24년 1회차

케이블 장력은 $\dfrac{240}{\sqrt{3}}\,\mathrm{kN}$이다. 수평 풍하중 W는 모르지만 연직 방향 평형만으로 T가 정해진다.

기구에 대한 연직 평형(케이블은 지면과 60°)
$\Sigma F_y=0:\ T\sin 60^\circ=120$
$T=\dfrac{120}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{240}{\sqrt{3}}=80\sqrt{3}\,\mathrm{kN}$

참고로 수평 평형에서 $W=T\cos 60^\circ=\dfrac{120}{\sqrt{3}}\,\mathrm{kN}$이 되며, 이 값은 장력이 아니라 풍하중의 크기이다.

• $\dfrac{120}{\sqrt{3}}$이면 연직 성분이 60 kN뿐이라 부양력을 받치지 못한다(이 값은 풍하중 W의 크기이다).
• $120\sqrt{3}$이면 연직 성분이 180 kN으로 부양력보다 크다.
• $240\sqrt{3}$이면 연직 성분이 360 kN으로 부양력의 세 배가 된다.

기둥 (b)의 좌굴하중은 400 kN이다. 양단 핀인 (a)와 길이·EI가 같고 양단 고정인 (b)는 유효길이가 절반이 되어 좌굴하중이 4배가 된다.

오일러 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$에서 (a) 양단 핀 $K=1$, (b) 양단 고정 $K=0.5$
$\dfrac{P_b}{P_a}=\left(\dfrac{1}{0.5}\right)^2=4$ → $P_b=4\times100=400\,\mathrm{kN}$

• 25 kN은 비 4를 거꾸로 적용해 나눈 값이다.
• 200 kN은 유효길이 비(2)를 제곱하지 않은 값이다.
• $200\sqrt{2}$ kN은 유효길이 비의 제곱(4배)과 맞지 않는다.

주응력은 $\sigma_1=15,\ \sigma_2=5\,\mathrm{MPa}$, 최대전단응력은 $\tau_{max}=5\,\mathrm{MPa}$이다.

그림에서 $\sigma_x=\sigma_y=10\,\mathrm{MPa}$(인장), $\tau_{xy}=5\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=10\pm\sqrt{0+25}=10\pm5$
$\tau_{max}=\sqrt{0+5^2}=5\,\mathrm{MPa}$ (모어원 반지름)

• σ1=15, σ2=5, τmax=$5\sqrt{5}$ 조합은 최대전단응력을 모어원 반지름보다 크게 잡았는데, 두 수직응력이 같으므로 반지름은 τxy 자체(5)이다.
• σ1=10, σ2=5, τmax=$5\sqrt{5}$ 조합은 주응력이 평균 10에서 ±5만큼 벌어진다는 점과 최대전단응력 모두 맞지 않는다.
• σ1=10, σ2=5, τmax=5 조합은 최대전단응력은 맞으나, 최대주응력이 평균응력(10)과 같을 수 없다.

A점과 D점의 전단력은 $V_A=0.5P,\ V_D=0.5P$이다. 두 힌지 B·C 사이 구간이 얹힌 단순보처럼 하중을 양쪽에 반씩 넘기기 때문이다.

BC 구간(경간 $2b$, 하중이 중앙): $R_B=R_C=\dfrac{P\cdot b}{2b}=\dfrac{P}{2}$
AB는 A 고정 캔틸레버로 B 끝에 $P/2$를 받으므로 $V_A=0.5P$, CD는 D 고정 캔틸레버로 C 끝에 $P/2$를 받으므로 $V_D=0.5P$이다.

캔틸레버 구간 길이(3b, b)는 고정단 휨모멘트에만 영향을 줄 뿐 전단력에는 영향을 주지 않는다.

• 0.1P·0.9P 조합은 연직 합은 P이지만, 하중이 두 힌지의 정중앙에 있어 양쪽 전달력이 같아야 한다는 점에 어긋난다.
• 0.3P·0.7P 조합도 같은 이유로 대칭 분배와 맞지 않는다.
• 0.9P·0.1P 조합 역시 A쪽으로 하중이 몰릴 근거가 없다.

