21년 1회차

옳은 설명은 ㄴ, ㄹ이다.

이상적인 전압원은 부하와 관계없이 단자전압이 일정해야 하므로 내부저항이 0이고, 이상적인 전류원은 부하와 관계없이 전류가 일정해야 하므로 내부저항이 무한대다. 실제 전원은 이상 전원에 내부저항을 붙여 나타내는데, 전압원은 직렬로, 전류원은 병렬로 붙인다.

• ㄱ: 이상적인 전류원의 내부저항은 무한대이므로 유한한 값이라는 설명은 틀리다.
• ㄷ: 실제 전류원의 내부저항은 전류원과 병렬로 접속되므로 직렬 접속이라는 설명은 틀리다.

옳지 않은 설명은 KCL에 의해 $\mathrm{I}_{R1}$＋$\mathrm{I}_{R2}$＋$\mathrm{I}_{R3}$＝0이라는 것이다.

그림에서 $\mathrm{I}_{R1}$은 가운데 마디로 들어오고 $\mathrm{I}_{R2}$(아래로)와 $\mathrm{I}_{R3}$(오른쪽으로)는 그 마디에서 나간다. 따라서 KCL은 $\mathrm{I}_{R1}$＝$\mathrm{I}_{R2}$＋$\mathrm{I}_{R3}$, 즉 $I_{R1}-I_{R2}-I_{R3}=0$이 되어야 한다.

• 마디는 $\mathrm{V}_{1}$과 $\mathrm{R}_{1}$ 사이, $\mathrm{R}_{1}$·$\mathrm{R}_{2}$·$\mathrm{R}_{3}$이 만나는 점, $\mathrm{R}_{3}$과 $\mathrm{V}_{2}$ 사이, 아래쪽 공통선의 4개이므로 옳다.
• 루프는 왼쪽 망, 오른쪽 망, 바깥 테두리의 3개이므로 옳다.
• 바깥 루프를 $\mathrm{V}_{1}$→$\mathrm{R}_{1}$→$\mathrm{R}_{3}$→$\mathrm{V}_{2}$ 순으로 돌면 $\mathrm{V}_{1}$－$\mathrm{V}_{R1}$－$\mathrm{V}_{R3}$－$\mathrm{V}_{2}$＝0이므로 옳다.

전압과 커패시턴스는 E＝10[V], C＝1[μF]이다.

커패시터 초기전압이 0이므로 스위치를 닫은 뒤 저항 전압은 다음과 같다.
$v_R(t)=Ee^{-\frac{t}{RC}}$
$t=0.05$를 대입하면 $Ee^{-\frac{0.05}{RC}}=10e^{-10}$ 이므로 $E=10\,\mathrm{V}$, $\dfrac{0.05}{RC}=10$이다.

$RC=\dfrac{0.05}{10}=5\times10^{-3}\,\mathrm{s}$
$C=\dfrac{5\times10^{-3}}{5000}=1\times10^{-6}\,\mathrm{F}=1\,\mathrm{\mu F}$

• E＝10[V], C＝2[μF]: 시정수가 0.01[s]가 되어 지수가 $-5$로 맞지 않는다.
• E＝20[V], C＝1[μF]: 지수는 맞지만 계수가 20이 되어 맞지 않는다.
• E＝20[V], C＝2[μF]: 계수와 지수가 모두 맞지 않는다.

이 회로의 유효전력은 950[W]이다.

복소전력은 전압과 전류의 켤레를 곱해 구한다.
$S=VI^{*}=(100+j10)(10+j5)$

$S=1000+j500+j100+j^{2}50=950+j600$
실수부가 유효전력이므로 $P=950\,\mathrm{W}$, 허수부 $600\,\mathrm{VAR}$는 무효전력이다. 전류를 켤레로 바꾸지 않고 곱하면 1,050이 나오는 함정에 주의한다.

저항 $r_{a}$에 흐르는 전류는 30[A]이다.

c선이 끊어지면 $r_{c}$에는 전류가 흐르지 않고, 단자 a–b 사이에서 보면 $\mathrm{R}_{a}$와 ($\mathrm{R}_{b}$＋$\mathrm{R}_{c}$)가 병렬이고 여기에 선로저항 $r_{a}$, $r_{b}$가 직렬로 연결된다.
$R_a\parallel(R_b+R_c)=\dfrac{3\times6}{3+6}=2\,\mathrm{\Omega}$

$R_{ab}=r_a+2+r_b=1+2+1=4\,\mathrm{\Omega}$
$I=\dfrac{120}{4}=30\,\mathrm{A}$

단선된 상의 선로저항 $r_{c}$는 회로에서 빠지므로 등가저항 4[Ω]만으로 전류가 정해진다.

