11년 1회차

옳은 설명은 3상 유효전력 $P=\sqrt{3}VI\cos\theta$에서 V와 I가 선간전압과 선전류라는 것이다.

3상 전력은 $3V_pI_p\cos\theta$이고, Y·Δ 어느 결선이든 $V_pI_p=\dfrac{V_lI_l}{\sqrt{3}}$이므로 $\sqrt{3}V_lI_l\cos\theta$가 된다.

• 3상 유효전력은 단상 유효전력의 √3배가 아니라 3배이다.
• 복소전력은 전압 페이저와 전류 페이저의 공액을 곱해야 한다($S=\dot{V}\dot{I}^*$). 공액 없이 곱한 식은 틀리다.
• 평형 Y 부하에서 선간전압은 상전압보다 30° 앞서므로 $V_L=\sqrt{3}V_P\angle30^\circ$이며, −30°는 틀리다.

기전력은 80 V, 내부저항은 5 Ω이다.

기전력을 E, 내부저항을 r이라 하면 $E=I(R+r)$가 두 경우 모두 성립한다.

$8(5+r)=4(15+r)$에서 $40+8r=60+4r$, $r=5\,\mathrm{\Omega}$이다.
$E=8\times(5+5)=80\,\mathrm{V}$

$b/a$는 8이다.

두 전류가 같은 방향이므로 두 도선 사이 점 P에서는 각 도선의 자계가 서로 반대 방향이다. 따라서 크기가 같으면 합성 자계가 0이 된다.

$\dfrac{I}{2\pi a}=\dfrac{8I}{2\pi b}$에서 $\dfrac{b}{a}=8$이다.

저항에서 소비되는 전력은 200 W이다.

유기 기전력은 $e=Blv$$=10\times0.2\times10=20\,\mathrm{V}$이다.

$P=\dfrac{e^2}{R}=\dfrac{20^2}{2}=200\,\mathrm{W}$이다. 길이 20 cm를 0.2 m로 환산해야 한다.

정전용량은 3.6 ㎌이다.

극판과 평행하게 넣은 유리판은 공기층과 직렬인 두 커패시터를 만든다. 원래 용량 $C_0=2\,\mathrm{\mu F}$이다.

공기층(두께 d/2): $2C_0=4\,\mathrm{\mu F}$
유리층(두께 d/2, 비유전율 9): $9\times2C_0=36\,\mathrm{\mu F}$
$C=\dfrac{4\times36}{4+36}=3.6\,\mathrm{\mu F}$

크기 관계는 $I_2>I_1>I_3$이다.

12 V 전지 왼쪽 마디를 A, 오른쪽 마디를 B라 하면 $B=A+12$이다(10 V·6 V 전지는 위쪽이 +). 두 마디를 초마디로 묶어 KCL을 세운다.

$\dfrac{A-10}{6}+\dfrac{A}{6}+\dfrac{A+12}{4}+\dfrac{A+12-6}{8}=0$에서 $17A=-50$, $A\approx-2.94\,\mathrm{V}$, $B\approx9.06\,\mathrm{V}$이다.

$I_1=\dfrac{0-A}{6}\approx0.49\,\mathrm{A}$, $I_2=\dfrac{B}{4}\approx2.26\,\mathrm{A}$, $I_3=\dfrac{B-6}{8}\approx0.38\,\mathrm{A}$이다.

$X_c$는 12.5 Ω이다.

전류가 최소가 되는 것은 병렬 공진, 즉 전체 어드미턴스의 허수부가 0일 때이다.

R-L 가지: $Y_1=\dfrac{1}{6+j8}=\dfrac{6-j8}{100}=0.06-j0.08\,\mathrm{S}$
커패시터 서셉턴스가 0.08 S이어야 하므로 $X_c=\dfrac{1}{0.08}=12.5\,\mathrm{\Omega}$이다.

역률은 0.8, 기전력은 200 V이다.

