13년 1회차

ab 양단 전압은 $V_0\left(\dfrac{R_m}{R_V}+1\right)$이다.

배율기 $R_m$와 전압계 내부저항 $R_V$는 직렬이므로 같은 전류 $\dfrac{V_0}{R_V}$가 흐른다.

$V_{ab}=\dfrac{V_0}{R_V}(R_m+R_V)=V_0\left(\dfrac{R_m}{R_V}+1\right)$이다. 이 괄호 값이 배율기의 배율이다.

• 지시값 $V_0$ 그대로는 배율기 전압을 빠뜨린 것이다.
• $V_0\dfrac{R_m}{R_V}$는 배율기 전압만 구한 값이다.
• $V_0\left(\dfrac{R_m}{R_V}-1\right)$는 부호가 틀렸다.

순서대로 렌츠의 법칙, 플레밍의 왼손법칙, 패러데이의 유도법칙이다.

(A)는 유도 기전력의 방향(자속 변화를 방해)을 정하는 렌츠의 법칙, (B)는 전동기 원리인 플레밍의 왼손법칙, (C)는 기전력의 크기 $e=-\dfrac{d(N\Phi)}{dt}$를 정하는 패러데이의 법칙이다.

• 쿨롱의 법칙은 전하 사이의 힘으로, 유도 기전력의 방향과 무관하다.
• 플레밍의 오른손법칙은 발전기의 기전력 방향을 정하며, 전동기 회전 방향이 아니다.
• 암페어의 주회법칙은 전류와 자계의 관계로, 유도 기전력의 크기를 정하지 않는다.

합성 정전용량은 12 ㎌, $\mathrm{C}_{2}$ 전압은 120 V이다.

$\mathrm{C}_{2}$와 $\mathrm{C}_{3}$ 직렬: $\dfrac{3\times6}{3+6}=2\,\mathrm{\mu F}$, 여기에 $\mathrm{C}_{1}$이 병렬이므로 $10+2=12\,\mathrm{\mu F}$이다.

직렬 가지에는 180 V가 걸리고, 전압은 용량에 반비례해 분배된다: $V_2=180\times\dfrac{6}{3+6}=120\,\mathrm{V}$

영상임피던스는 j200 Ω이다.

영상임피던스는 $Z_{01}=\sqrt{\dfrac{AB}{CD}}$, $Z_{02}=\sqrt{\dfrac{DB}{CA}}$이며, $A=D$인 대칭 회로라 두 값이 같다.

$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{\sqrt{5}\times j400}{-\dfrac{j}{100}\times\sqrt{5}}=-40000$이므로 $Z_0=\sqrt{-40000}=j200\,\mathrm{\Omega}$이다.

옳지 않은 것은 총 피상전력이 변경 전과 같다는 설명이다.

선간전압을 $V$, 상 임피던스를 Z라 하면 Δ일 때 상전압 V, 상전류 $\dfrac{V}{Z}$, 선전류 $\sqrt{3}\dfrac{V}{Z}$이다. Y로 바꾸면 상전압 $\dfrac{V}{\sqrt{3}}$, 상전류=선전류 $\dfrac{V}{\sqrt{3}Z}$이다.

따라서 피상전력 $\sqrt{3}VI_l$은 1/3배로 줄어든다.

• 선전류는 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\div\sqrt{3}=\dfrac{1}{3}$배가 되므로 옳다.
• 부하 상전압은 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$배가 되므로 옳다.
• 부하 상전류도 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$배가 되므로 옳다.

테브난 등가전압은 1.5 V, 등가저항은 5 Ω이다.

등가회로에서 $V_{th}=I(R_{th}+R_L)$가 두 경우 모두 성립한다.

$0.1(R_{th}+10)=0.05(R_{th}+25)$에서 $0.05R_{th}=0.25$, $R_{th}=5\,\mathrm{\Omega}$이다.
$V_{th}=0.1\times(5+10)=1.5\,\mathrm{V}$

단위 면적당 정전용량은 $\dfrac{3C}{2}$이다.

