17년 1회차

밀만의 정리로 구하면 단자전압은 $V_a=5\,\mathrm{V}$이다.

세 가지(접지로 가는 10 Ω, 10 V 단자로 가는 5 Ω, 접지로 가는 10 Ω)가 모두 $\mathrm{V}_{a}$ 마디에 연결되어 있으므로 밀만의 정리를 적용한다.
$V_a=\dfrac{\dfrac{0}{10}+\dfrac{10}{5}+\dfrac{0}{10}}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}}=\dfrac{2}{0.4}=5\,\mathrm{V}$

검산: 5 Ω 가지로 $1\,\mathrm{A}$가 들어와 두 10 Ω 가지로 $0.5\,\mathrm{A}$씩 나가므로 KCL이 성립한다.

• −5 V — 전원이 +10 V 하나뿐이라 마디 전압은 0과 10 V 사이여야 하므로 음수가 될 수 없다.
• −4 V — 같은 이유로 음수가 될 수 없다.
• 4 V — 대입하면 유입 1.2 A, 유출 0.8 A로 KCL이 맞지 않는다.

삽입 후 정전용량은 $14\,\mathrm{\mu F}$이다.

운모가 극판 간격 전체를 채우고 길이 방향으로 나뉘므로 공기 부분과 운모 부분은 병렬 콘덴서로 본다. 정전용량은 면적에 비례한다.
$C_{air}=6\times\dfrac{1}{3}=2\,\mathrm{\mu F}$
$C_{mica}=3\times6\times\dfrac{2}{3}=12\,\mathrm{\mu F}$

$C=C_{air}+C_{mica}=2+12=14\,\mathrm{\mu F}$

• 12 — 운모 부분만 계산하고 공기 부분을 더하지 않은 값이다.
• 18 — 극판 사이 전체를 운모로 채운 경우(6×3)의 값이다.
• 16 — 면적 비율과 비유전율을 대입해 나오지 않는 값이다.

두 경우 소비 전력량은 모두 550 Wh로 같으므로 비는 1 : 1이다.

전력량은 정격전압과 무관하게 소비전력 × 사용시간으로 정해진다.
$W_1=2\times55\,\mathrm{W}\times0.5\,\mathrm{h}\times10=550\,\mathrm{Wh}$
$W_2=1\times55\,\mathrm{W}\times1\,\mathrm{h}\times10=550\,\mathrm{Wh}$

• 1 : 2 — 등의 개수(2배)와 하루 점등시간(1/2배)이 서로 상쇄되는 점을 놓친 값이다.
• 1 : 3 — 전압·전력 어느 조합으로도 나오지 않는 비이다.
• 1 : 4 — 정격전압 비(2배)를 전력량에 제곱으로 반영한 오류로, 두 등 모두 정격 55 W로 점등하므로 전압은 무관하다.

저항 $\mathrm{R}_{1}$ 양단 전압은 $V_{R_1}=-4\,\mathrm{V}$이다.

아래쪽 공통 마디를 기준(0 V)으로 잡는다. 가운데 가지에서 14 V 전원의 +극 위에 $\mathrm{R}_{2}$가 아래(+)·위(−) 극성으로 걸려 있으므로 위쪽 공통 마디 전압은 $14-5=9\,\mathrm{V}$이다.

왼쪽 가지에 KVL을 적용하면($\mathrm{R}_{1}$도 아래가 +)
$5-V_{R_1}=9$
$V_{R_1}=-4\,\mathrm{V}$

• 4 V — 그림에 표시된 극성(아래 +, 위 −)을 반대로 잡은 값이다.
• 5 V — 왼쪽 전원 전압을 그대로 옮긴 값이다.
• −5 V — $\mathrm{R}_{2}$ 전압값을 부호만 바꿔 옮긴 값이다.

결합계수는 $k=0.25$이다.

결합계수는 상호인덕턴스를 두 자기인덕턴스의 기하평균으로 나눈 값이다.
$k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=\dfrac{10}{\sqrt{20\times80}}=\dfrac{10}{40}=0.25$

• 0.125 — $M/L_2=10/80$로 한쪽 인덕턴스만 쓴 값이다.
• 0.5 — $M/L_1=10/20$로 한쪽 인덕턴스만 쓴 값이다.
• 0.375 — 공식에서 나오지 않는 값이다.

