23년 1회차

장주가 인장력을 받아 좌굴파괴된다는 진술이 옳지 않다. 좌굴은 세장한 부재가 축방향 압축력을 받아 임계하중에 이르면 옆으로 휘며 불안정해지는 현상이고, 인장력은 부재를 곧게 펴는 쪽으로 작용하므로 좌굴을 일으키지 않는다.

오일러 임계하중 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$에서 양단 고정 기둥의 유효길이계수는 이론값 K = 0.5 이다.

• 기둥은 축방향 압축력을 주로 받는 부재이며 장주에서 좌굴파괴가 일어날 수 있다는 설명은 옳다.
• 단면의 핵은 그 안에 축하중이 작용하면 단면에 인장응력이 생기지 않는 하중 작용 범위라는 설명은 옳다.
• 양단 고정, 길이 L인 장주의 유효길이를 L/2로 보는 설명은 옳다.

이 트러스의 부정정차수는 2이다.

절점 j = 7(A~G), 부재 m = 13(하현 AB·BC·CD, 경사재 AG·GF·FE·ED, 수직재 GB·EC, 사재 BF·CF·GC·BE), 반력 r = 3(A 힌지 2, D 롤러 1)이다.

$N = m + r - 2j = 13 + 3 - 2\times 7 = 2$
반력이 3개라 외적으로는 정정이고, 부재가 정정에 필요한 수보다 2개 많아 내적으로 2차 부정정이다.

C점의 응력요소를 순수 전단 상태로 그린 것이 옳지 않다. 두 집중하중 사이 구간(L/4~3L/4)은 전단력이 0인 순수 휨 구간이고, C는 그 구간의 중립축 위에 있어 휨응력도 0이므로 응력이 생기지 않는다.

지점에서 하중점까지는 전단력 크기 P와 휨모멘트가 함께 있고, 하중점 사이는 전단력 0·휨모멘트 PL/4 일정이다. 정모멘트이므로 중립축 위는 압축, 아래는 인장이다.

• A(왼쪽 지점~하중 구간, 중립축 위)를 수평 압축응력과 전단응력이 함께 작용하는 요소로 그린 것은 옳다.
• B(순수 휨 구간, 중립축 아래)를 전단 없이 수평 인장응력만 받는 요소로 그린 것은 옳다.
• D(순수 휨 구간의 하연)를 수평 인장응력만 받는 요소로 그린 것은 옳다.

최대전단응력의 크기는 55 MPa이다.

그림의 요소는 15° 회전된 면에 수직응력만 있고 전단응력이 없으므로, 75 MPa(인장)과 −35 MPa(압축)이 곧 주응력이다.

$\tau_{max} = \dfrac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} = \dfrac{75 - (-35)}{2} = 55\ \mathrm{MPa}$
회전각 15°는 주응력의 방향만 알려 줄 뿐 크기에는 영향이 없다.

A점에 대한 모멘트 벡터는 64i − 48j − 16k (kN·m)이다.

힘의 방향 $\vec{BC} = (0-6,\ -8-0,\ 5-5) = (-6,\ -8,\ 0)$, 길이 10 m 이므로 $\vec{F} = 10\times\dfrac{(-6,\ -8,\ 0)}{10} = (-6,\ -8,\ 0)\ \mathrm{kN}$
위치벡터 $\vec{r}_{AB} = (6-4,\ 0-0,\ 5-(-3)) = (2,\ 0,\ 8)\ \mathrm{m}$

$\vec{M}_A = \vec{r}\times\vec{F} = (0\cdot 0 - 8\cdot(-8))\mathbf{i} + (8\cdot(-6) - 2\cdot 0)\mathbf{j} + (2\cdot(-8) - 0\cdot(-6))\mathbf{k}$
$= 64\mathbf{i} - 48\mathbf{j} - 16\mathbf{k}\ \mathrm{kN\cdot m}$
곱의 순서는 r × F이며, 작용선 위의 C점으로 위치벡터를 잡아도 같은 값이 나온다.

부재의 최종 길이 변화량은 17PL/EA(늘어남)이다.

모든 하중이 오른쪽(인장 방향)이므로 각 구간 축력은 그 구간 오른쪽 하중의 합이다.
3L~4L: P, 2L~3L: P + 2P = 3P, L~2L: 3P + 2P = 5P, 0~L: 5P + 3P = 8P(고정단 반력과 같다)

$\delta = \dfrac{L}{EA}(8P + 5P + 3P + P) = \dfrac{17PL}{EA}$

부재 EH의 부재력은 20/3 kN(압축)이다.

Σ$M_{A}$ = 0: $R_E\times 32 = 4\times 16 + 8\times 8 \Rightarrow R_E = 4\ \mathrm{kN}$ (수평력 8 kN은 높이 8 m의 G에 작용)
절점 E에는 수평 부재 ED와 경사 부재 EH만 모이고, EH는 수평 8 m·연직 6 m이므로 길이가 10 m이다.