최대전력 전달 조건의 부하 임피던스는 5－j5[Ω]이다.

전압원을 단락하고 부하 단자에서 본 테브난 임피던스를 구한다. $\mathrm{R}_{1}$과 ($\mathrm{R}_{2}$－j$\mathrm{X}_{C}$)가 병렬이고, 여기에 $\mathrm{R}_{3}$＋j$\mathrm{X}_{L}$이 직렬이다.
$R_1\parallel(R_2-jX_C)=\dfrac{5(5-j5)}{10-j5}=\dfrac{(25-j25)(10+j5)}{125}=3-j1$

$Z_{th}=(2+j6)+(3-j1)=5+j5\,\mathrm{\Omega}$
최대전력 전달 조건은 공액 정합 $Z_L=Z_{th}^{*}$이므로 $Z_L=5-j5\,\mathrm{\Omega}$이다.

• 5＋j5: 테브난 임피던스 자체로, 리액턴스가 상쇄되지 않는다.
• 5－j10, 5＋j10: 리액턴스 크기가 테브난 리액턴스 5[Ω]과 맞지 않는다.

(나)의 물질은 (가)에 비해 영구자석으로 사용하기에 더 적합하다.

(나)의 곡선은 B축 절편(잔류자속밀도) 3a, H축 절편(보자력) 3b로 (가)의 a, b보다 크고 루프 면적도 넓다. 잔류자기와 보자력이 큰 경자성체는 한 번 자화되면 쉽게 감자되지 않으므로 영구자석에 알맞다.

• (가)는 루프 면적이 좁으므로 히스테리시스 손실이 (나)보다 작다.
• (가)의 보자력은 b로 (나)의 3b보다 작다.
• 고주파 회로에는 손실이 작은 (가)가 적합하고, 루프가 넓은 (나)는 주파수에 비례해 손실이 커져 부적합하다.

역률이 1이 되려면 $\mathrm{X}_{C}$＝4/5[Ω]이어야 한다.

2[Ω] 저항과 1[Ω] 유도성 리액턴스의 병렬 임피던스를 구한다.
$Z_p=\dfrac{2\times j1}{2+j1}=\dfrac{j2(2-j1)}{5}=\dfrac{2+j4}{5}=0.4+j0.8\,\mathrm{\Omega}$

여기에 커패시터가 직렬이므로 $Z=0.4+j(0.8-X_C)$이다.
역률 1은 허수부가 0이라는 뜻이므로 $X_C=0.8=\dfrac{4}{5}\,\mathrm{\Omega}$이다.

전원이 공급하는 3상 평균전력은 2,640√3[W]이다.

두 Y결선 부하가 같은 단자 A, B, C와 중성점 N에 연결되어 있으므로 상마다 55∠30°[Ω] 두 개가 병렬이다. 평형 회로이므로 중성선의 55∠－60°[Ω]에는 전류가 흐르지 않아 계산에 영향이 없다.
$Z_{\phi}=\dfrac{55}{2}\angle30^{\circ}=27.5\angle30^{\circ}\,\mathrm{\Omega}$

$I_{\phi}=\dfrac{220}{27.5}=8\,\mathrm{A}$
$P=3V_{\phi}I_{\phi}\cos30^{\circ}=3\times220\times8\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2640\sqrt{3}\,\mathrm{W}$

부하 하나만 보고 계산하면 1,320√3[W]가 나오므로 두 부하의 병렬을 놓치지 않아야 한다.

t＞0의 전류는 $i(t)=\dfrac{1}{7}\left(6+e^{-2t}\right)\,\mathrm{A}$이다.

초깃값: 스위치가 열려 있던 정상상태에서 인덕터는 단락이므로 2[A]가 4[Ω]과 4[Ω]에 똑같이 나뉜다. 인덕터 전류는 연속이므로 $i(0^{+})=i(0^{-})=1\,\mathrm{A}$이다.
최종값: 스위치가 닫히면 4[Ω]∥12[Ω]＝3[Ω]과 인덕터 가지(4[Ω])가 전류를 나눠 $i(\infty)=2\times\dfrac{3}{3+4}=\dfrac{6}{7}\,\mathrm{A}$이다.