필요한 하중은 $P=\dfrac{3}{2}\dfrac{M}{L}$이다. 두 캔틸레버의 자유단 처짐 공식을 같게 놓으면 된다.

(a) 자유단 집중하중: $\delta_B=\dfrac{PL^3}{3EI}$
(b) 자유단 모멘트: $\delta_B=\dfrac{ML^2}{2EI}$
$\dfrac{PL^3}{3EI}=\dfrac{ML^2}{2EI}\ \Rightarrow\ P=\dfrac{3M}{2L}$

• $\dfrac{1}{2}\dfrac{M}{L}$은 하중이 부족해 (a)의 처짐이 (b)의 1/3에 그친다.
• $\dfrac{M}{L}$도 (a)의 처짐이 (b)의 2/3로 작다.
• $2\dfrac{M}{L}$은 (a)의 처짐이 (b)의 4/3로 커진다. 결국 공식 계수 1/3과 1/2의 비가 답의 계수가 된다.

옳지 않은 설명은 A~G 전 구간에 등분포하중이 작용한다는 것이다. F~G 구간의 휨모멘트 선도가 2차 곡선이 아닌 직선이므로 이 구간에는 분포하중이 없다.

등분포하중 구간은 휨모멘트가 2차 곡선, 무하중 구간은 직선이다. F~G는 F의 부모멘트에서 G의 0까지 직선이므로 전단력이 일정하고, 자유단 G에서 그 전단력을 받아 주는 집중하중이 있어야 한다.

• A~C는 부모멘트라 위로 볼록, C~E는 정모멘트라 아래로 볼록하게 처지므로 처짐 형상 설명은 옳다.
• D점에서 휨모멘트가 왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때 위로 불연속 증가하므로 시계방향 집중 모멘트하중이 작용한다는 설명은 옳다.
• F~G의 직선 선도가 G에서 0으로 끝나며 기울기(전단력)가 남아 있으므로 G점에 집중하중이 작용한다는 설명은 옳다.

두 단면은 $I_{(a)}=I_{(b)}$이고 $Z_{(a)}>Z_{(b)}$이다.

정사각형은 도심을 지나는 모든 축에 대해 단면2차모멘트가 같다: $I=\dfrac{h^4}{12}$
(a) 연단거리 $h/2$: $Z_{(a)}=\dfrac{h^4/12}{h/2}=\dfrac{h^3}{6}$
(b) 연단거리 $h/\sqrt{2}$: $Z_{(b)}=\dfrac{h^4/12}{h/\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}h^3}{12}=\dfrac{h^3}{6\sqrt{2}}$

• I와 Z가 모두 같다는 설명은 (b)의 연단거리가 더 멀어 Z가 작아지는 점을 놓쳤다.
• I와 Z가 모두 (a)가 크다는 설명은 정사각형의 I가 축 방향과 무관하다는 점에 어긋난다.
• I는 (a)가 크고 Z는 같다는 설명은 실제와 반대로, I는 같고 Z는 연단거리가 짧은 (a)가 더 크다.

케이블의 길이 변형량은 10 mm이다. 강체보의 A점 모멘트 평형으로 장력을 구한 뒤 $\delta=\dfrac{TL}{EA}$를 적용한다.

케이블 BD: 수평 4 m, 연직 3 m → 길이 5 m, 연직 성분 $\dfrac{3}{5}T$
$\Sigma M_A=0:\ \dfrac{3}{5}T\times4=16\times6\ \Rightarrow\ T=40\,\mathrm{kN}$

$\delta=\dfrac{TL}{EA}=\dfrac{40\times5}{200000\times0.1}=0.01\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{mm}$ (장력의 수평 성분은 A와 같은 높이에 작용해 모멘트에 기여하지 않는다)

• 5 mm는 장력 20 kN에 해당해 A점 모멘트 평형(2.4T=96)을 만족하지 않는다.
• 20 mm는 장력 80 kN에 해당해 역시 평형을 만족하지 않는다.
• 40 mm는 장력 160 kN에 해당하는 값이다.

