23년 1회차

좌표점에서 +x방향 전계의 세기는 6 V/m이다.

전계는 전위의 음의 기울기 $\mathbf{E}=-\nabla V$이므로 x성분은 $E_x=-\dfrac{\partial V}{\partial x}=-6y$이다.

y = −1을 대입하면 $E_x=-6\times(-1)=6\ \mathrm{V/m}$로 양수이므로 +x방향을 향한다.

내부 자속밀도는 페리자성체, 상자성체, 반자성체 순으로 크다.

같은 자기장에서 $B=\mu_0\mu_r H$이므로 비투자율이 클수록 자속밀도가 크다. 페리자성체는 $\mu_r\gg1$, 상자성체는 1보다 약간 크고, 반자성체는 1보다 약간 작다.

• 상자성체를 맨 앞에 둔 배열은 비투자율이 훨씬 큰 페리자성체보다 상자성체를 앞세웠으므로 틀리다.
• 페리자성체 다음에 반자성체를 둔 배열은 반자성체가 상자성체보다 자속밀도가 작다는 점에 어긋난다.
• 반자성체를 맨 앞에 둔 배열은 자속밀도가 가장 작은 반자성체를 가장 크다고 했으므로 틀리다.

인덕터에 저장된 자기에너지는 250 J이다.

인덕터의 자기에너지는 $W=\dfrac{1}{2}LI^2$이다.
$W=\dfrac{1}{2}\times20\times5^2=250\ \mathrm{J}$

자기에너지는 전류의 제곱에 비례하며, 1/2 계수를 빠뜨리면 두 배인 500 J이 나오므로 주의한다.

닫힌 곡면 밖으로 나가는 전기선속이 내부 총전하량과 같다는 관계는 가우스 법칙이다.

적분형으로 $\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q$, 진공에서는 $\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}$로 쓴다.

• 옴의 법칙은 도체의 전압·전류·저항 관계 $V=IR$이다.
• 쿨롱의 법칙은 두 점전하 사이의 힘이 전하량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다는 법칙이다.
• 패러데이 법칙은 쇄교 자속의 시간 변화가 유도기전력을 만든다는 전자유도 법칙이다.

단자 a·b에서 본 등가저항은 1 kΩ이다.

가운데 마디는 도선으로 단자 b에 바로 이어져 있으므로 a와 가운데 마디 사이 2 kΩ은 a–b에 직접 걸린다. 오른쪽 위 마디는 가운데 마디(=b)와 2 kΩ, 아래 도선(=b)과 2 kΩ으로 이어져 두 저항이 병렬이다.

위쪽 경로: $1+(2\parallel2)=1+1=2\ \mathrm{k\Omega}$
$R_{eq}=2\parallel2=\dfrac{2\times2}{2+2}=1\ \mathrm{k\Omega}$

페이저도에서 전류가 전압보다 45° 뒤지므로 회로는 유도성이고, 인덕턴스는 $L=\dfrac{R+\frac{1}{2\pi fC}}{2\pi f}$이다.

직렬 RLC의 위상각은 $\tan\theta=\dfrac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}$이고 $\theta=45^\circ$이면 $\omega L-\dfrac{1}{\omega C}=R$이다.
$2\pi fL=R+\dfrac{1}{2\pi fC}$

• 분자가 $R-\frac{1}{2\pi fC}$인 식은 용량성 리액턴스의 부호를 반대로 둔 것이다.
• 분자가 $-R+\frac{1}{2\pi fC}$인 식은 전류가 전압보다 45° 앞서는 용량성 회로에 해당한다.
• 분모가 $\pi f$인 식은 각주파수 2πf를 잘못 대입한 것이다.

가능한 θ는 π/6 [rad]이다.

평균전력은 $P=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\phi$이며 $\phi$는 전압과 전류의 위상차이다.
$125\sqrt{3}=\dfrac{100\times5}{2}\cos\phi=250\cos\phi$ → $\cos\phi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\phi=\pm\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{3}-\theta=\pm\dfrac{\pi}{6}$이므로 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ 또는 $\dfrac{\pi}{2}$이고, 제시된 값 중에서는 π/6만 해당한다.

• θ = 0이면 위상차가 π/3이어서 $P=250\times\dfrac{1}{2}=125\ \mathrm{W}$이다.
• θ = π/4이면 위상차가 π/12이어서 $P=250\cos15^\circ\approx241\ \mathrm{W}$이다.
• θ = π/3이면 동상이어서 $P=250\ \mathrm{W}$이다.

임계제동이 되려면 저항 R = 10 Ω이어야 한다.

