20년 1회차

두 전압 모두 각주파수가 $120\pi\ \mathrm{rad/s}$이므로 주기는 모두 1/60 [sec]이다.

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{120\pi}{2\pi}=60\ \mathrm{Hz}$
$T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{60}\ \mathrm{s}$

• 주파수가 모두 120π [Hz]: $120\pi$는 각주파수(rad/s)이고 주파수는 60 Hz이다.
• 두 전압이 동상: 위상이 각각 $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{3}$로 $\dfrac{\pi}{6}$만큼 차이가 나므로 동상이 아니다.
• 실횻값이 각각 100 V, 100√2 V: 실횻값은 최댓값의 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이므로 각각 $50\sqrt{2}\ \mathrm{V}$, $100\ \mathrm{V}$이다.

1 Ω에 흐르는 전류는 I = 2 A이다.

정육면체에서 저항·전류원이 없는 모서리는 모두 도선이므로, 전류원 위쪽 꼭짓점(1 Ω과 2 Ω이 만나는 점)을 제외한 나머지 꼭짓점은 전부 같은 전위의 한 마디가 된다. 결국 3 A 전류원에 1 Ω과 2 Ω이 병렬로 연결된 회로와 같다.

전류 분배 법칙으로
$I=3\times\dfrac{2}{1+2}=2\ \mathrm{A}$

철편에 작용하는 전체 힘은 $\dfrac{1}{\pi}\times10^{5}\ \mathrm{N}$이며, 공극이 두 곳이라는 점이 핵심이다.

공극 한 곳에 작용하는 흡인력은 단위 면적당 자기 에너지에 면적을 곱한 값이다.
$F_1=\dfrac{B^2S}{2\mu_0}$

그림처럼 전자석의 양 극에 공극이 있으므로 전체 힘은 두 배이다.
$F=2\times\dfrac{B^2S}{2\mu_0}=\dfrac{2^2\times100\times10^{-4}}{4\pi\times10^{-7}}$
$F=\dfrac{0.04}{4\pi\times10^{-7}}=\dfrac{1}{\pi}\times10^{5}\ \mathrm{N}$

Y결선에서는 선간전압이 상전압보다 π/6 [rad] 앞선다.

Y결선의 선간전압은 두 상전압의 차($V_{ab}=V_a-V_b$)이므로 크기는 상전압의 $\sqrt{3}$배, 위상은 $\dfrac{\pi}{6}$ 앞선다. 반면 Y결선의 선전류는 상전류와 같고, △결선에서는 선간전압이 곧 상전압이다.

• △결선에서 선간전압 크기가 상전압의 √3배: △결선은 선간전압과 상전압이 같다(1배).
• Y결선에서 선전류 크기가 상전류의 √3배: Y결선은 선전류와 상전류가 같다.
• △결선에서 선간전압이 상전압보다 π/6 앞섬: △결선의 선간전압과 상전압은 같은 전압이므로 위상차가 없다.

전류는 I = 0.5 A이다.

전지의 (+)극 쪽 왼쪽 마디를 5 V, (−)극 쪽 아래 마디를 0 V로 두고, 가운데 마디(직렬 5 Ω 두 개 사이)를 $V_M$, 오른쪽 위 마디를 $V_X$라 하자. 두 마디는 각각 5 V 마디·0 V 마디·서로와 5 Ω씩 연결된 대칭 구조라 $V_M=V_X$이다.

$V_M$ 마디의 KCL:
$\dfrac{V_M-5}{5}+\dfrac{V_M-V_X}{5}+\dfrac{V_M-0}{5}=0$
$V_M=V_X=2.5\ \mathrm{V}$

맨 위 5 Ω에 흐르는 전류는
$I=\dfrac{5-2.5}{5}=0.5\ \mathrm{A}$

정상상태에서 a·b 사이 전압은 $V_{ab}=5\ \mathrm{V}$이다.

