곳의 수직재 2개가 0이다.

왼쪽 위 끝 절점은 수평 상현재와 수직재만 모이고 연직하중 P만 받으므로, 수평 방향 평형에서 상현재 1개가 0이다(수직재가 P를 받음).

• 오른쪽 위 끝 절점은 수평력 P가 있으므로 상현재가 P를 받아 0이 아니다.
• 가운데 위 절점의 수직재는 연직하중 P를 받으므로 0이 아니다.

D점의 부모멘트 크기는 12 kN·m이다.

내부힌지 C에서 끊으면 AC는 단순보이다. 선형 분포하중(A에서 3 kN/m→C에서 0)의 합력 6 kN은 A에서 4/3 m에 작용한다.
$\Sigma M_A=0:\ V_C\times4=6\times\dfrac{4}{3} \Rightarrow V_C=2\ \mathrm{kN}$

CB 쪽에서 C에 하향 2 kN이 전달되므로, D점(C에서 4 m) 왼쪽 자유물체로
$M_D=-(2\times4+4\times1)=-12\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 8 kN·m는 C점 전달력에 의한 몫만 계산하고 4 kN 하중 몫을 빠뜨린 값이다.
• 16 kN·m는 합력 6 kN을 양 끝에 절반씩 나눠 C점 전달력을 3 kN으로 잡은 값이다(삼각형 하중은 A 쪽에 치우침).

C 지점의 최대 수평반력은 24 kN이다.

보 BC는 B에서 케이블 장력 T와 하중 P를 받고 C에서 핀으로 지지된다. 케이블 기울기가 수평 4 : 연직 3이므로 장력 성분은 수평 $\dfrac{4}{5}T$, 연직 $\dfrac{3}{5}T$ 이다.

$\Sigma F_x=0:\ H_C=\dfrac{4}{5}T$
$T_{max}=30\ \mathrm{kN}$ 일 때 $H_C=\dfrac{4}{5}\times30=24\ \mathrm{kN}$

• 18 kN은 연직 성분 비율 $\dfrac{3}{5}$ 를 쓴 값이다.
• 30 kN은 케이블 장력 전체를 수평반력으로 본 값이다.

B점의 부모멘트 크기는 8 kN·m이다.

A는 힌지라 $M_A=0$ 이므로, M_B는 A~B 사이 전단력선도의 면적과 같다. 전단력이 5 kN에서 4 m 동안 −3 kN이 되므로 $w=2\ \mathrm{kN/m}$, 전단력 0 위치는 A에서 2.5 m이다.

$M_B=\dfrac{1}{2}\times2.5\times5-\dfrac{1}{2}\times1.5\times3-3\times4$
$=6.25-2.25-12=-8\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 12 kN·m는 −3 kN 구간(4 m)의 면적만 계산한 값이다.
• 18.8 kN·m는 B 오른쪽 4.7 kN 구간의 면적(4.7×4)이다.
• 21.2 kN·m는 C 쪽 −5.3 kN 구간의 면적(5.3×4)이다.

불안정 구조물은 (a), (b), (c)의 3개이다.

(a)는 세 롤러 반력의 작용선이 한 점에서 만나 그 점에 대한 회전을 막지 못하고, (b)는 양 끝 힌지와 중앙 내부힌지가 일직선에 놓여 순간적으로 처지는 기하학적 불안정이다.

(c)는 $m+r=13+3=16=2j$ 로 개수 조건은 맞지만, 한 패널에는 사재가 두 개 겹치고 오른쪽 사각형 패널에는 사재가 없어 그 패널이 평행사변형으로 찌그러진다.

• (d)는 모서리를 핀으로 연결한 뒤 버팀대로 삼각형을 이루어 모서리가 강절점처럼 거동하고, 양단 힌지 지점으로 반력 4개라서 1차 부정정의 안정 구조물이다.