절점 E에서 Σ$F_{y}$ = 0 (인장 가정): $4 + F_{EH}\times\dfrac{6}{10} = 0 \Rightarrow F_{EH} = -\dfrac{20}{3}\ \mathrm{kN}$
음수이므로 압축이다.

극관성모멘트의 비는 1 : 11 : 41이다.

원의 도심 극관성모멘트 $J_c = \dfrac{\pi r^4}{2}$, 면적 $A = \pi r^2$이고 평행축 정리 $I_{PO} = J_c + A d^2$를 쓴다. 그림에서 각 원의 중심은 A(0, 0), B(2r, r), C(4r, 2r)이다.

A: $\dfrac{\pi r^4}{2}$
B: $d^2 = 4r^2 + r^2 = 5r^2,\ I = \dfrac{\pi r^4}{2} + 5\pi r^4 = \dfrac{11\pi r^4}{2}$
C: $d^2 = 16r^2 + 4r^2 = 20r^2,\ I = \dfrac{\pi r^4}{2} + 20\pi r^4 = \dfrac{41\pi r^4}{2}$
따라서 도심 값의 1배·11배·41배가 된다.

하중 P의 크기는 13 kN이다.

AB 부분은 A(힌지)와 내부힌지 B 사이에 하중이 없으므로 Σ$M_{A}$ = 0에서 B 힌지력이 0이 되고, B점의 6 kN은 전부 내민보 BCDE가 받는다(B는 C에서 왼쪽으로 3 m 내민 끝).

BCDE에서 Σ$M_{C}$ = 0: $6\times 3 + R_E\times 4 - P\times 2 = 0$
$18 + 2\times 4 = 2P \Rightarrow P = 13\ \mathrm{kN}$

최대 휨응력은 24 MPa이다.

반력: 하중 합력 12 kN이 A에서 3 m → $R_B = \dfrac{12\times 3}{9} = 4\ \mathrm{kN},\ R_A = 8\ \mathrm{kN}$
전단력 0 위치 $x = \dfrac{8}{2} = 4\ \mathrm{m}$에서 $M_{max} = 8\times 4 - \dfrac{2\times 4^2}{2} = 16\ \mathrm{kN\cdot m}$

$Z = \dfrac{bh^2}{6} = \dfrac{100\times 200^2}{6} = \dfrac{2}{3}\times 10^6\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma_{max} = \dfrac{M}{Z} = \dfrac{16\times 10^6}{(2/3)\times 10^6} = 24\ \mathrm{MPa}$
최대 모멘트는 경간 중앙이나 하중 끝이 아니라 전단력이 0인 점에서 생긴다.

C점의 모멘트 반력 크기가 0이라는 진술이 옳지 않다. 고정단 C의 모멘트 반력 크기는 PL이다.

C점에 대한 하중 모멘트: P에 의한 $P\times 2L = 2PL$(반시계)과 B의 시계방향 집중모멘트 $PL$이 일부 상쇄되어 $2PL - PL = PL$이 남으므로, 이를 고정단이 받아야 한다.

• 수평하중이 없으므로 A점의 축력이 0이라는 진술은 옳다.
• B점의 전단력은 왼쪽의 P만으로 정해지고 집중모멘트는 전단력에 영향을 주지 않으므로 크기 P라는 진술은 옳다.
• 연직하중이 P 하나뿐이므로 C점의 수직반력 크기가 P라는 진술은 옳다.

두 지점 반력이 같아지는 x는 1 m이다.

전체 하중 $2\times 4 + 4 = 12\ \mathrm{kN}$이므로 $R_A = R_B = 6\ \mathrm{kN}$이어야 한다.

Σ$M_{A}$ = 0: $R_B\times 6 = 8\times 2 + 4\times(6 - x)$
$36 = 16 + 24 - 4x \Rightarrow x = 1\ \mathrm{m}$
즉 하중 합력이 경간 중앙(A에서 3 m)에 오도록 하는 위치이다.

B점의 수직반력 크기는 M cosθ / a이다.

A점 롤러의 지지면이 부재 AB와 나란하므로 A의 반력 $R_A$는 부재 AB에 수직이다. B에 대한 모멘트 평형: $R_A\times a = M \Rightarrow R_A = \dfrac{M}{a}$

부재가 수평과 θ를 이루므로 $R_A$는 연직선과 θ를 이룬다.
Σ$F_{y}$ = 0: $V_B = R_A\cos\theta = \dfrac{M\cos\theta}{a}$ (수평반력은 $\dfrac{M\sin\theta}{a}$)
집중모멘트는 위치와 무관하게 같은 효과를 내므로 BC 길이 b는 답에 나타나지 않는다.

변형에너지의 비 $U_{(a)}$/$U_{(b)}$는 8/5이다.

$U = \sum \dfrac{P^2 L_i}{2EA_i}$이고, 지름 d의 단면적을 A라 하면 지름 2d의 단면적은 4A이다.