직류 정상상태에서 인덕터는 단락으로 보고, 두 폐로를 잇는 대각선 5 V 전지에는 전류가 흐르지 않는다. 왼쪽 폐로는 3 V 전지에 1 Ω·2 Ω이 직렬이라 1 A가 흐르며, 전지의 (+)극이 아래쪽이므로 2 Ω 아래 마디 c가 a보다 2 V 높다: $V_a-V_c=-2\ \mathrm{V}$

대각선 전지는 c 쪽이 (+)극이므로 $V_c-V_d=5\ \mathrm{V}$(d: 오른쪽 폐로 위 마디). 오른쪽 폐로는 5 V 전지에 2 Ω·3 Ω이 직렬이라 1 A가 d에서 2 Ω을 거쳐 b 쪽으로 흐르므로 $V_d-V_b=2\ \mathrm{V}$

$V_{ab}=(-2)+5+2=5\ \mathrm{V}$

$\mathrm{R}_{L}$에 최대전력 4 W가 전달되는 전압은 E = 32 V이다.

$\mathrm{R}_{L}$ 쪽에서 본 테브난 등가회로는
$R_{th}=32\parallel32=16\ \mathrm{\Omega}$
$V_{th}=E\times\dfrac{32}{32+32}=\dfrac{E}{2}$

최대전력 전달은 $R_L=R_{th}$일 때이며
$P_{max}=\dfrac{V_{th}^2}{4R_{th}}=\dfrac{(E/2)^2}{64}=\dfrac{E^2}{256}=4$
$E^2=1024,\ E=32\ \mathrm{V}$

π형 등가회로의 출력측 병렬 임피던스는 $Z_3=0.25+j4.5\ \mathrm{\Omega}$이다.

T형 각 소자의 임피던스($\omega=10^3\ \mathrm{rad/s}$):
$Z_a=10\ \mathrm{\Omega}$
$Z_b=j\omega L=j10^3\times5\times10^{-3}=j5\ \mathrm{\Omega}$
$Z_c=\dfrac{1}{j\omega C}=\dfrac{1}{j10^3\times2000\times10^{-6}}=-j0.5\ \mathrm{\Omega}$

T–π(Y–Δ) 변환에서 $Z_3$는 출력 단자와 공통선 사이 가지이므로, 이 두 마디에 닿지 않는 입력측 직렬 소자 $Z_a$로 나눈다.
$N=Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a=j50+2.5-j5=2.5+j45$
$Z_3=\dfrac{N}{Z_a}=\dfrac{2.5+j45}{10}=0.25+j4.5\ \mathrm{\Omega}$

전류 I는 전원전압보다 위상이 앞선다.

가운데 마디 전압을 V라 하면 $V=12-3I$이다. 인덕터($j3$) 가지와, 종속전압원 3I(왼쪽이 +)·커패시터($-j2$) 직렬 가지에 KCL을 세우면
$I=\dfrac{V}{j3}+\dfrac{V-3I}{-j2}$

V를 대입하면
$I=-j\dfrac{12-3I}{3}+j\dfrac{12-6I}{2}=j2-j2I$
$I=\dfrac{j2}{1+j2}=0.8+j0.4\ \mathrm{A}$

전원전압 $12\angle0^\circ$를 기준으로 I의 허수부가 양수(약 $26.6^\circ$)이므로 진상 전류이다. 따라서 동위상도, 180° 차이도 아니며 전류가 뒤지지도 않는다.

개별 커패시터 용량은 C = 100 μF이다.

부하의 지상 무효전력은
$Q=S\sin\theta=600\times\sin30^\circ=300\ \mathrm{VAR}$
커패시터 3개가 나누어 보상하므로 한 개당 $100\ \mathrm{VAR}$이다.

