19년 1회차

두 측정 조건으로 연립하면 E = 100 V, r = 25 Ω이다.

전압계 지시값은 전압 분배로 $V=E\dfrac{R_v}{R_v+r}$이다.
$50=E\dfrac{25}{25+r}\Rightarrow E=50+2r$
$75=E\dfrac{75}{75+r}\Rightarrow E=75+r$

두 식을 같게 놓으면 $50+2r=75+r$에서 $r=25\,\mathrm{\Omega}$, 이를 대입하면 $E=75+25=100\,\mathrm{V}$이다. 내부저항이 전압계 저항과 직렬로 전압을 나눈다는 점이 핵심이다.

옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 등전위면은 전위가 같은 점들이 이루는 면이므로 면을 따라 전위 기울기가 없고, 서로 다른 전위의 면은 교차할 수 없다.

전기장은 $E=-\dfrac{dV}{dn}$로 전위가 가장 빠르게 변하는 방향, 즉 등전위면에 수직인 방향을 향한다.

• ㄱ(전기력선과 수평으로 접한다) — 전기력선은 등전위면과 수직으로 만나므로 틀리다.
• ㄹ(밀도가 높은 등전위면은 전기장이 약하다) — 등전위면이 조밀할수록 거리당 전위 변화가 커서 전기장이 세다. 따라서 틀리다.

직류에서 저항을, 교류에서 임피던스를 구하면 저항 40 Ω, 리액턴스 30 Ω이다.

직류에서는 리액턴스가 작용하지 않으므로
$R=\dfrac{V^2}{P}=\dfrac{200^2}{1000}=40\,\mathrm{\Omega}$

교류에서 평균전력은 저항에서만 소비되므로
$I^2=\dfrac{1440}{40}=36\Rightarrow I=6\,\mathrm{A}$
$|Z|=\dfrac{300}{6}=50\,\mathrm{\Omega}$
$X=\sqrt{50^2-40^2}=30\,\mathrm{\Omega}$

$v_c(t)=10e^{-\frac{t}{3\times10^{-3}}}\,\mathrm{V}$이다. 초깃값 10 V에서 시정수 3 ms로 감쇠한다.

$t\lt0$: 스위치가 a에 오래 있었으므로 커패시터는 개방 상태이고 16 kΩ 양단 전압으로 충전된다.
$v_c(0^-)=15\times\dfrac{16}{8+16}=10\,\mathrm{V}$
커패시터 전압은 연속이므로 $v_c(0^+)=10\,\mathrm{V}$

$t\gt0$: 커패시터가 2 kΩ과만 연결되어 방전하며 최종값은 0이다.
$\tau=RC=2\times10^{3}\times1.5\times10^{-6}=3\times10^{-3}\,\mathrm{s}$

• 계수가 5인 식 — 초깃값이 10 V가 아니므로 틀리다(5 V는 8 kΩ 양단 전압이다).
• 지수 분모가 $3\times10^{-2}$인 식 — 시정수가 30 ms로 실제 값의 10배이므로 틀리다.

20 Ω 양단 전압은 $V_a=-40\,\mathrm{V}$이다.

시계 방향 루프 전류를 I라 하면 20 Ω의 + 단자로 전류가 들어가므로 $V_a=20I$, 즉 $I=\dfrac{V_a}{20}$이다.

KVL(전압 상승 = 전압 강하): 20 V 전원과 종속전압원 2$\mathrm{V}_{a}$가 모두 루프 방향으로 전압을 올린다.
$20+2V_a=10I+V_a=0.5V_a+V_a$
$20=-0.5V_a\Rightarrow V_a=-40\,\mathrm{V}$

음수는 실제 전류가 반시계 방향(2 A)으로 흐른다는 뜻이다.

옳지 않은 것은 권선비 2 : 1이면 $\mathrm{L}_{1}$이 $\mathrm{L}_{2}$의 2배라는 설명이다. 자기 인덕턴스는 권수의 제곱에 비례하므로 4배가 된다.

같은 자기회로에서 $L=\dfrac{N^2}{\mathcal{R}}$이므로 $\dfrac{L_1}{L_2}=\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2=4$이다.

• $b_{1}$–$a_{2}$ 연결이 $b_{1}$–$b_{2}$ 연결보다 합성 인덕턴스가 크다 — 그림에서 $a_{1}$, $a_{2}$로 들어간 전류의 자속 $\Phi _{1}$, $\Phi _{2}$가 철심에서 같은 방향으로 돌므로, $b_{1}$–$a_{2}$ 연결은 가동 결합($L_1+L_2+2M$), $b_{1}$–$b_{2}$ 연결은 차동 결합($L_1+L_2-2M$)이다. 옳다.
• 한 코일의 유도기전력은 상호 인덕턴스와 다른 코일의 전류 변화량에 비례한다 — $e_2=-M\dfrac{di_1}{dt}$이므로 옳다.
• 교류 전압을 변성할 수 있고 변압기 등에 응용된다 — 상호 유도의 대표 응용이므로 옳다.

