16년 1회차

3 Ω에 흐르는 전류는 −3 A이다.

가운데 위 마디 전압을 V라 하자. 3 A 전류원은 왼쪽 가지에서 이 마디의 전류 3 A를 끌어내고, 오른쪽 가지는 1 Ω-12 V(+ 왼쪽)-3 Ω 직렬이다. KCL을 세운다.

$3+\dfrac{V}{2}+\dfrac{V-12}{1+3}=0$에서 $3V=0$, $V=0\,\mathrm{V}$이다.
$i_o=\dfrac{0-12}{4}=-3\,\mathrm{A}$ (표시 방향과 반대로 3 A)

저장된 에너지의 합은 26 J이다.

정상상태에서 인덕터는 단락, 커패시터는 개방이다. 전류 $I=\dfrac{15}{20+10}=0.5\,\mathrm{A}$, 커패시터 전압은 10 Ω 전압과 같아 $V_C=5\,\mathrm{V}$이다.

$W_L=\dfrac{1}{2}\times8\times0.5^2=1\,\mathrm{J}$, $W_C=\dfrac{1}{2}\times2\times5^2=25\,\mathrm{J}$
합계 26 J

전압 $V_o$는 40 V이다.

두 가지는 하나의 루프를 이루며, 두 전지는 서로 반대로 작용한다. 루프 전류는 $I=\dfrac{50-20}{20+10}=1\,\mathrm{A}$(아래 가지에서 왼쪽→오른쪽)이다.

아래 가지로 보면 $V_o=50-10\times1=40\,\mathrm{V}$, 위 가지로 보면 $20+20\times1=40\,\mathrm{V}$로 일치한다.

옳지 않은 것은 곡선으로 둘러싸인 면적이 클수록 히스테리시스 손실이 적다는 설명이다.

히스테리시스 루프의 면적은 한 주기 동안 단위 체적에서 소비되는 에너지이므로 면적이 클수록 손실이 크다.

• 한 주기당 손실이 일정하므로 히스테리시스 손실은 주파수에 비례한다(옳다).
• 곡선이 수직축(B축)과 만나는 점은 H = 0일 때 남는 잔류자기이다(옳다).
• B-H 관계가 직선이 아닌 비선형 특성을 보인다(옳다).

1차측 소비전력이 2차측 소비전력과 동일하다는 설명이 옳다.

이상적인 변압기는 손실이 없으므로 입력 전력 = 출력 전력이다. 권선비 10은 전압을 1/10, 전류를 10배로 바꿀 뿐 전력은 그대로이다($V_1I_1=V_2I_2$).

• 2차측 전력이 10배나 100배라는 설명은 에너지 보존에 어긋난다.
• 1차측 전력이 100배라는 설명은 임피던스 변환비($a^2=100$)를 전력비로 혼동한 것이다.

솔레노이드에 흐르는 전류는 $\dfrac{50}{\pi}\,\mathrm{A}$이다.

무한 솔레노이드 내부 자속밀도는 $B=\mu_0\mu_rnI$이다.

$I=\dfrac{0.2}{4\pi\times10^{-7}\times100\times100}=\dfrac{0.2}{4\pi\times10^{-3}}=\dfrac{50}{\pi}\,\mathrm{A}$이다.

소비전력은 80 W이다.

원래 저항은 $R=\dfrac{V^2}{P}=\dfrac{50^2}{250}=10\,\mathrm{\Omega}$이고, 길이를 반으로 자르면 저항도 절반인 5 Ω이 된다.

$P=\dfrac{20^2}{5}=80\,\mathrm{W}$이다.

옳지 않은 것은 도체 표면에서 정전계가 접선 방향을 향한다는 설명이다.

도체 표면은 등전위면이므로 전계는 표면에 수직이다. 접선 성분이 있으면 표면 전하가 이동해 정전 상태가 될 수 없다.