커패시터 전압과 리액턴스로 전류를 구한다: $I=\dfrac{40}{2}=20\,\mathrm{A}$.

$Z=8+j(8-2)=8+j6$, $|Z|=10\,\mathrm{\Omega}$이므로
$\cos\theta=\dfrac{8}{10}=0.8$, $V_s=20\times10=200\,\mathrm{V}$이다.

$R_{th}$ = 6 kΩ, $V_{oc}$ = −24 V이다.

개방전압: 12 V 전지 아래 마디를 M이라 하면 a = M + 12이다. a와 M을 초마디로 묶으면 오른쪽 마디로 나가는 전류는 모두 6 mA 전류원으로 빠지므로 초마디 KCL은 $\dfrac{M}{6}+6=0$(kΩ, mA 단위)이다. $M=-36\,\mathrm{V}$, $V_{oc}=-36+12=-24\,\mathrm{V}$이다.

등가저항: 전압원 단락·전류원 개방 시 두 4 kΩ은 전류가 빠질 곳이 없는 마디에 매달려 무관해지고, a-b 사이에는 6 kΩ만 남는다.

선전류 $i_c$는 $\dfrac{60}{\sqrt{3}}\angle60^\circ\,\mathrm{A}$이다.

$V_{ab}=120\angle0^\circ$이면 Y 부하 상전압은 크기 $\dfrac{120}{\sqrt{3}}$, 위상은 선간전압보다 30° 늦다. $V_A=\dfrac{120}{\sqrt{3}}\angle-30^\circ$이고 $V_C=\dfrac{120}{\sqrt{3}}\angle90^\circ$이다.

$Z_Y=\sqrt{3}+j1=2\angle30^\circ$이므로 $i_c=\dfrac{120/\sqrt{3}}{2}\angle(90^\circ-30^\circ)=\dfrac{60}{\sqrt{3}}\angle60^\circ$이다.

$R_1$ = 24 Ω, $R_2$ = 12 Ω이다.

4 Ω 전력 100 W에서 $I=\sqrt{\dfrac{100}{4}}=5\,\mathrm{A}$, 4 Ω 전압이 20 V이므로 전원 60 V 중 병렬부에 걸리는 전압은 $60-20=40\,\mathrm{V}$, 합성저항은 $\dfrac{40}{5}=8\,\mathrm{\Omega}$이다.

전류비 1 : 2면 저항비는 반대로 $R_1=2R_2$이다. $\dfrac{2R_2\cdot R_2}{3R_2}=\dfrac{2R_2}{3}=8$에서 $R_2=12$, $R_1=24\,\mathrm{\Omega}$이다.

주파수가 높아지면 역률과 소비전력 모두 감소한다.

$X_L=2\pi fL$가 커지므로 임피던스 $Z=\sqrt{R^2+X_L^2}$가 증가하고, 역률 $\cos\theta=\dfrac{R}{Z}$는 감소한다.

전류 $I=\dfrac{V}{Z}$도 감소하므로 소비전력 $P=I^2R$도 감소한다.

옳지 않은 것은 파고율이 파형률보다 크다는 설명이다.

±100 V 구형파는 실횻값 = 평균값(반주기) = 최댓값 = 100 V이므로 파고율 = 파형률 = 1로 같다.

• 주기가 20 s이므로 $\omega=\dfrac{2\pi}{20}=0.1\pi\,\mathrm{rad/s}$로 옳다.
• 반주기 평균값은 100 V로 옳다.
• 실횻값이 최댓값과 같다는 것도 구형파의 성질로 옳다.

전계의 세기는 5 V/m이다.

전계는 전위의 음의 기울기이다: $E=-\nabla V=-(3\,\hat{x}+4y\,\hat{y})$

점 $(2,-1,3)$에서 $E=-3\hat{x}+4\hat{y}$이므로 $|E|=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{V/m}$이다.