인덕터의 순시전력은 12 W이다.

인덕터 전압은 $v=L\dfrac{di}{dt}$이고 순시전력은 $p=vi$이다.
$\dfrac{di}{dt}=2t+2$이므로 $t=1$에서 $v=1\times(2+2)=4\,\mathrm{V}$

$i(1)=1+2=3\,\mathrm{A}$이므로
$p=vi=4\times3=12\,\mathrm{W}$
순시전력은 전압과 전류의 곱으로 구한다.

40 μF 양단 전압은 $V_a=6\,\mathrm{V}$이다.

10 μF과 40 μF 직렬: $\dfrac{10\times40}{50}=8\,\mathrm{\mu F}$, 이것과 12 μF 병렬: $20\,\mathrm{\mu F}$
100 μF과 직렬인 전체: $C=\dfrac{20\times100}{120}=\dfrac{50}{3}\,\mathrm{\mu F}$
$Q=CV=\dfrac{50}{3}\times36=600\,\mathrm{\mu C}$

직렬 커패시터는 전하량이 같으므로 병렬부 전압은 $\dfrac{600}{20}=30\,\mathrm{V}$이다.
10–40 μF 가지의 전하 $Q'=8\times30=240\,\mathrm{\mu C}$
$V_a=\dfrac{240}{40}=6\,\mathrm{V}$

포함되지 않은 주파수는 120 Hz이다. 이 파형은 기본파 20 Hz의 홀수 고조파만 가진다.

그래프에서 25 ms마다 +E와 −E가 바뀌므로 주기는 $T=50\,\mathrm{ms}$, 기본 주파수는 $f_1=\dfrac{1}{0.05}=20\,\mathrm{Hz}$이다.

반주기 뒤 부호만 바뀌는 반파대칭 구형파이므로 짝수 고조파가 0이고 $20,\,60,\,100,\,140,\dots\,\mathrm{Hz}$만 남는다.

• 60 Hz — 3고조파이므로 포함된다.
• 100 Hz — 5고조파이므로 포함된다.
• 140 Hz — 7고조파이므로 포함된다.

부하 한 상의 평균전력은 220 W이다.

평형 Y－Y 회로이므로 중성선(n–N, $220\angle-60^\circ\,\mathrm{\Omega}$)에는 전류가 흐르지 않고, 한 상 부하 $110\angle60^\circ\,\mathrm{\Omega}$에 상전압 220 V가 걸린다.

$I_p=\dfrac{220}{110}=2\,\mathrm{A}$
$P=V_pI_p\cos\theta=220\times2\times\cos60^\circ=220\,\mathrm{W}$
(또는 $P=I_p^2R=2^2\times110\cos60^\circ=4\times55=220\,\mathrm{W}$)

전류가 최대인 때는 직렬공진이므로 $f=\dfrac{50}{\pi}\,\mathrm{Hz}$, $I=2\,\mathrm{A}$이다.

공진주파수는 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$이다.
$LC=0.1\times(1000\times10^{-6})=10^{-4}$, $\sqrt{LC}=10^{-2}$
$f_0=\dfrac{1}{2\pi\times10^{-2}}=\dfrac{50}{\pi}\,\mathrm{Hz}$

공진 시 리액턴스가 상쇄되어 임피던스가 R만 남으므로
$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{100}{50}=2\,\mathrm{A}$

V결선 출력은 변압기 1대 용량의 √3배이므로 $\dfrac{300}{\sqrt{3}}\,\mathrm{kVA}$이다.

V결선 출력은 $P_V=\sqrt{3}P_1$이다.
$P_V=\sqrt{3}\times100=\dfrac{300}{\sqrt{3}}\approx173\,\mathrm{kVA}$

Δ결선 출력 300 kVA와 비교하면 출력비는 $\dfrac{\sqrt{3}P_1}{3P_1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$로 약 57.7 %에 해당한다. 값 173/√3은 약 100 kVA로, √3을 한 번 더 나눈 값이라 틀리다.

도체에 작용하는 힘은 2 N이다.

자계 속 전류 도체에 작용하는 힘은 자속에 수직인 성분만 기여한다.
$F=BIl\sin\theta$

$F=4\times2\times0.5\times\sin30^\circ=4\times0.5=2\,\mathrm{N}$

E = 16 V, L = 12 H이다.

R－L 직렬회로에 직류를 가한 응답은 $i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$이며, 그림에서 $R=4\,\mathrm{\Omega}$이다.

