22년 1회차

옳은 설명은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. ㄱ은 거꾸로 서술했다 — 중첩의 원리는 선형 회로에서만 성립한다.

독립전원을 하나씩 남기고 나머지 전압원은 단락, 전류원은 개방하여 각 부분 회로를 키르히호프 법칙으로 푼 뒤, 그 응답을 대수적으로 합한다.

• ㄱ, ㄴ, ㄷ 조합은 틀린 ㄱ을 포함하고 옳은 ㄹ을 빠뜨렸다.
• ㄱ, ㄴ, ㄹ 조합은 틀린 ㄱ을 포함하고 옳은 ㄷ을 빠뜨렸다.
• ㄱ, ㄷ, ㄹ 조합은 틀린 ㄱ을 포함하고 옳은 ㄴ을 빠뜨렸다.

직렬 커패시터에는 같은 전하가 충전되므로 전압이 정전용량에 반비례하여, 1 μF 커패시터에는 100 V가 걸린다.

$V_1=V\dfrac{C_2}{C_1+C_2}$
$=150\times\dfrac{2}{1+2}=100\,\mathrm{V}$

• 50 V는 2 μF 커패시터의 전압으로, 용량이 큰 쪽에 작은 전압이 걸린다.
• 150 V는 전원 전압 전체로, 두 커패시터에 전압이 나뉘는 것을 무시한 값이다.

R-L 병렬회로의 역률은 저항 전류와 전체 전류의 비로 구하며, 그 값은 0.8이다.

$I_R=\dfrac{120}{30}=4\,\mathrm{A},\quad I_L=\dfrac{120}{40}=3\,\mathrm{A}$
$I=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{A}$
$\cos\theta=\dfrac{I_R}{I}=\dfrac{4}{5}=0.8$

0.6은 $I_L/I$, 즉 무효율 $\sin\theta$이며, 직렬회로 공식 $R/\sqrt{R^2+X^2}$을 잘못 적용해도 같은 값이 나온다. 병렬회로의 역률은 $X/\sqrt{R^2+X^2}=40/50$이다.

평형 3상 부하의 전력 $P=\sqrt{3}V_lI_l\cos\theta$에서 역률은 2분의 √3(약 0.866)이다.

$\cos\theta=\dfrac{P}{\sqrt{3}V_lI_l}=\dfrac{3300}{\sqrt{3}\times220\times10}$
$=\dfrac{1.5}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

• 2분의 √2(약 0.707)이면 $P\approx2.69\,\mathrm{kW}$로 3.3 kW에 못 미친다.
• 3분의 √3(약 0.577)이면 $P=2.2\,\mathrm{kW}$로 소비전력이 부족하다.
• 3분의 √2(약 0.471)이면 $P\approx1.80\,\mathrm{kW}$에 그친다.

L-C 직렬회로의 합성 리액턴스는 두 리액턴스의 차이므로, 전류의 실횻값은 5 A이다.

$Z=j(X_L-X_C)=j(5-25)=-j20\,\mathrm{\Omega}$
$I=\dfrac{V}{|Z|}=\dfrac{100}{20}=5\,\mathrm{A}$

유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스는 위상이 반대여서 더하지 않고 뺀다. 용량성이 더 크므로 회로 전체는 용량성으로 동작한다.

전류가 2배가 되려면 합성저항이 절반(4 Ω)이 되어야 하므로 R = 3 Ω이다.

닫기 전: $R_1=6+2=8\,\mathrm{\Omega}$
닫은 후: $\dfrac{6R}{6+R}+2=4$
$6R=2(6+R)\ \Rightarrow\ R=3\,\mathrm{\Omega}$

• R = 1 Ω이면 합성저항이 약 2.86 Ω으로, 전류가 약 2.8배가 된다.
• R = 6 Ω이면 합성저항 5 Ω으로 1.6배에 그친다.
• R = 12 Ω이면 합성저항 6 Ω으로 4/3배에 그친다.

$R_{L}$이 클수록 3 Ω 양단 전압이 커지므로, $R_{L}$의 값이 클수록 3 Ω에 전달되는 전력이 커진다.

4 A 전류원이 직렬로 있어 왼쪽 회로와 관계없이 오른쪽 마디에 4 A가 들어간다. $R_p=R_L\parallel3$이라 하면 5 Ω과 $(1+R_p)$ 가지로 분류되어
$V_3=4\times\dfrac{5}{6+R_p}\times R_p=\dfrac{20R_p}{6+R_p}$
이고, 이는 $R_p$에 대해 증가함수이며 $R_p$는 $R_{L}$이 클수록 커진다.

• $R_{L}$ = 3 Ω일 때는 $V_3=4\,\mathrm{V}$로 최대가 아니다.
• $R_{L}$ = 6 Ω일 때도 $V_3=5\,\mathrm{V}$로, 개방에 가까울수록 더 커진다.
• $R_{L}$이 작을수록 3 Ω을 단락하는 효과가 커져 전력이 줄어든다.