시정수: 인덕터에서 본 저항은 $4+3=7\,\mathrm{\Omega}$, $\tau=\dfrac{3.5}{7}=0.5\,\mathrm{s}$
$i(t)=\dfrac{6}{7}+\left(1-\dfrac{6}{7}\right)e^{-2t}=\dfrac{1}{7}\left(6+e^{-2t}\right)$

• $\dfrac{1}{7}\left(6+e^{-\frac{3}{2}t}\right)$: 초깃값·최종값은 맞지만 시정수가 다르다.
• $\dfrac{1}{7}\left(8-e^{-2t}\right)$: 최종값이 $\dfrac{8}{7}$로 전류가 오히려 증가하는 형태라 틀리다.
• $\dfrac{1}{7}\left(8-e^{-\frac{3}{2}t}\right)$: 최종값과 시정수가 모두 틀리다.

인덕턴스 L은 자속과 전류의 비례상수로 정의된다.

코일에 전류 I가 흐를 때 생기는 쇄교자속은 전류에 비례하며, 그 비례상수가 인덕턴스다.
$N\Phi=LI\;\Rightarrow\;L=\dfrac{N\Phi}{I}\;[\mathrm{H}]$

• 전압과 전류의 비례상수는 저항(임피던스)이다.
• 자속과 전압은 $v=N\dfrac{d\Phi}{dt}$처럼 미분 관계이지 비례상수로 정의되지 않는다.
• 전력과 자속의 비례상수라는 정의는 없다. 인덕턴스와 에너지의 관계는 $W=\dfrac{1}{2}LI^{2}$이다.

역률이 0.4가 되었을 때 회로 전류는 5[A]이다.

처음 상태에서 임피던스와 저항을 구한다.
$Z_1=\dfrac{200}{10}=20\,\mathrm{\Omega}$, $R=Z_1\cos\theta_1=20\times0.8=16\,\mathrm{\Omega}$

R은 그대로이고 역률만 0.4로 바뀌므로
$Z_2=\dfrac{R}{\cos\theta_2}=\dfrac{16}{0.4}=40\,\mathrm{\Omega}$
$I_2=\dfrac{200}{40}=5\,\mathrm{A}$

R이 일정할 때 전류는 역률에 비례하므로($I=\dfrac{V\cos\theta}{R}$) 역률이 절반이면 전류도 절반이 된다.

저항 R은 4[Ω]이다.

10[Ω] 두 개의 병렬은 5[Ω], R 두 개의 병렬은 R/2이며 두 묶음이 21[V] 전원에 직렬로 연결된다. R 묶음에 6[V]가 걸리므로 10[Ω] 묶음에는 $21-6=15\,\mathrm{V}$가 걸린다.

전체 전류: $I=\dfrac{15}{5}=3\,\mathrm{A}$
R 묶음: $\dfrac{R}{2}=\dfrac{6}{3}=2\,\mathrm{\Omega}$ 이므로 $R=4\,\mathrm{\Omega}$

R 묶음의 등가저항 2[Ω]이 아니라 개별 저항값을 묻는 점에 주의한다.

그림 (나)의 정전용량은 (가)의 18/11배이다.

유전체가 극간 거리 방향으로 층을 이루므로 세 커패시터의 직렬 연결로 본다. 각 층은 면적 S, 두께 d/3이다.
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{d}{3S}\left(\dfrac{1}{3\varepsilon}+\dfrac{1}{2\varepsilon}+\dfrac{1}{\varepsilon}\right)=\dfrac{d}{3\varepsilon S}\cdot\dfrac{11}{6}=\dfrac{11d}{18\varepsilon S}$

$C=\dfrac{18}{11}\cdot\dfrac{\varepsilon S}{d}=\dfrac{18}{11}C_0$
(가)의 정전용량은 $C_0=\dfrac{\varepsilon S}{d}$이므로 비는 18/11이다.

옳지 않은 설명은 $\mathrm{Z}_{p}$가 유도성이면 부하 상전류 $\mathrm{I}_{AN}$의 위상이 선전류 $\mathrm{I}_{aA}$보다 뒤진다는 것이다.

Y결선에서 선로 a–A를 흐르는 전류는 그대로 부하 A–N을 흐르므로 선전류와 상전류는 같은 전류다. 크기뿐 아니라 위상도 같으며, 부하가 유도성일 때 뒤지는 것은 상전압에 대한 전류의 위상이다.

• 선간전압: $V_{ca}=V_p\angle-240^{\circ}-V_p\angle0^{\circ}=\sqrt{3}V_p\angle-210^{\circ}$로 $\mathrm{V}_{cn}$(∠－240°)보다 √3배 크고 30° 앞서므로 옳다.
• 중성선 전류: 그림의 $\mathrm{I}_{Bb}$는 B→b 방향이라 $I_{Bb}=-I_{bB}$이고, 평형이면 $I_{aA}+I_{bB}+I_{cC}=0$이므로 옳다.
• △결선 변경: 같은 전력을 소비하려면 $Z_{\Delta}=3Z_Y$이므로 옳다.