3상 부하의 소비 전력은 $1440\,\mathrm{W}$이다.

Y 결선 전원의 상전압이 200 V이므로 선간전압은 $200\sqrt{3}\,\mathrm{V}$이고, Δ 부하의 각 상에는 선간전압이 그대로 걸린다.
$|Z|=\sqrt{90^2+120^2}=150\,\mathrm{\Omega}$
$I_{\Delta}=\dfrac{200\sqrt{3}}{150}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{A}$

$P=3I_{\Delta}^2R=3\times\dfrac{16}{3}\times90=1440\,\mathrm{W}$

• 480 W — 한 상의 전력만 구한 값이다.
• 480√3 W — 한 상 전력에 불필요한 √3을 곱한 값이다.
• 1440√3 W — 상 전력의 합에 다시 √3을 곱한 중복 계산이다.

이상적인 단권변압기에서 $Z_{in}=Z_L\left(\dfrac{N_1+N_2}{N_2}\right)^2$이다.

1차측 권선수가 $N_1+N_2$, 2차측이 $N_2$이므로 권수비 $a=\dfrac{N_1+N_2}{N_2}$이다.
$V_1=aV_2,\quad I_1=\dfrac{I_2}{a}$
$Z_{in}=\dfrac{V_1}{I_1}=a^2\dfrac{V_2}{I_2}=a^2Z_L$

즉 임피던스는 권수비의 제곱으로 변환된다.

• $Z_L\left(\dfrac{N_1+N_2}{N_1}\right)^2$ — 2차측 권선수가 아닌 직렬권선 $N_1$을 분모로 잡은 오류이다.
• $Z_L\left(\dfrac{N_1+N_2}{N_2}\right)$ — 권수비를 제곱하지 않았다.
• $Z_L\left(\dfrac{N_1+N_2}{N_1}\right)$ — 분모와 제곱이 모두 틀렸다.

무한 평면 전하가 만드는 전계는 거리와 관계없이 일정하다.

가우스 법칙을 평면을 관통하는 원통 폐곡면에 적용하면 양쪽 밑면으로만 전속이 나가므로 $2EA=\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_0}$, 즉 $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$로 거리 항이 없다.

• 거리의 제곱에 반비례 — 점전하의 전계 특성이다.
• 거리에 반비례 — 무한 직선 전하의 전계 특성이다.
• 거리에 비례 — 균일하게 대전된 구 내부의 전계 특성이다.

회로의 리액턴스는 $X=X_L-X_C=120\,\mathrm{\Omega}$이다.

전원의 각주파수는 $\omega=5000\,\mathrm{rad/s}$이다.
$X_L=\omega L=5000\times0.032=160\,\mathrm{\Omega}$
$X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{5000\times5\times10^{-6}}=40\,\mathrm{\Omega}$

직렬 RLC에서 유도성과 용량성 리액턴스는 서로 상쇄되므로 $X=160-40=120\,\mathrm{\Omega}$이다.

• 40 Ω — 용량성 리액턴스만 구한 값이다.
• 90 Ω — 저항값으로 리액턴스가 아니다.
• 160 Ω — 유도성 리액턴스만 구한 값이다.

임피던스 파라미터는 $Z_{11}=2\,\mathrm{\Omega},\ Z_{22}=8\,\mathrm{\Omega}$이다.

$Z_{11}$은 출력단 개방($I_2=0$) 시 입력 임피던스다. 6 Ω에는 전류가 흐르지 않으므로 입력단 3 Ω과 (3 Ω+3 Ω)의 병렬이다.
$Z_{11}=\dfrac{3\times6}{3+6}=2\,\mathrm{\Omega}$

$Z_{22}$는 입력단 개방($I_1=0$) 시 출력 임피던스다. 6 Ω에 가운데 3 Ω과 (3 Ω+3 Ω)의 병렬이 직렬로 이어진다.
$Z_{22}=6+\dfrac{3\times6}{3+6}=8\,\mathrm{\Omega}$

• 1, 9 — 병렬 합성값을 잘못 구한 값이다.
• 3, 9 — 개방 조건에서 병렬 가지를 무시하고 3 Ω만 본 값이다.
• 6, 12 — 병렬 연결을 직렬처럼 더한 값이다.

잡아 늘인 도체의 저항은 $16\,\mathrm{\Omega}$이다.