(a): $U_a = \dfrac{P^2 L}{2EA}$
(b): 가운데 L/2는 A, 양 끝 굵은 부분은 합계 L/2에 4A → $U_b = \dfrac{P^2}{2E}\left(\dfrac{L/2}{A} + \dfrac{L/2}{4A}\right) = \dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{P^2 L}{2EA}$
$\dfrac{U_a}{U_b} = \dfrac{8}{5}$

C점 전단력의 영향선은 AB 구간에서 0이고, B에서 C까지 0에서 −0.5로 내려간 뒤 C에서 +0.5로 뛰어올라 D에서 0이 되는 선도이다.

A 고정, B 내부힌지이므로 AB는 캔틸레버이고 BD는 B와 D(롤러)에 걸친 경간 8 m 단순보처럼 거동한다. 하중이 AB 위에 있으면 고정단 A가 모두 받아 C의 전단력은 0이다.

하중이 BD 위에 있을 때 B에서의 거리를 x라 하면, C 왼쪽에서는 $V_C = -\dfrac{x}{8}$, C 오른쪽에서는 $V_C = \dfrac{8 - x}{8}$이므로 C에서 크기 1의 불연속(−0.5 → +0.5)이 생긴다.

• B에서 1이 되는 삼각형 선도는 AB 구간에서 값이 0이 아니므로 C 전단력의 영향선이 아니다.
• A에서 D까지 이어져 C에서 −1이 되는 선도는 AB 구간이 0이 아니고 C에서 불연속도 없다.
• A에서 D까지 이어져 C에서 +1이 되는 삼각형 선도도 같은 이유로 맞지 않는다.

$x_{2}$축에 대한 단면 2차 모멘트는 50,000 m$m^{4}$이다.

평행축 정리 $I_x = I_c + A d^2$는 도심축을 기준으로만 쓸 수 있으므로, 먼저 $x_{1}$축 값에서 도심축 값을 구한 뒤 $x_{2}$축으로 옮긴다.

$I_c = 100{,}000 - 100\times 30^2 = 10{,}000\ \mathrm{mm^4}$
$I_{x2} = 10{,}000 + 100\times 20^2 = 50{,}000\ \mathrm{mm^4}$

CD 부재력은 62.5 kN(인장)이다.

부재 AE·CD·BF를 지나는 단면으로 잘라 위쪽 자유물체(E·D·F와 부재 EF·ED·DF)를 보면, 잘린 AE와 BF는 연직이므로 수평력은 CD만 낸다. A를 원점으로 C(6, 2), D(10, 5)이므로 CD는 수평 4·연직 3·길이 5이다.

Σ$F_{x}$ = 0 (오른쪽 +, CD 인장 가정): $50 - \dfrac{4}{5}F_{CD} = 0 \Rightarrow F_{CD} = 62.5\ \mathrm{kN}$
양수이므로 인장이며, D와 F의 연직하중 100 kN은 수평 평형에 들어가지 않는다.

C점의 축방향 변위 크기는 3FL/16EA이다.

양단 고정이므로 F를 AC(길이 L/4)와 CB(길이 3L/4)가 나눠 받고, 두 구간의 C점 변위가 같은 병렬 스프링으로 볼 수 있다. 강성 $k_{AC} = \dfrac{4EA}{L},\ k_{CB} = \dfrac{4EA}{3L}$

$\delta_C = \dfrac{F}{k_{AC} + k_{CB}} = \dfrac{F}{16EA/(3L)} = \dfrac{3FL}{16EA}$
검산: $R_A = \dfrac{3F}{4}$이므로 $\delta_C = \dfrac{(3F/4)(L/4)}{EA} = \dfrac{3FL}{16EA}$

a/b는 2이다.

AB는 A(힌지)와 내부힌지 B로 받친 단순보 역할을 하므로, B 힌지가 전달하는 힘은 $V_B = \dfrac{Pa}{L}$이고 이 힘이 내민보 BCD의 끝 B에 아래로 작용한다.

BCD에서 Σ$M_{D}$ = 0 (B~D 거리 L, C~D 거리 b): $R_C\times b = \dfrac{Pa}{L}\times L = Pa \Rightarrow R_C = \dfrac{Pa}{b}$
$R_C = 2P \Rightarrow \dfrac{a}{b} = 2$

휨응력의 크기는 9.45 MPa이다.

C는 경간 중앙이므로 $M_C = \dfrac{wL^2}{8} = \dfrac{2\times 6^2}{8} = 9\ \mathrm{kN\cdot m}$이고, 하단에서 30 mm 위는 중립축에서 $y = 100 - 30 = 70\ \mathrm{mm}$ 아래인 인장측이다.

$I = \dfrac{100\times 200^3}{12} = \dfrac{2}{3}\times 10^8\ \mathrm{mm^4}$
$\sigma = \dfrac{My}{I} = \dfrac{9\times 10^6\times 70}{(2/3)\times 10^8} = 9.45\ \mathrm{MPa}$

• 13.5 MPa는 하연(y = 100 mm)의 최대 휨응력이다.
• 4.05 MPa는 중립축에서의 거리를 30 mm로 잘못 잡은 값이다.
• 6.75 MPa는 거리를 50 mm로 잡은 값으로 주어진 위치와 맞지 않는다.