옳은 설명은 $\mathrm{C}_{2}$의 양단 전압은 $\mathrm{C}_{6}$의 양단 전압의 2/3배라는 것이다.

정전용량을 모두 C라 하면 $\mathrm{C}_{2}$·$\mathrm{C}_{3}$·$\mathrm{C}_{4}$의 병렬은 3C, $\mathrm{C}_{5}$·$\mathrm{C}_{6}$의 병렬은 2C이고 $\mathrm{C}_{1}$(C)과 직렬이다. 직렬이므로 세 묶음의 전하가 같다.
$Q=\dfrac{E}{\frac{1}{C}+\frac{1}{3C}+\frac{1}{2C}}=\dfrac{6CE}{11}$

$V_1=\dfrac{Q}{C}=\dfrac{6E}{11},\quad V_{2}=\dfrac{Q}{3C}=\dfrac{2E}{11},\quad V_{6}=\dfrac{Q}{2C}=\dfrac{3E}{11}$
따라서 $V_2=\dfrac{2}{3}V_6$이고, 각 소자 전하는 $Q_1=\dfrac{6CE}{11},\;Q_3=\dfrac{2CE}{11},\;Q_5=\dfrac{3CE}{11}$이다.

• $\mathrm{C}_{5}$의 전하는 $\mathrm{C}_{1}$의 1/2이므로 같지 않다.
• $\mathrm{C}_{6}$의 전압은 $\mathrm{C}_{1}$의 1/2이므로 2배가 아니다.
• $\mathrm{C}_{3}$의 전하는 $\mathrm{C}_{5}$의 2/3이므로 2배가 아니다.

옳지 않은 설명은 i(t)의 최댓값이 10[A]라는 것이다.

$X_L=\omega L=100\times10\times10^{-3}=1\,\mathrm{\Omega}$이므로 $Z=1+j1=\sqrt{2}\angle45^{\circ}\,\mathrm{\Omega}$이다.
$I_m=\dfrac{V_m}{|Z|}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\,\mathrm{A}$로 전류 최댓값은 5√2[A]이다.

• 임피던스 각이 45°이므로 v(t)와 i(t)의 위상차는 45°로 옳다.
• 실횻값은 $\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5\,\mathrm{A}$로 옳다.
• 합성 임피던스 크기는 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$로 옳다.

전류 $\mathrm{I}_{x}$는 －1.2[A]이다.

위쪽의 24[Ω] 세 개는 △결선이므로 Y로 바꾸면 각 $\dfrac{24}{3}=8\,\mathrm{\Omega}$이 된다. 그러면 3[A]는 중심점에서 (8＋10)＝18[Ω] 가지와 (8＋4)＝12[Ω] 가지로 나뉘어 아래 마디로 돌아온다.
$I_{10}=3\times\dfrac{12}{18+12}=1.2\,\mathrm{A}$

이 전류는 10[Ω]을 위에서 아래로 흘러 아래 도선을 오른쪽으로 지나가는데, 그림의 $\mathrm{I}_{x}$ 화살표는 왼쪽을 가리키므로 $I_x=-1.2\,\mathrm{A}$이다.

옳게 짝을 이룬 것은 가, 라이다.

가는 시간에 따라 변하는 자속이 전계의 회전을 만든다는 패러데이 법칙 $\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}$이고, 라는 전속의 발산이 체적전하밀도와 같다는 가우스 법칙 $\nabla\cdot D=\rho_v$이다.

• 나: 자계에 대한 가우스 법칙은 자기 단극이 없으므로 $\nabla\cdot B=0$이어야 한다.
• 다: 암페어 주회적분 법칙의 변위전류 항은 전속밀도의 시간 변화 $\dfrac{\partial D}{\partial t}$이어야 하므로 $\dfrac{\partial E}{\partial t}$로 쓴 식은 틀리다.

옳지 않은 설명은 저항 양단 전압의 실횻값이 4√2[kV]라는 것이다.

그래프에서 한 주기(2~8[s]) 동안 4[A]가 2[s], 2[A]가 4[s] 흐른다.
$I_{rms}=\sqrt{\dfrac{4^2\times2+2^2\times4}{6}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\,\mathrm{A}$

전압 실횻값: $V_{rms}=I_{rms}R=2\sqrt{2}\times4000=8\sqrt{2}\,\mathrm{kV}$이므로 8√2[kV]가 맞다.

• 파형이 6[s]마다 반복되므로 주기 6[s]는 옳다.
• 실횻값 2√2[A]는 위 계산과 같아 옳다.
• 평균전력은 $I_{rms}^{2}R=8\times4000=32\,\mathrm{kW}$로 옳다.