• 도체 표면이 등전위면이라는 설명은 옳다.
• 도체 내부 전계가 0이라는 설명은 옳다.
• 등전위면 간격이 좁을수록 전위 기울기가 커 전계가 세다는 설명은 옳다.

옳은 것은 역률이 무효율보다 크다는 것이다.

역률 0.8이면 무효율은 $\sqrt{1-0.8^2}=0.6$이므로 역률이 더 크다. 피상전력 $S=\dfrac{80}{0.8}=100\,\mathrm{kVA}$, 무효전력 $Q=100\times0.6=60\,\mathrm{kVar}$이다.

• 무효전력은 60 kVar이며 50 kVar가 아니다.
• 피상전력은 100 kVA이며 $100\sqrt{2}$ kVA가 아니다.
• 지상 부하에 코일을 직렬로 더하면 지상 무효전력이 늘어 역률이 나빠진다. 개선은 커패시터로 한다.

전류는 $i_s(t)=10\cos t\,\mathrm{A}$이다.

$\omega=1$이므로 R-L 가지는 $1+j1$, R-C 가지는 $1-j1$이다. 병렬 합성은 $\dfrac{(1+j)(1-j)}{(1+j)+(1-j)}=\dfrac{2}{2}=1\,\mathrm{\Omega}$로 순저항이다.

전체 $Z=1+1=2\,\mathrm{\Omega}$이므로 $i_s=\dfrac{20\cos t}{2}=10\cos t$이며 위상 지연이 없다.

옳지 않은 것은 전압과 전류의 실횻값의 비가 1이라는 설명이다.

커패시터만의 회로에서 전압과 전류의 실횻값 비는 용량 리액턴스 $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$이며, 일반적으로 1이 아니다.

• 선형 소자이므로 전압과 전류는 같은 주파수이다(옳다).
• 전류가 전압보다 $\dfrac{\pi}{2}$ 앞선다(옳다).
• $Q=CV$로 전하는 전압에 비례한다(옳다).

역률은 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다.

R을 1로 두면 $Z=1+j(2-1)=1+j1$, $|Z|=\sqrt{2}$이다.

$\cos\theta=\dfrac{R}{|Z|}$$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다. 역률은 1을 넘을 수 없으므로 √2는 답이 될 수 없다.

각주파수는 $\omega=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^2}{L^2}}$이다.

벡터도에서 전체 전류 I가 전압 V와 동상이므로, $I_C$의 크기가 $I_L$의 허수(지상) 성분과 같다. 즉 어드미턴스 허수부가 0이다.

$Y=\dfrac{R-j\omega L}{R^2+\omega^2L^2}+j\omega C$에서 $\omega C=\dfrac{\omega L}{R^2+\omega^2L^2}$, 정리하면 $\omega^2=\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^2}{L^2}$이다.

• $\dfrac{1}{LC}$에서 $\dfrac{R^2}{C^2}$를 뺀 식은 두 항의 차원이 맞지 않는다.
• $\dfrac{L^2}{R^2}$를 뺀 식은 시간의 제곱 차원이라 $\omega^2$와 맞지 않는다.
• $\dfrac{C^2}{R^2}$를 뺀 식도 두 항의 차원이 맞지 않는다.

3상 무효전력은 19,200 Var이다.

Δ 결선이므로 상전압은 200 V, $|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{\Omega}$, 상전류 $I_p=40\,\mathrm{A}$이다.

$Q=3I_p^2X$$=3\times40^2\times4=19200\,\mathrm{Var}$이다. 유효전력은 $3\times1600\times3=14400\,\mathrm{W}$이다.

전압 $V_o$는 $\dfrac{36}{13}\,\mathrm{V}$이다.

$V_x=12-V_o$이다. 종속전압원은 아래가 +이므로 그 위 단자 전위는 $-\dfrac{V_x}{2}$이고, 가운데 4 kΩ 전류는 $\dfrac{V_o+V_x/2}{4}$(mA)이다.