부재의 축방향 응력은 300 MPa(인장)이다. 게이지가 측정한 전체 변형률에서 온도 변형률을 빼면 응력에 의한 탄성 변형률이 남는다.

$\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}+\alpha\Delta T$
$\alpha\Delta T=20\times10^{-6}\times(-30)=-600\times10^{-6}$
$\dfrac{\sigma}{E}=2400\times10^{-6}+600\times10^{-6}=3000\times10^{-6}$
$\sigma=100000\,\mathrm{MPa}\times0.003=300\,\mathrm{MPa}$

• 240 MPa는 측정 변형률 전체를 응력 변형률로 본 값으로, 온도 수축을 보정하지 않았다.
• 180 MPa는 온도 변형률의 부호를 반대로 보정(2400−600)한 값이다.
• 120 MPa는 탄성 변형률 1200×$10^{-6}$에 해당해 어떤 보정으로도 나오지 않는다.

미끄러짐 직전의 최대 하중은 25 kN이다. 도르래 마찰이 없으므로 케이블 장력은 P와 같고, 그 경사 성분이 수직항력을 줄인다.

경사 3:4 → $\sin\theta=0.6,\ \cos\theta=0.8$
$N=W-0.6P=55-0.6P$
미끄러짐 직전: $0.8P=\mu N=0.5(55-0.6P)$
$1.1P=27.5\ \Rightarrow\ P=25\,\mathrm{kN}$

• 30 kN이면 수평 성분 24 kN이 최대정지마찰력 0.5×37=18.5 kN을 넘어 이미 미끄러진다.
• 35 kN이면 수평 성분 28 kN이 0.5×34=17 kN을 넘는다.
• 40 kN이면 수평 성분 32 kN이 0.5×31=15.5 kN을 넘는다. 장력의 연직 성분으로 수직항력이 감소하는 점을 반영해야 한다.

y방향 수축변형률은 $0.24\times10^{-3}$이다. x방향이 구속되어 있어 벽이 x방향 압축응력을 만들고, 이것이 포아송 효과로 y방향 수축을 줄인다.

x방향 구속 $\varepsilon_x=0$: $\sigma_x-\nu\sigma_y=0\ \Rightarrow\ \sigma_x=0.2\times(-50)=-10\,\mathrm{MPa}$
$\varepsilon_y=\dfrac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}=\dfrac{-50-0.2\times(-10)}{200000}=\dfrac{-48}{200000}=-0.24\times10^{-3}$

• 0.20은 σx를 −50 MPa(양방향 같은 압력)로 본 값 $(-50+10)/200000$으로, 마찰 없는 벽의 구속 조건 $\varepsilon_x=0$과 다르다.
• 0.22는 구속응력이 −30 MPa여야 나오는 값으로 $\sigma_x=\nu\sigma_y$와 맞지 않는다.
• 0.26은 구속이 없을 때의 $0.25\times10^{-3}$보다도 커서, 구속이 오히려 수축을 줄인다는 점과 맞지 않는다.

A점의 수직 반력은 $\dfrac{10}{3}\,\mathrm{kN}$ 하향이다. 두 케이블 장력의 합(40/3 kN)이 하중 10 kN보다 커서 A가 보를 아래로 잡아당겨야 한다.

변형 적합: A 중심으로 회전각 θ → $\delta_B=5\theta,\ \delta_C=10\theta$
$T_B=\dfrac{EA\cdot5\theta}{2},\ T_C=\dfrac{EA\cdot10\theta}{4}$ → 두 장력이 같다 ($T_B=T_C=T$)
$\Sigma M_A=0:\ 5T+10T=10\times10\ \Rightarrow\ T=\dfrac{20}{3}\,\mathrm{kN}$

$\Sigma F_y=0:\ R_A+2T-10=0\ \Rightarrow\ R_A=10-\dfrac{40}{3}=-\dfrac{10}{3}\,\mathrm{kN}$ (음수이므로 하향)

• 20/3 kN 하향은 케이블 하나의 장력 크기로, A점 반력이 아니다.
• 20/3 kN 상향도 케이블 장력과 혼동한 값이다.
• 10/3 kN 상향은 크기는 맞으나 반력이 음수로 나온 점을 놓쳐 방향이 반대이다.

