18년 1회차

동심구 콘덴서의 정전용량은 4배로 증가한다.

동심구 콘덴서의 정전용량: $C=\dfrac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}$
반지름을 모두 2배로 하면 $\dfrac{4\pi\varepsilon(2a)(2b)}{2b-2a}=2C$로 2배가 된다.

내부를 비유전율 2인 유전체로 채우면 $\varepsilon=2\varepsilon_0$이 되어 다시 2배가 된다.
따라서 크기 2배 × 유전율 2배: $C'=2\times2\times C_0=4C_0$

선전류는 √3 A이다.

3상 유효전력은 결선 방식과 관계없이 선간전압·선전류로 $P=\sqrt{3}V_LI_L\cos\theta$이다.
$720=\sqrt{3}\times300\times I_L\times0.8$
$I_L=\dfrac{720}{240\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

Δ결선이므로 상전류는 $I_L/\sqrt{3}=1\,\mathrm{A}$이며, 이 상전류 값을 선전류로 혼동하지 않도록 주의한다.

12 Ω 저항의 전압은 24 V이다.

아래쪽 마디를 기준(0 V)으로 위쪽 가운데 마디 전압을 V로 두고 마디 해석(KCL)을 한다. 왼쪽 가지는 18 V 전원과 4 Ω·2 Ω(합 6 Ω)의 직렬이고, 오른쪽 3 A 전류원은 직렬인 2 Ω·4 Ω을 거쳐 이 마디로 3 A를 그대로 밀어 넣는다(전류원과 직렬인 저항은 전류에 영향이 없다).

$\dfrac{18-V}{6}+3=\dfrac{V}{12}$
양변에 12를 곱하면 $36-2V+36=V$
$3V=72,\ V=24\,\mathrm{V}$

부하가 순저항일 때 최대전력 조건은 $\mathrm{R}_{L}$=|$\mathrm{Z}_{th}$|=4√5 Ω이다.

부하 단자에서 본 테브난 임피던스(전압원 단락):
$Z_{th}=\dfrac{(2-j6)(j4)}{2-j6+j4}=\dfrac{24+j8}{2-j2}$
$=\dfrac{(24+j8)(2+j2)}{8}=\dfrac{32+j64}{8}=4+j8\,\mathrm{\Omega}$

보기가 모두 실수값이므로 부하는 저항이며, 저항 부하의 최대전력 전달 조건은 테브난 임피던스의 크기와 같을 때다.
$R_L=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\,\mathrm{\Omega}$

부하가 임의의 복소 임피던스라면 공액 정합 $4-j8\,\mathrm{\Omega}$이 조건이 된다.

평균전력은 같은 주파수 성분끼리만 기여하므로 직류·기본파·7고조파 전력의 합인 4,800 W이다.

직류: $P_0=100\times40=4000\,\mathrm{W}$
기본파: $30\cos(\omega t-30^\circ)=30\sin(\omega t+60^\circ)$이므로 전압과의 위상차 60°
$P_1=\dfrac{80\times30}{2}\cos60^\circ=600\,\mathrm{W}$
7고조파: $10\cos(7\omega t-30^\circ)=10\sin(7\omega t+60^\circ)$이므로 위상차 0°
$P_7=\dfrac{40\times10}{2}\cos0^\circ=200\,\mathrm{W}$

3고조파는 전압에만, 5고조파는 전류에만 있어 전력에 기여하지 않는다.
$P=4000+600+200=4800\,\mathrm{W}$

스위치 개방 직후 인덕터 전류는 20 A이다.

스위치가 오래 닫혀 있던 정상상태에서 인덕터는 단락으로 작용하므로 2 Ω에는 전류가 흐르지 않고 두 전원의 전류가 모두 인덕터로 흐른다.
전압원 쪽: $\dfrac{10}{1}=10\,\mathrm{A}$, 전류원: $10\,\mathrm{A}$
$i_L(0^-)=10+10=20\,\mathrm{A}$

인덕터 전류는 순간적으로 변할 수 없으므로(전류 연속성) $i_L(0^+)=i_L(0^-)=20\,\mathrm{A}$이다.

전류 $\mathrm{I}_{A}$는 1 A이다.

아래 도선을 기준으로 가운데 위쪽 마디 전압을 $V_1$이라 하면 $I_A=V_1/1=V_1$이고, 종속전압원(왼쪽 −, 오른쪽 +) 때문에 오른쪽 마디 전압은 $V_1+10I_A=11V_1$이다.

가운데 마디의 KCL: $\dfrac{13-V_1}{1}=V_1+\dfrac{11V_1}{1}$
$13=13V_1,\ V_1=1\,\mathrm{V}$
$I_A=1\,\mathrm{A}$

철심의 자속밀도는 0.008 T이다.