처음 저항은 $R=\dfrac{V^2}{P}=\dfrac{20^2}{400}=1\,\mathrm{\Omega}$이다.

지름이 1/2이면 단면적은 1/4이 되고, 체적이 일정하므로 길이는 4배가 된다.
$R'=\rho\dfrac{4l}{A/4}=16R=16\,\mathrm{\Omega}$ — 체적 일정 변형에서 저항은 지름의 4제곱에 반비례한다.

• 10 Ω — 16배 관계에서 나오지 않는 값이다.
• 12 Ω — 16배 관계에서 나오지 않는 값이다.
• 14 Ω — 16배 관계에서 나오지 않는 값이다.

LC 병렬 공진에서는 합성 임피던스가 $Z=\infty\,\mathrm{\Omega}$가 된다.

병렬 회로의 합성 어드미턴스는 $Y=j\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)$이고, 공진 시 $\omega C=\dfrac{1}{\omega L}$이므로 $Y=0$, 즉 임피던스가 무한대가 되어 전원 전류가 흐르지 않는다(반공진).

• Z=0 Ω — 직렬 LC 공진의 특성이다.
• Z=1 Ω — 공진 조건에서 나올 근거가 없다.
• 변화가 없다 — 공진점에서 임피던스는 극값을 가지므로 틀리다.

RC 직렬회로의 시정수는 $\tau=RC=4\times10^{-2}\,\mathrm{s}$이다.

시정수는 저항과 정전용량의 곱으로, 전원 전압과 무관하다.
$\tau=20\times10^{3}\times2\times10^{-6}=4\times10^{-2}\,\mathrm{s}$

• 1×$10^{-2}$ s — $RC$ 곱으로 나오지 않는 값이다.
• 1×$10^{4}$ s — 저항을 정전용량으로 나누고($20\times10^{3}/2$) ㎌의 $10^{-6}$도 빠뜨린 값이다.
• 4×$10^{4}$ s — ㎌의 접두어 $10^{-6}$을 반영하지 않고 $20\times10^{3}\times2$로 곱한 값이다.

전류의 위상이 전압보다 30° 앞서는 진상 전류가 흐른다는 설명이 옳다.

위상차는 $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}=30^\circ$이고 전류 쪽 위상이 크므로 전류가 앞선다(용량성).

두 파형 모두 정현파이므로 파형률 약 1.11, 파고율 √2이다.

• 전압의 실효값 200√2 V — 실효값은 최댓값/√2이므로 $\dfrac{200\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=200\,\mathrm{V}$이다.
• 전압의 파형률이 1보다 작다 — 정현파 파형률은 $\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx1.11$로 1보다 크다.
• 전류의 파고율 10 — 10은 전류 최댓값이며 파고율은 최댓값/실효값 $=\sqrt{2}$이다.

두 소자는 R=10√3 Ω, L=0.05 H이다.

임피던스를 페이저 비로 구하면 다음과 같다.
$Z=\dfrac{200\angle60^\circ}{10\angle30^\circ}=20\angle30^\circ\,\mathrm{\Omega}$
$=20\cos30^\circ+j20\sin30^\circ=10\sqrt{3}+j10\,\mathrm{\Omega}$

허수부가 양수이므로 유도성(전압이 전류보다 30° 앞섬)이고, $\omega L=10$에서 $L=\dfrac{10}{200}=0.05\,\mathrm{H}$이다.

• R=20 Ω, L=0.5 H — 임피던스 크기 20 Ω을 저항으로 본 오류이다.
• R=10√3 Ω, C=0.05 F — 전압이 전류보다 앞서므로 용량성 소자일 수 없다.
• R=20 Ω, C=0.5 F — 저항값과 소자 종류가 모두 틀렸다.

단위 길이당 작용하는 힘은 $5.0\times10^{-4}\,\mathrm{N/m}$이다(같은 방향 전류이므로 흡인력).

평행 도선 사이의 힘은 $F=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$이다.
$F=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10\times15}{2\pi\times0.06}=\dfrac{2\times10^{-7}\times150}{0.06}=5.0\times10^{-4}\,\mathrm{N/m}$

• 5.0×$10^{-5}$ — 지수가 한 자리 작게 계산된 값이다.
• 3.3×$10^{-3}$ — 공식 대입으로 나오지 않는 값이다.
• 4.1×$10^{2}$ — 공식 대입으로 나오지 않는 지나치게 큰 값이다.