D~E 구간 전단력의 영향선은 A에서 0, D에서 음의 최댓값, E에서 양의 최댓값, F에서 0인 꺾은선이다. 하중이 세로보를 거쳐 패널점으로만 전달되므로 D와 E 사이에서 불연속 없이 직선으로 이어진다.

경간을 5등분(패널 길이 a)하면 패널점 값은 단순보 전단 영향선과 같다: D에서 $-\dfrac{3}{5}$, E에서 $+\dfrac{1}{5}$. 패널 내부는 두 패널점 값을 직선 보간한다.

• D에서 수직으로 뛰는(불연속) 영향선은 바닥틀이 없는 일반 단순보의 단면 전단 영향선이다.
• A~D에서 0이다가 D에서 음으로 떨어져 F까지 직선으로 돌아오는 선도는 하중이 A~D 패널점에 있을 때 생기는 음의 전단(좌측 가지)을 빠뜨렸다.
• E에서 꼭짓점을 갖는 양(+)의 삼각형은 E점 휨모멘트 영향선의 형태이다.

등분포 소성붕괴하중은 $w_u=\dfrac{8M_p}{L^2}$이다. 정정 단순보는 최대 모멘트 위치(경간 중앙)에 소성힌지 하나만 생겨도 붕괴 기구가 된다.

단순보 중앙 휨모멘트 $M_{max}=\dfrac{wL^2}{8}$
$\dfrac{w_uL^2}{8}=M_p\ \Rightarrow\ w_u=\dfrac{8M_p}{L^2}$

• $\dfrac{4M_p}{L^2}$은 최대 모멘트를 $wL^2/4$로 잘못 잡은 값이다.
• $\dfrac{2M_p}{L^2}$은 캔틸레버의 고정단 모멘트 $wL^2/2$를 적용한 값이다.
• $\dfrac{M_p}{L^2}$은 계수 1/8을 빠뜨리고 $wL^2=M_p$로 둔 값이다.

스프링 강성은 $k_B=2.5\,\mathrm{kN/m}$이다. 보가 수평을 유지하려면 두 스프링의 늘음량이 같아야 한다.

반력: $R_A=\dfrac{900\times2}{3}=600\,\mathrm{N},\ R_B=\dfrac{900\times1}{3}=300\,\mathrm{N}$
같은 처짐: $\dfrac{R_A}{k_A}=\dfrac{R_B}{k_B}\ \Rightarrow\ \dfrac{0.6}{5}=0.12\,\mathrm{m}$
$k_B=\dfrac{0.3}{0.12}=2.5\,\mathrm{kN/m}$

• 1.0 kN/m이면 B 스프링이 0.3 m 늘어나 A쪽(0.12 m)보다 훨씬 처진다.
• 1.5 kN/m이면 B쪽 0.2 m로 여전히 B쪽으로 기운다.
• 2.0 kN/m이면 B쪽 0.15 m로 A쪽 0.12 m와 같지 않다. 반력 비 2:1과 강성 비 2:1이 같아야 한다.

최대전단응력의 비는 $\dfrac{9\pi}{32}$이다. 정사각형은 평균의 1.5배, 원형은 평균의 4/3배가 최대전단응력이다.

정사각형: $\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{a^2}$
원형(지름 a): $\tau_{max}=\dfrac{4}{3}\dfrac{V}{\pi a^2/4}=\dfrac{16V}{3\pi a^2}$
$\dfrac{3/2}{16/(3\pi)}=\dfrac{9\pi}{32}$

• $\pi/4$는 평균전단응력의 비(면적 비)로, 단면 형상 계수(3/2, 4/3)를 빠뜨린 값이다.
• $7\pi/32$는 두 계수 3/2와 4/3의 조합으로 나오지 않는다.
• $3\pi/16$은 정사각형 계수 3/2를 1로 본 값이다.