그림에서 커패시터는 선간에 Δ결선되어 있어 선간전압 실횻값 $V=\dfrac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=100\ \mathrm{V}$를 받고, $\omega=100\ \mathrm{rad/s}$이다.
$Q_C=\omega CV^2\ \Rightarrow\ 100=100\times C\times100^2$
$C=10^{-4}\ \mathrm{F}=100\ \mathrm{\mu F}$

극판 사이의 간격을 반으로 줄이면 정전용량이 2배인 200 F가 된다.

평행판 커패시터의 정전용량은
$C=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_rS}{d}$
로 면적·비유전율에 비례하고 간격에 반비례한다. 간격을 $\dfrac{d}{2}$로 하면 $C'=2C=200\ \mathrm{F}$이다.

• 극판 면적 4배: 정전용량이 4배가 되어 200 F를 넘는다.
• 극판 도체 두께 2배: 두께는 정전용량 식에 들어가지 않으므로 변화가 없다.
• 비유전율 4배인 유전체: 정전용량이 4배가 되어 200 F를 넘는다.

이 회로의 평균전력은 25 W이다.

전압·전류의 위상차는 $\theta-(\theta-60^\circ)=60^\circ$이고, 최댓값으로 주어졌으므로 실횻값으로 바꾸어 P = VI cosθ를 쓴다.
$P=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{I_m}{\sqrt{2}}\cos\theta=\dfrac{25\times4}{2}\cos60^\circ$

$P=50\times0.5=25\ \mathrm{W}$

링 모양 철심의 자기인덕턴스는 L = 4π H이다.

링 철심에 감은 코일은 환상 솔레노이드이므로
$L=\dfrac{\mu_0\mu_rN^2S}{l}$

값을 대입하면
$L=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10^{4}\times(10^{3})^2\times3\times10^{-4}}{0.3}$
$L=\dfrac{1.2\pi}{0.3}=4\pi\ \mathrm{H}$

$\mathrm{V}_{2}$가 나머지 셋과 다른 것은 (b) 회로이다.

$\mathrm{L}_{2}$에 전류가 없으므로 $V_2$는 상호유도 전압 $\pm j\omega MI_1$뿐이며, 점 규약에 따라 전류가 한 코일의 점 단자로 들어가면 다른 코일의 점 단자 쪽이 (+)가 된다.

• (a): $\mathrm{I}_{1}$이 $\mathrm{L}_{1}$의 점 단자(위)로 들어가고, $\mathrm{L}_{2}$의 점(위)이 $\mathrm{V}_{2}$의 (+) 쪽이므로 $V_2=j\omega MI_1$
• (b): $\mathrm{I}_{1}$이 $\mathrm{L}_{1}$의 점 없는 단자(위)로 들어가고, $\mathrm{L}_{2}$의 점(위)이 $\mathrm{V}_{2}$의 (+) 쪽이므로 $V_2=-j\omega MI_1$
• (c): $\mathrm{I}_{1}$이 점 단자(위)로 들어가고, $\mathrm{L}_{2}$의 점(아래)이 $\mathrm{V}_{2}$의 (+) 쪽이므로 $V_2=j\omega MI_1$
• (d): $\mathrm{I}_{1}$이 점 없는 단자로 들어가 $\mathrm{L}_{2}$의 점(아래)이 (−)가 되고, $\mathrm{V}_{2}$의 (+)는 위쪽이므로 $V_2=j\omega MI_1$

전류가 최소가 되는 조건은 병렬 공진이며, 이때 $X_C=2\ \mathrm{\Omega}$이다.

병렬 회로에서 $I=YV_s$이므로 합성 어드미턴스의 크기가 최소, 즉 서셉턴스 합이 0일 때 전류가 최소이다.

$Y_1=\dfrac{1}{1+j1}=0.5-j0.5$
$Y_2=\dfrac{1}{-jX_C}=j\dfrac{1}{X_C}$
$\dfrac{1}{X_C}=0.5\ \Rightarrow\ X_C=2\ \mathrm{\Omega}$

두 전력계 지시값으로 구한 3상 부하의 역률은 √3/2이다.