개방 직전 정상상태의 커패시터 전압이 그대로 유지되므로 $V_{C}$($0^{+}$) = 20 V이다.

스위치가 닫힌 정상상태에서 커패시터는 개방으로 보고, 상단 마디 전압을 V로 두면
$\dfrac{10-V}{1}+20=\dfrac{V}{2}$
$30=1.5V\ \Rightarrow\ V=20\,\mathrm{V}$

커패시터 전압은 순간적으로 변할 수 없으므로 $V_C(0^+)=V_C(0^-)$이다. 10 V는 전원 전압을 그대로 옮긴 값으로, 1 Ω·2 Ω 분압과 20 A 전류원의 주입을 모두 반영하지 못했다.

C점에서 B, D 전하의 합성 전계를 A 전하의 전계가 상쇄해야 하므로 Q = −2√2 C이다.

B와 D(각 1 C, 거리 1 m)가 만드는 전계는 서로 수직이며 합성하면 대각선 방향(A에서 멀어지는 방향)으로
$E_{BD}=\sqrt{2}\,k$
A(거리 $\sqrt{2}\,\mathrm{m}$)의 전계는 같은 대각선 위에서 $E_A=k\dfrac{Q}{2}$이므로
$k\dfrac{Q}{2}+\sqrt{2}\,k=0\ \Rightarrow\ Q=-2\sqrt{2}\,\mathrm{C}$

• −2 C이면 A의 전계 크기가 $k$로 $\sqrt{2}\,k$보다 작아 상쇄되지 않는다.
• 2 C이면 A의 전계가 같은 방향이 되어 오히려 더해진다.
• 2√2 C도 양전하라 크기는 맞지만 방향이 같아 0이 될 수 없다.

환상 솔레노이드의 인덕턴스는 권선수의 제곱에 비례하므로, 4배로 하려면 권선수를 2배로 한다.

$L=\dfrac{\mu SN^2}{l}\propto N^2$
$N'=\sqrt{4}\,N=2N$

• 권선수 0.5배이면 인덕턴스는 $0.25$배로 줄어든다.
• 권선수 4배이면 인덕턴스는 16배가 되며, 이는 인덕턴스가 N에 정비례한다고 착각한 경우의 값이다.
• 권선수 8배이면 인덕턴스는 64배가 된다.

Y결선 15 Ω을 등가 △결선으로 바꾸면 한 상 저항이 45 Ω이 되어, 상전류는 20 A이다.

$R_\Delta=3R_Y=3\times15=45\,\mathrm{\Omega}$
$I_p=\dfrac{V_p}{R_\Delta}=\dfrac{900}{45}=20\,\mathrm{A}$

• 20√3 A는 △결선의 선전류(상전류의 √3배)이다.
• 180 A는 변환 방향을 거꾸로 하여 한 상 저항을 $15/3=5\,\mathrm{\Omega}$으로 잡은 값이다.
• 180√3 A는 그 잘못된 상전류에 다시 √3을 곱한 값이다.

충분한 시간 후 인덕터는 단락으로 보므로, 6 A가 10 Ω과 20 Ω 가지로 나뉘어 $i_{L}$ = 2 A이다.

접점 b에서는 전류원 6 A가 직렬 10 Ω을 거쳐 오른쪽 마디로 그대로 들어가고, 이 전류가 10 Ω과 (20 Ω + 인덕터)로 분류된다.
$i_L(\infty)=6\times\dfrac{10}{10+20}=2\,\mathrm{A}$

• 0 A는 오른쪽 회로가 전원과 끊겨 있던 초깃값이다.
• 4 A는 저항이 작은 10 Ω 가지로 흐르는 전류이다.
• 6 A는 10 Ω 가지로의 분류를 무시하고 전류원 전부를 인덕터로 보낸 값이다.

평등 자계 속 막대자석의 회전력은 $T=mlH\sin\theta$이며, 값은 2.5×$10^{-3}$ N·m이다.

$T=5\times10^{-5}\times0.5\times200\times\sin30^\circ$
$=5\times10^{-3}\times0.5=2.5\times10^{-3}\,\mathrm{N\cdot m}$

5×$10^{-3}$ N·m는 sin30°를 빠뜨린 값으로, 자석이 자계와 수직일 때의 최대 회전력이다. 길이는 50 cm를 0.5 m로 환산해 넣어야 한다.

교류 성분의 한 주기 평균은 0이므로 인덕터의 평균 전류는 직류 성분만 남아 1.4 A이다.

중첩의 원리로 직류 14 V만 남기면 교류 전원은 단락, 인덕터도 직류에서 단락이므로 5 Ω에는 전류가 흐르지 않는다.
$I_{dc}=\dfrac{14}{10}=1.4\,\mathrm{A}$

• 0 A는 직류 전원 14 V의 기여를 빠뜨린 값이다.
• 1/π + 1.4 A는 정현파의 반주기 평균을 더한 꼴인데, 전주기 평균에서는 교류 성분이 0이 된다.
• 2/π + 1.4 A도 같은 이유로 교류 성분의 평균을 잘못 더한 값이다.