도체 평판 내부는 전계가 0이므로, 도체판을 넣으면 유효 간격이 도체 두께만큼 줄어든 것과 같다.

간격이 $d-\dfrac{d}{3}=\dfrac{2d}{3}$가 되므로 $C'=\dfrac{\varepsilon}{2d/3}=\dfrac{3}{2}C$이다.

실효값은 $10\sqrt{10}\,\mathrm{V}$이다.

직류 성분 10 V, 기본파 실효값 $\dfrac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=30\,\mathrm{V}$이다. 비정현파 실효값은 각 성분 실효값의 제곱합의 제곱근이다.

$V=\sqrt{10^2+30^2}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\,\mathrm{V}$이다.

선전류 $I_b$의 크기는 $5\sqrt{3}\,\mathrm{A}$이다.

Δ 전원이므로 선간전압이 100 V이고, $V_{ab}=100\angle0^\circ$, $V_{bc}=100\angle-120^\circ$로 둔다. b'에는 a'-b' 사이 유도성 20 Ω과 b'-c' 사이 용량성 10 Ω이 연결되어 있다.

KCL: $I_b=\dfrac{V_{ba}}{j20}+\dfrac{V_{bc}}{-j10}=\dfrac{-100}{j20}+j10\angle-120^\circ$
$=j5+10\angle-30^\circ=j5+(5\sqrt{3}-j5)=5\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

$i(0^+)$ = 2 A, $i(\infty)$ = 0 A이다.

스위치가 닫힌 정상상태에서 인덕터는 단락이므로 오른쪽 6 Ω은 단락되어 전류가 없고, 인덕터 전류는 $\dfrac{12}{6}=2\,\mathrm{A}$이다.

스위치가 열리면 인덕터 전류 2 A가 연속을 유지하며 오른쪽 6 Ω을 통해 순환한다(아래 도선을 오른쪽으로). 따라서 $i(0^+)=2\,\mathrm{A}$이고, 전원이 없으므로 에너지가 소모되어 $i(\infty)=0$이다.

중간 지점의 자기장 세기는 10 A/m이다.

전류가 서로 반대 방향이면 두 도선 사이에서는 각 도선의 자계가 같은 방향이 되어 더해진다.

각 도선에서 0.15 m 떨어진 점이므로 $H=2\times\dfrac{I}{2\pi r}=2\times\dfrac{1.5\pi}{2\pi\times0.15}=10\,\mathrm{A/m}$이다. 같은 방향 전류였다면 상쇄되어 0이 된다.

옳지 않은 것은 공진 시 회로 전류가 유도리액턴스 값으로 결정된다는 설명이다.

직렬 공진에서는 $X_L=X_C$로 리액턴스가 상쇄되어 임피던스가 저항 R만 남으므로 전류는 $I=\dfrac{V}{R}$로 정해진다.

• 유도리액턴스와 용량리액턴스의 크기가 같다는 것은 공진 조건이다.
• 임피던스가 최소이므로 전류는 최대이다.
• 순저항 회로가 되므로 전류와 전압은 동상이다.

부하저항을 두 배로 하면 전류는 0.30 A이다.

같은 전지 3개 병렬: 기전력은 1.5 V 그대로, 내부저항은 $\dfrac{3}{3}=1\,\mathrm{\Omega}$이다.

$0.5=\dfrac{1.5}{1+R}$에서 $R=2\,\mathrm{\Omega}$이다.
부하를 4 Ω으로 하면 $I=\dfrac{1.5}{1+4}=0.3\,\mathrm{A}$이다.

저항 R은 4 Ω이다.

오른쪽 12 Ω∥24 Ω = 8 Ω이다. 왼쪽 마디 전압 $V_1$, 오른쪽 마디 전압 $V_2=V_1-15$로 두고 KCL을 세운다.