정상전류 비교: $\dfrac{E}{4}=4\Rightarrow E=16\,\mathrm{V}$
지수 비교: $\dfrac{4}{L}\times3=1\Rightarrow L=12\,\mathrm{H}$

$\mathrm{V}_{s}$ = 70 V, X = 4 Ω이다.

역률 $\cos\theta=\dfrac{R}{|Z|}=\dfrac{8}{|Z|}=0.8$에서 $|Z|=10\,\mathrm{\Omega}$, 합성 리액턴스는 $\sqrt{10^2-8^2}=6\,\mathrm{\Omega}$이다.
유도성 부하이므로 $10-X=6\Rightarrow X=4\,\mathrm{\Omega}$

커패시터 전압 28 V에서 $I=\dfrac{28}{4}=7\,\mathrm{A}$
$V_s=I|Z|=7\times10=70\,\mathrm{V}$

옳지 않은 것은 R－L 직렬회로의 시정수가 R－C 직렬회로보다 10배 크다는 설명이다. 실제로는 R－C 쪽이 10배 크다.

R－L 회로: 정상상태에서 L이 단락되므로 $R=\dfrac{100}{10}=10\,\mathrm{\Omega}$, $\tau_L=\dfrac{L}{R}=\dfrac{10^{-3}}{10}=10^{-4}\,\mathrm{s}=0.1\,\mathrm{ms}$
R－C 회로: 초기에 C가 단락되므로 $R=\dfrac{100}{10}=10\,\mathrm{\Omega}$, $\tau_C=RC=10\times100\times10^{-6}=10^{-3}\,\mathrm{s}=1\,\mathrm{ms}$

• R－L 시정수는 L이 10배 증가하면 10배 증가한다 — $\tau_L=L/R$로 L에 비례하므로 옳다.
• R－C 시정수는 C가 10배 증가하면 10배 증가한다 — $\tau_C=RC$로 C에 비례하므로 옳다.
• R－L 시정수는 0.1 msec이다 — 위 계산과 같으므로 옳다.

시정수는 R－C 회로(1 ms)가 R－L 회로(0.1 ms)의 10배이다.

Z = 100√2 Ω, θ = 45°이다.

직렬 저항부: $200\parallel200=100\,\mathrm{\Omega}$
병렬부 어드미턴스: $\dfrac{1}{-j200+j100}+\dfrac{1}{j100}+\dfrac{1}{j100}=j0.01-j0.02=-j0.01\,\mathrm{S}$
따라서 병렬부 임피던스는 $j100\,\mathrm{\Omega}$이다.

합성 임피던스 $Z=100+j100$
$|Z|=100\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$, $\theta=\tan^{-1}\dfrac{100}{100}=45^\circ$

4 Ω 저항의 소비전력은 16 W이다.

아래 마디를 기준으로 윗마디 전압을 V라 하면 $I_0=\dfrac{V}{3}$이다. 10 A 전류원은 윗마디에서 전류를 빼내고, 종속전류원 4$\mathrm{I}_{0}$은 윗마디로 전류를 넣는다.
KCL: $4I_0=10+\dfrac{V}{2+4}+\dfrac{V}{3}$

$\dfrac{4V}{3}-\dfrac{V}{6}-\dfrac{V}{3}=10\Rightarrow\dfrac{5V}{6}=10\Rightarrow V=12\,\mathrm{V}$
2 Ω–4 Ω 가지 전류 $\dfrac{12}{6}=2\,\mathrm{A}$
$P=2^2\times4=16\,\mathrm{W}$

전류와 전압이 동상이 되는 저항은 R = 200 Ω이다.

동상 조건은 입력 임피던스의 허수부가 0인 것이다.
$Z=j100+\dfrac{R(-j200)}{R-j200}=j100+\dfrac{40000R-j200R^2}{R^2+40000}$

허수부 $100-\dfrac{200R^2}{R^2+40000}=0$
$R^2+40000=2R^2\Rightarrow R^2=40000\Rightarrow R=200\,\mathrm{\Omega}$

$Z_{ab}=15+j10\,\mathrm{\Omega}$이다.

2차 측 루프 임피던스: $Z_{22}=R_2+j\omega L_2+Z_L=10+j100+10-j100=20\,\mathrm{\Omega}$
2차 측이 1차로 반사되는 임피던스: $\dfrac{(\omega M)^2}{Z_{22}}=\dfrac{10^2}{20}=5\,\mathrm{\Omega}$

$Z_{ab}=R_1+j\omega L_1+5=10+j10+5=15+j10\,\mathrm{\Omega}$
반사 임피던스는 $M^2$에 비례하므로 점 극성과 무관하다.