기자력과 자속이 비례하므로 전류를 $0.6\,\mathrm{A}\to2.4\,\mathrm{A}$로 4배 높이면 자속도 4배가 된다.
$\Phi=0.2\times4=0.8\,\mu\mathrm{Wb}$

자속밀도는 자속을 단면적으로 나눈 값이다.
$B=\dfrac{\Phi}{S}=\dfrac{0.8\times10^{-6}}{1\times10^{-4}}=8\times10^{-3}=0.008\,\mathrm{T}$

상전류 $\mathrm{I}_{AB}$는 50√6∠−15° A이다.

Δ→Y 변환: $Z_Y=\dfrac{Z_P}{3}=2+j3\,\mathrm{\Omega}$
선로 1 Ω을 포함한 한 상 임피던스: $3+j3=3\sqrt{2}\angle45^\circ\,\mathrm{\Omega}$
선전류: $I_a=\dfrac{900\angle0^\circ}{3\sqrt{2}\angle45^\circ}=150\sqrt{2}\angle-45^\circ\,\mathrm{A}$

평형 Δ 부하(정상 상순)에서 상전류는 선전류의 $1/\sqrt{3}$ 크기이고 위상이 30° 앞선다.
$I_{AB}=\dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\angle(-45^\circ+30^\circ)=50\sqrt{6}\angle-15^\circ\,\mathrm{A}$

전체 자기저항은 두 구간 자기저항의 직렬 합인 7/(25$\mu _{0}$)이다.

그림에서 길이 a(10 m)는 단면적 A(1 $m^{2}$)인 왼쪽·위·아래 부분을, 길이 b(2 m)는 단면적 B(0.5 $m^{2}$)인 오른쪽 다리를 지나는 자로이다. 자기저항은 $R=\dfrac{l}{\mu_0\mu_rS}$이다.

$R_a=\dfrac{10}{50\mu_0\times1}=\dfrac{1}{5\mu_0}$
$R_b=\dfrac{2}{50\mu_0\times0.5}=\dfrac{2}{25\mu_0}$
$R=\dfrac{5}{25\mu_0}+\dfrac{2}{25\mu_0}=\dfrac{7}{25\mu_0}$

Δ결선으로 바꾸면 상전압은 20/√3 kV, 선전류는 6√3 A이다.

결선을 바꿔도 각 상 권선에 유기되는 전압과 권선에 흐르는 상전류는 그대로다. Y결선에서 상전압은 $V_P=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\,\mathrm{kV}$, 상전류는 $6\,\mathrm{A}$이다.

Δ결선에서는 선간전압 = 상전압, 선전류 = 상전류의 $\sqrt{3}$배이므로 $V_P=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\,\mathrm{kV}$, $I_L=6\sqrt{3}\,\mathrm{A}$이다.

• 상전압 20 kV·선전류 6√3 A: Y결선의 선간전압을 권선(상) 전압으로 잘못 잡은 것이다.
• 상전압 20/√3 kV·선전류 6 A: Δ결선의 선전류를 상전류와 같게 본 것이다.
• 상전압 20 kV·선전류 6 A: 전압·전류 관계를 모두 잘못 적용한 것이다.

저항 R은 6n Ω이다.

전지 n개를 직렬로 접속하면 기전력 $10n\,\mathrm{V}$, 내부저항 $n\,\mathrm{\Omega}$이다.
부하 R과 2R의 병렬 합성: $\dfrac{R\cdot2R}{R+2R}=\dfrac{2R}{3}$

옴의 법칙: $I=\dfrac{10n}{n+\frac{2R}{3}}=2$
$10n=2n+\dfrac{4R}{3}$
$R=6n\,\mathrm{\Omega}$

전류는 75 A, 송전단 전압은 6,125 V이다.

$I=\dfrac{P}{E_r\cos\theta}=\dfrac{300\times10^3}{5000\times0.8}=75\,\mathrm{A}$
뒤진 역률이므로 수전단 전압 기준 $\dot I=75(0.8-j0.6)=60-j45\,\mathrm{A}$

선로 전압강하: $\dot I(12+j9)=(60-j45)(12+j9)=(720+405)+j(540-540)=1125\,\mathrm{V}$
$E_s=E_r+\dot IZ=5000+1125=6125\,\mathrm{V}$

200 Ω 저항의 소비전력은 50 W이다.

임피던스 환산: 2차 측 전체 저항 $800+200=1000\,\mathrm{\Omega}$을 권수비 1:10으로 1차에 환산하면 $R'=\dfrac{1000}{10^2}=10\,\mathrm{\Omega}$
1차 전류: $I_1=\dfrac{100}{10+10}=5\,\mathrm{A}$

2차 전류는 권수비에 반비례: $I_2=\dfrac{I_1}{10}=0.5\,\mathrm{A}$
$P=I_2^2\times200=0.25\times200=50\,\mathrm{W}$

점 표시(극성)는 전류의 방향만 정할 뿐 전류 크기와 전력에는 영향을 주지 않는다.