최대전력이 공급되는 부하는 $Z_L=5-j6\,\mathrm{\Omega}$이다.

최대전력 조건은 부하가 테브난 임피던스의 공액 복소수인 것이다. 전원을 단락하면 용량성 3 Ω과 유도성 2 Ω이 병렬이 된다.

$\dfrac{(-j3)(j2)}{-j3+j2}=\dfrac{6}{-j}=j6$이므로 $Z_{th}=5+j6$, 따라서 $Z_L=5-j6$이다.

• $5+j6$는 공액을 취하지 않은 테브난 임피던스 자체이다.
• $5\pm j\dfrac{6}{5}$는 병렬 리액턴스를 직렬처럼 합하는 등 계산을 잘못한 값이다.

3상 전력은 4.8 kW이다.

Y 결선이므로 상전압 $V_p=\dfrac{200}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V}$, $|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{\Omega}$, 상전류 $I_p=\dfrac{40}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$이다.

$P=3I_p^2R$$=3\times\dfrac{1600}{3}\times3=4800\,\mathrm{W}=4.8\,\mathrm{kW}$이다.

$i_o(0^+)$는 2.5 mA이다.

전환 전 정상상태: 커패시터 개방, 전류 $\dfrac{12}{2+4+6}=1\,\mathrm{mA}$, 커패시터 전압 $v_C=12-2\times1=10\,\mathrm{V}$이다.

t = 0에서 S$\mathrm{W}_{1}$이 열리고 S$\mathrm{W}_{2}$가 닫혀 4 kΩ 오른쪽 마디가 접지에 단락되므로(6 kΩ도 단락), 커패시터가 4 kΩ을 통해 방전한다. 커패시터 전압은 연속이므로 $i_o(0^+)=\dfrac{10}{4\,\mathrm{k\Omega}}=2.5\,\mathrm{mA}$이다.

걸리는 시간은 100 μs, 그때 전류는 18.4 A이다.

C에서 본 테브난 등가: $V_{th}=\dfrac{E}{2}=50\,\mathrm{V}$, $R_{th}=\dfrac{R}{2}=1\,\mathrm{\Omega}$이다. 63.2 % 도달 시간은 시정수 $\tau=R_{th}C=1\times100\times10^{-6}=100\,\mathrm{\mu s}$이다.

커패시터 전류는 $I=\dfrac{V_{th}}{R_{th}}e^{-t/\tau}=50e^{-t/\tau}$이므로 $t=\tau$에서 $50\times0.368=18.4\,\mathrm{A}$이다.

2 Ω에서 소비되는 전력이 4.5 W 증가한다는 설명이 옳다.

닫으면 6 Ω이 3 Ω과 병렬로 붙어 합성저항이 줄고 전류가 증가한다.
닫기 전: $I=\dfrac{10}{2+3}=2\,\mathrm{A}$, $P=2^2\times2=8\,\mathrm{W}$
닫은 후: $3\parallel6=2\,\mathrm{\Omega}$, $I=\dfrac{10}{4}=2.5\,\mathrm{A}$, $P=12.5\,\mathrm{W}$

• 저항값 자체는 변하지 않는다.
• 전류 증가량은 0.5 A이다.
• 양단 전압은 4 V에서 5 V로 1 V 증가한다.

선로저항은 $\sqrt{5}-1\,\mathrm{\Omega}$이다.

Δ 부하를 Y로 바꾸면 한 상 $\dfrac{Z}{3}=1+j2$이고, 선로저항과 합한 상당 임피던스는 $(1+r)+j2$이다.

상전압 $\dfrac{180}{\sqrt{3}}$, 선전류 $20\sqrt{3}$이므로 $|Z|=\dfrac{180/\sqrt{3}}{20\sqrt{3}}=3\,\mathrm{\Omega}$이다.
$(1+r)^2+2^2=9$에서 $1+r=\sqrt{5}$, $r=\sqrt{5}-1$