봉 재료의 탄성계수는 240 GPa이다. 곡률과 휨모멘트의 관계 $\dfrac{1}{\rho}=\dfrac{M}{EI}$를 E에 대해 풀면 된다.

$I=\dfrac{10\times10^3}{12}=833.3\,\mathrm{mm^4}=8.333\times10^{-10}\,\mathrm{m^4}$
$E=\dfrac{M\rho}{I}=\dfrac{50\times4}{8.333\times10^{-10}}=2.4\times10^{11}\,\mathrm{Pa}=240\,\mathrm{GPa}$

• 200 GPa는 I를 $a^4/10$으로 잡은 값이다.
• 220 GPa는 정사각형 단면2차모멘트 $a^4/12$로 계산한 값과 맞지 않는다.
• 260 GPa도 같은 이유로 곡률-모멘트 관계를 만족하지 않는다.

부재 BC의 부재력은 $5\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$(압축)이다. 지점 반력을 구한 뒤 절점 A, 절점 B 순으로 절점법을 적용한다.

반력: $\Sigma M_A=0:\ 3R_D=5\times1+5\times2\Rightarrow R_D=5,\ R_A=5\,\mathrm{kN}$
절점 A(AB는 45° 경사): $F_{AB}\sin45^\circ+5=0\Rightarrow F_{AB}=-5\sqrt{2}$
절점 B 수평 평형(AB·BC 모두 45°, BF는 연직): $F_{BC}=F_{AB}=-5\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$

검산: 절점 B 연직 $5+5-F_{BF}-5=0\Rightarrow F_{BF}=5$(인장), 절점 D에서도 $F_{DC}=-5\sqrt{2}$로 대칭적 결과가 나온다.

• 5 kN 인장은 45° 경사 부재의 한 성분만 본 값이며 부호도 반대이다.
• 5 kN 압축은 경사 부재의 연직 성분(5 kN)을 부재력으로 착각한 값이다.
• $5\sqrt{2}$ kN 인장은 크기는 맞으나, 절점 B에서 BC는 지점 반력을 받치는 압축재 AB와 같은 부재력이다.

A점의 회전각은 $\theta_A=0.015\,\mathrm{rad}$, C점의 처짐은 $\delta_C=0.03\,\mathrm{m}$이다. 하중이 경간 중앙에 있는 단순보 공식을 그대로 쓴다.

$\theta_A=\dfrac{PL^2}{16EI}=\dfrac{8\times6^2}{16\times1200}=\dfrac{288}{19200}=0.015\,\mathrm{rad}$
$\delta_C=\dfrac{PL^3}{48EI}=\dfrac{8\times6^3}{48\times1200}=\dfrac{1728}{57600}=0.03\,\mathrm{m}$

• θA=0.015, δC=0.02 조합의 처짐은 $PL^3/72EI$에 해당해 중앙 집중하중 공식과 다르다.
• θA=0.01, δC=0.03 조합의 회전각은 $PL^2/24EI$에 해당한다.
• θA=0.01, δC=0.02 조합은 두 값 모두 공식과 맞지 않는다.

판의 두께는 t = 8 mm이다. 접착면(중립축에서 t/2 떨어진 면)의 전단응력 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$가 전단강도 5 MPa에 도달하는 조건이다.

$V=\dfrac{P}{2}=4.5\,\mathrm{kN}=4500\,\mathrm{N}$
$I=\dfrac{50(3t)^3}{12}=112.5t^3,\ Q=50t\times t=50t^2$ (윗판 면적 × 중립축까지 거리 t)
$\tau=\dfrac{4500\times50t^2}{112.5t^3\times50}=\dfrac{40}{t}=5\ \Rightarrow\ t=8\,\mathrm{mm}$

• 16 mm는 전단력을 P 전체로 잡은 값이다.
• 24 mm이면 접착면 전단응력이 40/24≈1.7 MPa로 강도에 못 미친다.
• 32 mm이면 접착면 전단응력이 1.25 MPa로 역시 파괴되지 않는다.