15년 1회차

직류전원 전압은 6 V이다.

마름모 부분은 마주 보는 저항의 곱이 $2\times2=4\times1$로 같은 평형 브리지이므로 가운데 4 Ω에는 전류가 흐르지 않는다.

합성저항: $(2+4)\parallel(1+2)=2\,\mathrm{\Omega}$, 직렬 1 Ω을 더해 3 Ω이다.
$P=\dfrac{V^2}{3}=12$에서 $V=6\,\mathrm{V}$

옳지 않은 것은 1 Ω 저항에 흐르는 전류의 실횻값이 $100\sqrt{2}\,\mathrm{A}$라는 설명이다.

전압 실횻값은 $\dfrac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=100\,\mathrm{V}$이므로 1 Ω에 흐르는 전류의 실횻값은 100 A이다. $100\sqrt{2}\,\mathrm{A}$는 최댓값이다.

• 실효전압 100 V는 옳다.
• $\sin377t$에서 각주파수 377 rad/s는 옳다.
• RL 직렬회로는 유도성이므로 전류가 전압보다 뒤진다(옳다).

순서대로 도체 운동, 자기장, 유도 기전력이다.

플레밍의 오른손 법칙(발전기 원리)은 엄지 = 도체의 운동 방향, 검지 = 자기장 방향, 중지 = 유도 기전력 방향이다.

• 도체 운동, 유도 기전력, 자기장 순서는 검지와 중지의 역할이 뒤바뀌었다(검지는 자기장, 중지는 기전력 방향).
• 자기장, 유도 기전력, 도체 운동 순서는 엄지에 자기장을 둔 것으로 손가락 역할이 모두 어긋난다.
• 자기장, 도체 운동, 유도 기전력 순서는 엄지와 검지의 역할이 뒤바뀌었다.

선간전압의 크기는 $220\sqrt{3}\,\mathrm{V}$이다.

Y 결선에서 선간전압은 두 상전압의 차이므로 크기가 $V_l=\sqrt{3}V_p$이고, 위상은 30° 앞선다.

$V_l=\sqrt{3}\times220=220\sqrt{3}\,\mathrm{V}$이다. √3으로 나누는 것은 선간전압에서 상전압을 구할 때이다.

건전지 1개의 내부저항은 0.5 Ω이다.

직렬 4개: 기전력 $4\times1.5=6\,\mathrm{V}$, 내부저항 $4r$이다. $E=I(R+4r)$를 세운다.

$6=0.5(10+4r)$에서 $4r=2$, $r=0.5\,\mathrm{\Omega}$이다.

R은 $2500\sqrt{3}\,\mathrm{\Omega}$, L은 1.25 mH이다.

임피던스는 $Z=\dfrac{10\angle40^\circ}{2\times10^{-3}\angle10^\circ}=5000\angle30^\circ\,\mathrm{\Omega}$이다.

$R=5000\cos30^\circ=2500\sqrt{3}\,\mathrm{\Omega}$, $X_L=5000\sin30^\circ=2500\,\mathrm{\Omega}$
$L=\dfrac{2500}{2\times10^6}=1.25\times10^{-3}\,\mathrm{H}=1.25\,\mathrm{mH}$

시상수는 $5\times10^{-2}\,\mathrm{s}$이다.

RC 직렬회로의 시상수는 $\tau=RC$이다.

$\tau=50\times10^3\times1\times10^{-6}=5\times10^{-2}\,\mathrm{s}$이다.

전압 $V_3$는 5 V이다.

위 두 단은 각각 1 ㎌ 두 개 병렬(2 ㎌)이고, 아래 1 ㎌과 직렬이다. 합성 $C=\dfrac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1}=0.5\,\mathrm{\mu F}$이다.

직렬이므로 각 단의 전하는 $Q=0.5\times10=5\,\mathrm{\mu C}$로 같다.
$V_3=\dfrac{5}{1}=5\,\mathrm{V}$ (검산: $V_1=V_2=2.5\,\mathrm{V}$)

실횻값은 $2\sqrt{6}\,\mathrm{A}$이다.

파형은 주기 4 s로, 0~2 s 동안 $i=6t$로 12 A까지 증가하고 2~4 s 동안 0이다. 실횻값은 제곱 평균의 제곱근이다.

$\overline{i^2}=\dfrac{1}{4}\int_0^2(6t)^2dt=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{36\times8}{3}=24$
$I=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\,\mathrm{A}$

코일의 리액턴스는 22 Ω이다.

이상적인 코일은 저항이 없으므로 임피던스가 곧 리액턴스이다: $X_L=\dfrac{V}{I}$$=\dfrac{220}{10}=22\,\mathrm{\Omega}$

리액턴스의 단위는 Ω이며, mH는 인덕턴스 단위이다. 인덕턴스로 환산하면 $L=\dfrac{22}{2\pi\times60}\approx58.4\,\mathrm{mH}$로 리액턴스가 아니다.

상호인덕턴스는 3 mH이다.

정방향(가동) 접속: $L_1+L_2+2M=24$
역방향(차동) 접속: $L_1+L_2-2M=12$

두 식을 빼면 $4M=12$, $M=3\,\mathrm{mH}$이다.

Y 결선의 소비전력은 $\dfrac{1}{3}P_\Delta$이다.