스위치 이동 후 전류는 $i_{L}$(t)=1+$e^{-2t}$ A이다.

스위치가 단자 a에 있던 정상상태: 12 V 전원이 2 Ω·2 Ω·인덕터(단락)·2 Ω을 통해 폐회로를 이루므로 $i_L(0^-)=\dfrac{12}{6}=2\,\mathrm{A}$, 전류 연속성으로 $i_L(0^+)=2\,\mathrm{A}$

단자 b로 옮긴 뒤: 4 V 전원과 2 Ω·인덕터·2 Ω의 직렬이므로 $i_L(\infty)=\dfrac{4}{4}=1\,\mathrm{A}$, 시정수 $\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{2}{4}=0.5\,\mathrm{s}$

$i_L(t)=i_L(\infty)+[i_L(0^+)-i_L(\infty)]e^{-t/\tau}=1+e^{-2t}\,\mathrm{A}$

코일의 인덕턴스는 30 mH이다.

직류 정상상태에서 인덕터는 단락이므로 저항만 남는다.
$R=\dfrac{10}{0.25}=40\,\mathrm{\Omega}$

교류에서는 임피던스 크기로 전류가 정해진다.
$|Z|=\dfrac{10}{0.2}=50\,\mathrm{\Omega}$
$X_L=\sqrt{50^2-40^2}=30\,\mathrm{\Omega}$
$L=\dfrac{X_L}{\omega}=\dfrac{30}{1000}=0.03\,\mathrm{H}=30\,\mathrm{mH}$

전류 I는 −0.5 A이다.

1 V 전압원 양쪽 마디를 $V_1$(왼쪽, +), $V_2$(오른쪽)로 두면 $V_1-V_2=1$이므로 둘을 묶어 슈퍼마디로 해석한다.

왼쪽 전류원이 1 A를 넣고 오른쪽 전류원이 1 A를 빼내므로 KCL: $1=\dfrac{V_1}{1}+\dfrac{V_2}{1}+1$, 즉 $V_1+V_2=0$
$V_1=0.5\,\mathrm{V},\ V_2=-0.5\,\mathrm{V}$
$I=\dfrac{V_2}{1}=-0.5\,\mathrm{A}$

자유 전하가 없는 유전체 경계면에서는 전속밀도의 법선 성분이 연속(같음)이다.

경계 조건은 $E_{1t}=E_{2t}$, $D_{1n}=D_{2n}$이고, 이로부터 굴절 관계 $\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}$가 나온다(θ는 법선과 이루는 각).

• 전계의 접선 성분이 유전율 차이로 달라진다는 설명은 틀리다 — 전계의 접선 성분은 같다.
• 전속밀도가 유전율이 큰 영역에서 줄어든다는 설명은 틀리다 — 법선 성분은 같고 접선 성분 $D_t=\varepsilon E_t$는 유전율이 큰 쪽이 크므로 오히려 커진다.
• 전계가 유전율이 작은 영역에서 줄어든다는 설명은 틀리다 — 접선 성분은 같고 법선 성분 $E_n=D_n/\varepsilon$는 유전율이 작은 쪽이 크므로 오히려 커진다.

단자 전압 $\mathrm{V}_{ab}$는 −1 V이다.

a, b가 개방이라 10 Ω에는 전류가 없고, 위쪽 마디에서 6 Ω+6 Ω(12 Ω) 가지와 2 Ω+4 Ω(6 Ω) 가지가 병렬이다.
$12\parallel6=4\,\mathrm{\Omega}$, $I=\dfrac{15}{6+4}=1.5\,\mathrm{A}$, 위쪽 마디 전압 $1.5\times4=6\,\mathrm{V}$

전압 분배: $V_a=6\times\dfrac{6}{12}=3\,\mathrm{V}$, $V_b=6\times\dfrac{4}{6}=4\,\mathrm{V}$
$V_{ab}=V_a-V_b=3-4=-1\,\mathrm{V}$

전체 임피던스가 5 Ω의 순저항이므로 전류는 i(t)=2sin1000t A이다.

$X_L=\omega L=1000\times2\times10^{-3}=2\,\mathrm{\Omega}$, $X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{1000\times500\times10^{-6}}=2\,\mathrm{\Omega}$

오른쪽부터 합성: $(2-j2)\parallel(2+j2)=\dfrac{(2-j2)(2+j2)}{4}=2\,\mathrm{\Omega}$
$4+2=6\,\mathrm{\Omega}$, $6\parallel6=3\,\mathrm{\Omega}$, $Z=2+3=5\,\mathrm{\Omega}$

허수부가 상쇄된 순저항이라 전류는 전압과 동상이다: $i(t)=\dfrac{10\sin1000t}{5}=2\sin1000t\,\mathrm{A}$