선전류는 $I=4\,\mathrm{A}$이다.

Δ 결선 300 Ω을 Y로 변환하면 상당 $\dfrac{300}{3}=100\,\mathrm{\Omega}$이고, 이것이 Y 결선 100 Ω과 병렬이 된다.
$Z_Y=\dfrac{100\times100}{100+100}=50\,\mathrm{\Omega}$

상전압은 $\dfrac{200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=200\,\mathrm{V}$이므로
$I=\dfrac{200}{50}=4\,\mathrm{A}$

• 2 A — Y 부하나 Δ 부하 한쪽(상당 100 Ω)만 고려한 값이다.
• 1 A — 두 부하를 병렬이 아닌 직렬(상당 200 Ω)로 본 값이다.
• 3 A — 등가 회로로부터 나오지 않는 값이다.

복소전력은 $S=45\angle-60^\circ\,\mathrm{VA}$, 부하 임피던스는 $Z=40\angle-60^\circ\,\mathrm{\Omega}$이다.

최댓값 페이저로 $V=60\angle-10^\circ$, $I=1.5\angle50^\circ$이다.
$Z=\dfrac{V}{I}=\dfrac{60}{1.5}\angle(-10^\circ-50^\circ)=40\angle-60^\circ\,\mathrm{\Omega}$
$S=\dfrac{1}{2}VI^*=\dfrac{1}{2}\times60\times1.5\angle(-10^\circ-50^\circ)=45\angle-60^\circ\,\mathrm{VA}$

전류가 전압보다 60° 앞서는 용량성 부하이므로 S와 Z의 각이 모두 음수여야 한다.

• 45∠40°, 40∠60° — 각을 전압·전류 위상의 합 등으로 잘못 잡았다.
• 45∠40°, 40∠-60° — 복소전력의 각은 임피던스 각과 같아야 하므로 틀렸다.
• 45∠-60°, 40∠60° — 임피던스 각의 부호가 반대(유도성)이다.

인덕터 전류는 $i(t)=20-16e^{-20t}\,\mathrm{A}$이다.

스위치가 열려 있던 정상상태에서는 1 Ω과 4 Ω이 직렬이므로 $i(0^-)=\dfrac{20}{1+4}=4\,\mathrm{A}$이고, 인덕터 전류는 연속이므로 $i(0^+)=4\,\mathrm{A}$이다.

스위치가 닫히면 4 Ω이 단락되어
$i(\infty)=\dfrac{20}{1}=20\,\mathrm{A},\quad\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0.05}{1}=0.05\,\mathrm{s}$
$i(t)=20+(4-20)e^{-t/0.05}=20-16e^{-20t}\,\mathrm{A}$

• $20-16e^{-10t}$ — 시정수 0.1 s에 해당해 회로 저항 1 Ω과 맞지 않는다.
• $20-24e^{-10t}$ — 초깃값이 −4 A가 되어 연속 조건과 시정수 모두 틀렸다.
• $20-24e^{-20t}$ — 초깃값이 −4 A가 되어 $i(0^+)=4\,\mathrm{A}$와 맞지 않는다.

전류의 실효값은 $5\sqrt{42}\,\mathrm{A}$이다.

비정현파는 고조파별로 임피던스를 따로 구한다. 유도 리액턴스는 n차 고조파에서 n배가 된다.
$Z_1=3+j1,\ |Z_1|=\sqrt{10}\ \Rightarrow\ I_1=\dfrac{100}{\sqrt{10}},\ I_1^2=1000$
$Z_3=3+j3,\ |Z_3|=\sqrt{18}\ \Rightarrow\ I_3=\dfrac{30}{\sqrt{18}},\ I_3^2=50$

$I=\sqrt{I_1^2+I_3^2}=\sqrt{1050}=5\sqrt{42}\,\mathrm{A}$

• 4√3 A — 고조파 실효값 합성식으로 나오지 않는 값이다.
• 5√5 A — 고조파 실효값 합성식으로 나오지 않는 값이다.
• 6√17 A — 고조파 실효값 합성식으로 나오지 않는 값이며, 3고조파에서는 리액턴스가 3 Ω으로 커지는 점을 반영해야 한다.