2전력계법에서 유효전력과 무효전력은
$P=P_1+P_2=3+6=9\ \mathrm{W}$
$Q=\sqrt{3}\,|P_1-P_2|=3\sqrt{3}\ \mathrm{VAR}$

$S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{81+27}=6\sqrt{3}\ \mathrm{VA}$
$\cos\theta=\dfrac{P}{S}=\dfrac{9}{6\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

두 전하 사이의 힘은 q = Q일 때, 즉 전하를 똑같이 나눌 때 최대가 된다.

떼어 낸 뒤 전하량은 각각 $2Q-q$, $q$이고 거리는 1 m로 일정하므로 쿨롱 법칙에 의해
$F=k\dfrac{q(2Q-q)}{1^2}\propto 2Qq-q^2$

$\dfrac{dF}{dq}\propto 2Q-2q=0$
$q=Q$
이때 두 전하의 곱 $q(2Q-q)=Q^2$이 가장 크다.

t = 3 s에서 커패시터 전압은 3 − 3$e^{-1.5}$ V이다.

스위치 왼쪽을 테브난 등가로 바꾼다. 18 V와 6 Ω·6 Ω 분압부는 9 V, 3 Ω이 되고, 여기에 3 Ω 직렬·3 Ω 병렬이 붙는다.
$V_{th}=9\times\dfrac{3}{3+3+3}=3\ \mathrm{V}$
$R_{th}=(3+3)\parallel3=2\ \mathrm{\Omega}$

시정수 $\tau=R_{th}C=2\times1=2\ \mathrm{s}$, 초깃값 0 V이므로
$v_c(t)=3\left(1-e^{-t/2}\right)$
$v_c(3)=3-3e^{-1.5}\ \mathrm{V}$

t > 0의 회로는 RLC 병렬 회로이며 과소감쇠 응답을 보인다.

$\mathrm{S}_{1}$이 닫히면 10 V 전원과 2 kΩ의 직렬 가지가 스위치로 단락되어 나머지 회로와 분리되고, $\mathrm{S}_{2}$가 닫혀 두 2 kΩ이 병렬이 된다. 따라서 R = 1 kΩ, L = 1 mH, C = 1 mF의 병렬 회로이다.

$\alpha=\dfrac{1}{2RC}=\dfrac{1}{2\times10^{3}\times10^{-3}}=0.5\ \mathrm{s^{-1}}$
$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-3}\times10^{-3}}}=10^{3}\ \mathrm{rad/s}$

$\alpha\lt\omega_0$이므로 특성근이 복소수가 되어 감쇠 진동한다. 저항이 있으므로 무손실 진동이 아니고, 과도감쇠·임계감쇠 조건($\alpha\ge\omega_0$)에도 해당하지 않는다.

구형파의 (2n−1)차 고조파와 기본파의 진폭비는 $\dfrac{1}{2n-1}$이다.

그림의 구형파(진폭 $V_m$, 주기 $2\pi$)는 기함수이면서 반파 대칭이므로 홀수차 사인항만 남는다.
$v(\omega t)=\dfrac{4V_m}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n-1}\sin(2n-1)\omega t$

기본파 진폭 $A_2=\dfrac{4V_m}{\pi}$, (2n−1)차 진폭 $A_1=\dfrac{4V_m}{\pi(2n-1)}$
$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{1}{2n-1}$

• $2n-1$: 고조파 진폭은 차수에 반비례하므로 비가 차수만큼 커지지 않는다.
• $\dfrac{\pi}{2n-1}$: 공통 계수 $\dfrac{4V_m}{\pi}$가 약분되어 비에 $\pi$가 남지 않는다.
• $\dfrac{2n-1}{\pi}$: 비가 차수에 비례할 수 없고 $\pi$도 남지 않는다.