KCL: $\dfrac{12-V_o}{4}=\dfrac{V_o+\frac{12-V_o}{2}}{4}+\dfrac{V_o}{6}$
양변에 12를 곱하면 $36-3V_o=3.5V_o+18$, $V_o=\dfrac{18}{6.5}=\dfrac{36}{13}\,\mathrm{V}$

c상 전압은 $100\sqrt{2}\sin(wt-\pi)\,\mathrm{V}$이다.

상순이 a, b, c이면 b상은 a상보다 $\dfrac{2\pi}{3}$ 뒤지고, c상은 $\dfrac{4\pi}{3}$ 뒤진다(= $\dfrac{2\pi}{3}$ 앞선다).

$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}=\pi$이고, $\sin(wt+\pi)=\sin(wt-\pi)$이므로 위 식과 같다.

• $wt-\dfrac{2}{3}\pi$는 a상 위상 $\dfrac{\pi}{3}$에서 $\pi$만큼 뒤진 값으로 c상과 맞지 않는다.
• $wt+\dfrac{1}{3}\pi$는 a상 자신이다.
• $wt+\dfrac{5}{3}\pi$는 a상보다 $\dfrac{4\pi}{3}$ 앞선 b상이다.

옳은 것은 커패시터의 리액턴스가 $\dfrac{50}{\pi}\,\mathrm{k\Omega}$라는 것이다.

$X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times10\times10^{-6}}=\dfrac{10^5}{2\pi}=\dfrac{50}{\pi}\,\mathrm{k\Omega}$이다.

• 차단주파수는 $f_c=\dfrac{1}{2\pi RC}=\dfrac{1}{2\pi\times10^{-3}}=\dfrac{500}{\pi}\,\mathrm{Hz}$로, $\dfrac{1000}{\pi}$가 아니다.
• 출력을 커패시터에서 취하므로 고주파에서 출력이 줄어드는 저역 통과 필터이다.
• 10 Hz는 차단주파수보다 훨씬 낮아 출력이 입력과 거의 같으므로 비가 0.6이 되지 않는다.

인덕턴스는 2 H이다.

비정현파 전류의 실횻값은 각 성분 실횻값의 제곱합의 제곱근이다: $I^2=3^2+10^2+4^2=125$

자기 에너지 $W=\dfrac{1}{2}LI^2$에서 $125=\dfrac{1}{2}L\times125$, $L=2\,\mathrm{H}$이다.

커패시터의 리액턴스는 $\dfrac{25}{3}\,\mathrm{\Omega}$이다.

Δ 부하 한 상: 전압 200 V, $|Z|=\sqrt{12^2+9^2}=15\,\mathrm{\Omega}$, 전류 $\dfrac{40}{3}\,\mathrm{A}$이다. 3상 지상 무효전력 $Q_L=3\times\left(\dfrac{40}{3}\right)^2\times9=4800\,\mathrm{Var}$이다.

커패시터는 Y 결선이므로 상전압 $\dfrac{200}{\sqrt{3}}$, 3상 합계 $Q_C=3\times\dfrac{(200/\sqrt{3})^2}{X_C}=\dfrac{40000}{X_C}$이다.
$\dfrac{40000}{X_C}=4800$에서 $X_C=\dfrac{25}{3}\,\mathrm{\Omega}$

스위치를 닫은 직후 $\dfrac{di}{dt}$는 인덕턴스에 반비례한다.

전류는 $i(t)=\dfrac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$이므로 $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{V}{L}e^{-\frac{R}{L}t}$, t = 0에서 $\dfrac{V}{L}$이다.

닫는 순간 전류가 0이라 저항 전압이 0이고, 전원 전압 전체가 인덕터에 걸려 $L\dfrac{di}{dt}=V$가 되기 때문이다.

• 인덕턴스에 비례한다는 설명은 관계가 반대이다.
• 초기 기울기에는 저항이 들어가지 않으므로 저항과 인덕턴스의 곱에 비례한다는 설명은 틀리다.
• 같은 이유로 저항과 인덕턴스의 곱에 반비례한다는 설명도 틀리다.