2차 부하를 1차로 환산해 전체 임피던스를 구하면 전원이 공급하는 평균 전력은 72 W이다.

$R_2=14+\dfrac{60\times90}{60+90}=50\,\mathrm{\Omega}$
$R_2'=\dfrac{R_2}{a^2}=\dfrac{50}{5^2}=2\,\mathrm{\Omega},\quad R=2+2=4\,\mathrm{\Omega}$
$I_m=\dfrac{24}{4}=6\,\mathrm{A},\quad P=\dfrac{I_m^2R}{2}=\dfrac{36\times4}{2}=72\,\mathrm{W}$

이 중 1차 측 2 Ω과 2차 부하가 각각 36 W를 소비하며, 이상 변압기 자체는 손실이 없다. 진폭 24 V를 실횻값으로 바꿀 때 √2로 나누는 것을 빠뜨리지 않아야 한다.

회로의 합성 임피던스가 순저항 20 Ω이 되어, 전류의 실횻값은 2분의 5√2 A(약 3.54 A)이다.

전원 왼쪽 단자 전압을 V, 오른쪽을 0으로 두고 위·아래 마디 전압 $V_T,\ V_B$에 대해 마디방정식(양변 ×30)을 세우면
$(2-j3)V_T-V_B=-j3V,\quad -V_T+(2+j3)V_B=j3V$
$V_T=\dfrac{3-j}{4}V,\quad V_B=\dfrac{3+j}{4}V$
$I=\dfrac{V-V_T}{j10}+\dfrac{V-V_B}{-j10}=\dfrac{V}{20}\ \Rightarrow\ Z=20\,\mathrm{\Omega}$

$I=\dfrac{100/\sqrt{2}}{20}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{A}$

• 5 A는 최댓값 100 V를 그대로 20 Ω으로 나눈 값이다.
• 5√2 A는 실횻값을 10 Ω으로 나눈 값으로, 합성 임피던스와 맞지 않는다.
• 3분의 20√2 A는 합성 임피던스를 7.5 Ω으로 본 경우의 값이다.

커패시터 전류는 전압의 기울기에 비례하므로, 0~1 ms에 +1 A, 1~2 ms에 −1 A, 전압이 0으로 일정한 2~4 ms에는 0인 ±1 A 사각파가 된다.

$i=C\dfrac{dv}{dt}=50\times10^{-6}\times\dfrac{20}{1\times10^{-3}}=1\,\mathrm{A}$
내려가는 구간은 기울기가 $-2\times10^{4}\,\mathrm{V/s}$이므로 −1 A이다.

• 진폭 ±0.25 A인 파형은 크기가 4분의 1로 작다.
• 진폭 ±0.4 A인 파형도 C·dv/dt로 구한 1 A와 맞지 않는다.
• 진폭 ±2 A인 파형은 크기가 2배로 크다.

이 회로는 커패시터 전류가 입력 전압에만 비례하는 적분기로 동작하여 $v_c(t)=\dfrac{\sin t}{2}$이다.

비반전 단자는 출력을 2 Ω, 2 Ω으로 분압하므로 $v_+=\dfrac{v_o}{2}=v_-=v_c$, 즉 $v_o=2v_c$이다. 반전 단자 마디에서
$\dfrac{v_s-v_c}{2}+\dfrac{2v_c-v_c}{2}=1\cdot\dfrac{dv_c}{dt}$
$\dfrac{dv_c}{dt}=\dfrac{v_s}{2}=\dfrac{\cos t}{2}\ \Rightarrow\ v_c=\dfrac{\sin t}{2}$

• −sin t/2는 부호가 반대인데, 이 회로는 반전 증폭 구조가 아니다.
• 2 sin t는 적분 계수를 1/2 대신 2로 잡은 값으로, $dv_c/dt=v_s/2$와 크기가 맞지 않는다.
• −2 sin t는 크기와 부호가 모두 맞지 않는다.

주기 20초 중 5 V가 2초 동안 유지되므로 듀티비는 10 %, 평균전압은 1.4 V이다.

$D=\dfrac{2}{20}\times100=10\,\%$
$V_{avg}=\dfrac{5\times2+1\times18}{20}=\dfrac{28}{20}=1.4\,\mathrm{V}$

• 듀티비 10 %와 평균 1.8 V 조합은 평균전압이 틀렸다.
• 듀티비 20 %와 평균 1.4 V 조합은 듀티비가 틀렸다.
• 듀티비 20 %와 평균 1.8 V 조합은 주기를 10초로 잘못 읽은 값이다($5\times0.2+1\times0.8=1.8$).