선간전압을 V라 하면 Δ 결선의 상전압은 V, Y 결선의 상전압은 $\dfrac{V}{\sqrt{3}}$이다.

$P_\Delta=3\dfrac{V^2}{R}$, $P_Y=3\dfrac{(V/\sqrt{3})^2}{R}=\dfrac{V^2}{R}$이므로 $P_Y=\dfrac{1}{3}P_\Delta$이다.

전류는 $i(t)=\dfrac{1}{7}\left(6+e^{-2t}\right)\,\mathrm{A}$이다.

스위치 열림(정상): 인덕터 단락, 2 A가 4 Ω과 4 Ω에 반씩 나뉘어 $i(0)=1\,\mathrm{A}$이다.
스위치 닫힘(정상): 4 Ω∥12 Ω = 3 Ω과 4 Ω 가지로 분배되어 $i(\infty)=2\times\dfrac{3}{3+4}=\dfrac{6}{7}\,\mathrm{A}$이다.

인덕터에서 본 저항은 $4+3=7\,\mathrm{\Omega}$, $\tau=\dfrac{3.5}{7}=0.5\,\mathrm{s}$이다.
$i(t)=\dfrac{6}{7}+\left(1-\dfrac{6}{7}\right)e^{-2t}=\dfrac{1}{7}(6+e^{-2t})$

• $\dfrac{1}{7}(6+e^{-\frac{3}{2}t})$는 초깃값과 최종값은 맞지만 시정수를 잘못 구한 식이다.
• $\dfrac{1}{7}(8-e^{-\frac{3}{2}t})$는 최종값이 $\dfrac{8}{7}\,\mathrm{A}$로 커지고 시정수도 틀렸다.
• $\dfrac{1}{7}(8-e^{-2t})$는 시정수는 맞지만 전류가 $\dfrac{8}{7}\,\mathrm{A}$로 증가하는 식으로, 병렬 경로가 늘어 인덕터 전류가 줄어드는 것과 반대이다.

전류의 최댓값은 10 A이다.

유도 리액턴스 $X_L=\omega L=1000\times10^{-3}=1\,\mathrm{\Omega}$이므로 $|Z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$이다.

실횻값 $I=\dfrac{10}{\sqrt{2}}\,\mathrm{A}$, 최댓값 $I_m=\sqrt{2}I=10\,\mathrm{A}$이다.

x축 성분의 크기는 400 V/m이다.

거리 $r=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3\,\mathrm{m}$, 전계 크기 $E=9\times10^9\dfrac{Q}{r^2}$$=9\times10^9\times\dfrac{0.6\times10^{-6}}{9}=600\,\mathrm{V/m}$이다.

x 성분은 방향 코사인 $\dfrac{2}{3}$을 곱해 $E_x=600\times\dfrac{2}{3}=400\,\mathrm{V/m}$이다.

소모되는 열량은 72 cal이다.

색띠는 빨강(2), 검정(0), 갈색(배수 $10^1$), 금색(오차)이므로 $R=20\times10=200\,\mathrm{\Omega}$이다.

$P=\dfrac{10^2}{200}=0.5\,\mathrm{W}$, 10분간 에너지 $W=0.5\times600=300\,\mathrm{J}$이다.
$H=0.24W$$=0.24\times300=72\,\mathrm{cal}$

도선 ㉠과 ㉡ 사이에는 반발력이 작용한다.

폐회로 ㉡의 아래 변 전류가 ㉠과 같은 방향(왼쪽)이므로, 위 변은 반대 방향(오른쪽)으로 흐른다. 평행 도선은 반대 방향 전류면 반발, 같은 방향이면 흡인한다.

힘은 거리에 반비례하므로 ㉠에 더 가까운 위 변의 반발력이 먼 아래 변의 흡인력보다 크다. 좌우 세로 변의 힘은 서로 상쇄된다. 따라서 합력은 반발력이다.

$V_{ac}$는 $100\sqrt{3}\angle0^\circ\,\mathrm{V}$이다.

$V_{ac}=V_{an}-V_{cn}$이다.

$V_{an}=100\angle30^\circ=50\sqrt{3}+j50$, $V_{cn}=100\angle150^\circ=-50\sqrt{3}+j50$
$V_{ac}=100\sqrt{3}+j0=100\sqrt{3}\angle0^\circ\,\mathrm{V}$

무효전력은 200 Var이다.

전압이 전류보다 30° 앞서므로 $\theta=30^\circ$이다. 실횻값은 $\dfrac{40}{\sqrt{2}}$, $\dfrac{20}{\sqrt{2}}$이다.

$Q=VI\sin\theta$$=\dfrac{40\times20}{2}\times\sin30^\circ=400\times0.5=200\,\mathrm{Var}$이다. 최댓값을 그대로 곱하면 두 배인 400 Var가 나온다.

저항 $R_1$은 7.5 Ω이다.

스위치 개폐와 무관하게 전류가 같으려면 스위치 양단 전위가 같은 평형 브리지여야 하므로 $\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{R_3}{R_4}=\dfrac{3}{4}$이다.

합성저항 $\dfrac{75}{15}=5\,\mathrm{\Omega}$이고, 스위치 개방 시 $(R_1+R_2)\parallel7=5$에서 $R_1+R_2=17.5\,\mathrm{\Omega}$이다.
$R_1=17.5\times\dfrac{3}{7}=7.5\,\mathrm{\Omega}$