$15=\dfrac{V_2+15}{4}+\dfrac{V_2}{8}$에서 $1.5V_2=45$, $V_2=30\,\mathrm{V}$이다.
R 전류 $=\dfrac{30}{8}=3.75\,\mathrm{A}$, $R=\dfrac{15}{3.75}=4\,\mathrm{\Omega}$

저항은 10 Ω이다.

임피던스 크기는 $|Z|=\dfrac{200}{10}=20\,\mathrm{\Omega}$이고, 위상차 60°는 임피던스 각이다.

$R=|Z|\cos60^\circ$$=20\times\dfrac{1}{2}=10\,\mathrm{\Omega}$이다. 용량 리액턴스는 $20\sin60^\circ=10\sqrt{3}\,\mathrm{\Omega}$이다.

유도기전력의 크기는 $15\sqrt{3}\,\mathrm{V}$이다.

먼저 자속밀도: $F=BIl$에서 $B=\dfrac{6}{2\times0.5}=6\,\mathrm{T}$이다.

도선은 y축 방향이므로 기전력에 기여하는 것은 도선에 수직인 x 방향 속도 성분 $v\cos30^\circ=5\sqrt{3}\,\mathrm{m/s}$이다.
$e=Blv\cos30^\circ=6\times0.5\times5\sqrt{3}=15\sqrt{3}\,\mathrm{V}$

역률은 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, 유효전력은 25 W이다.

병렬부: $\dfrac{2\times(-j2)}{2-j2}=1-j\,\mathrm{\Omega}$이므로 전체 $Z=(1+j3)+(1-j)=2+j2\,\mathrm{\Omega}$이다.

$\cos\theta=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$I=\dfrac{10}{2\sqrt{2}}$, $P=I^2R=\dfrac{100}{8}\times2=25\,\mathrm{W}$

출력전압은 $v(t)=6-2e^{-2t}\,\mathrm{V}$이다.

스위치 열림(정상): 세 4 Ω이 직렬이므로 $v(0)=12\times\dfrac{4}{12}=4\,\mathrm{V}$이다.
스위치 닫힘: 위쪽 4 Ω이 단락되어 $v(\infty)=12\times\dfrac{4}{8}=6\,\mathrm{V}$이다.

커패시터에서 본 저항은 $4\parallel4=2\,\mathrm{\Omega}$, $\tau=2\times0.25=0.5\,\mathrm{s}$이다.
$v(t)=6+(4-6)e^{-t/0.5}=6-2e^{-2t}$

• $4+2e^{-2t}$는 초기값과 최종값을 뒤바꾼 것이다.
• $4+2e^{-\frac{4}{3}t}$는 초기값·최종값이 뒤바뀌었고 시정수도 맞지 않는다.
• $6-2e^{-\frac{4}{3}t}$는 최종값은 맞지만 시정수가 0.75 s로, 등가저항 2 Ω에 맞지 않는다.

부하 임피던스는 $Z_L=1+j\,\mathrm{\Omega}$이다.

최대 평균전력 조건은 $Z_L=Z_{th}^*$이다. 전압원을 단락하면 가운데 마디에서 접지까지 2 Ω과 유도성 2 Ω이 병렬이 된다.

$\dfrac{2\times j2}{2+j2}=1+j$, 여기에 용량성 2 Ω이 직렬이므로 $Z_{th}=1+j-j2=1-j$이다. 공액을 취하면 $Z_L=1+j\,\mathrm{\Omega}$이다.

상전류는 $\dfrac{22}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$, 선전류는 22 A이다.

Y 전원의 상전압이 220 V이므로 선간전압은 $220\sqrt{3}\,\mathrm{V}$이고, 이것이 Δ 부하의 상전압이다. $|Z_p|=\sqrt{24^2+18^2}=30\,\mathrm{\Omega}$이다.

$I_p=\dfrac{220\sqrt{3}}{30}=\dfrac{22}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$, $I_l=\sqrt{3}I_p=22\,\mathrm{A}$이다.