스위치 개방 후에는 100 μF, 10 mH, 10 Ω, R이 모두 병렬인 무전원 RLC 회로가 되고, 병렬 RLC는 감쇠계수와 고유각주파수가 같을 때 임계제동이다($\alpha=\dfrac{1}{2R_pC}=\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$).

$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{10\times10^{-3}\times100\times10^{-6}}}=1000\ \mathrm{rad/s}$
$\dfrac{1}{2R_p\times100\times10^{-6}}=1000$ → $R_p=5\ \mathrm{\Omega}$
$\dfrac{10R}{10+R}=5$ → $R=10\ \mathrm{\Omega}$

절점 a와 c 사이의 전압은 −2 V이다.

b를 기준으로 a의 전위가 4 V이므로 왼쪽 6 Ω에는 $\dfrac{20-4}{6}=\dfrac{8}{3}\ \mathrm{A}$가 a로 들어오고, 가운데 6 Ω으로는 $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\ \mathrm{A}$가 내려간다.

a에서 KCL을 쓰면 전류원 전류는 $I=\dfrac{8}{3}-\dfrac{2}{3}=2\ \mathrm{A}$이고, 이 전류가 c에서 b로 3 Ω을 흐르므로 $V_{cb}=2\times3=6\ \mathrm{V}$이다.
$V_{ac}=V_{ab}-V_{cb}=4-6=-2\ \mathrm{V}$

코일의 리액턴스는 15 Ω이다.

직류에서는 리액턴스가 0이므로 저항만 남는다.
$R=\dfrac{V^2}{P}=\dfrac{100^2}{500}=20\ \mathrm{\Omega}$

교류에서도 유효전력은 저항에서만 소비된다.
$I=\sqrt{\dfrac{P}{R}}=\sqrt{\dfrac{720}{20}}=6\ \mathrm{A}$, $|Z|=\dfrac{150}{6}=25\ \mathrm{\Omega}$
$X=\sqrt{|Z|^2-R^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15\ \mathrm{\Omega}$

부하에 흐르는 상전류의 크기는 20 A이다.

그림에서 전원과 부하가 모두 △ 결선이므로 각 부하 임피던스에는 전원 상전압 200 V가 그대로 걸린다.

$|\dot Z|=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{\Omega}$
$I_p=\dfrac{200}{10}=20\ \mathrm{A}$
선전류는 이것의 $\sqrt{3}$배인 $20\sqrt{3}\ \mathrm{A}$이므로 상전류와 구분한다.

Y 결선에서 선간전압은 상전압보다 30° 앞선다. 따라서 선간전압과 상전압이 동상이라는 설명은 옳지 않다.

$V_a=V_p\angle0^\circ$를 기준으로 하면 $V_{ab}=V_a-V_b=\sqrt{3}V_p\angle30^\circ$이므로 크기는 $\sqrt{3}$배, 위상은 30° 차이가 난다.

• 선간전압의 크기가 상전압 크기의 $\sqrt{3}$배라는 설명은 옳다.
• Y 결선은 선과 상이 직렬로 이어지므로 선전류와 상전류의 크기가 같다는 설명은 옳다.
• 평형 3상이므로 선간전압끼리의 위상차가 120°라는 설명은 옳다.

전달함수는 출력 변환을 입력 변환으로 나눈 $H(s)=\dfrac{10(s+1)^2}{s^2+2s+5}$이다.

입력은 $X(s)=\dfrac{1}{s+1}$이고, 출력은 s영역 이동 정리로 $Y(s)=\dfrac{10(s+1)}{(s+1)^2+2^2}=\dfrac{10(s+1)}{s^2+2s+5}$이다.
$H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{10(s+1)}{s^2+2s+5}\times(s+1)=\dfrac{10(s+1)^2}{s^2+2s+5}$

• 분자가 $5(s+1)$인 식은 계수를 절반으로 두고 입력 변환으로 나누지도 않은 것이다.
• 분자가 $5(s+1)^2$인 식은 cos 앞의 계수 10을 절반으로 잘못 둔 것이다.
• 분자가 $10(s+1)$인 식은 출력 변환 자체로, 입력 변환으로 나누지 않은 것이다.

전압과 전류가 동상이 되려면 리액턴스 X = 1 Ω이어야 한다.

동상 조건은 전체 임피던스의 허수부가 0인 것이다. 1 Ω과 −jX의 병렬 임피던스는
$Z_p=\dfrac{1\cdot(-jX)}{1-jX}=\dfrac{X^2-jX}{1+X^2}$

$0.5-\dfrac{X}{1+X^2}=0$ → $X^2-2X+1=0$ → $X=1\ \mathrm{\Omega}$

전류 I는 2 A이다.

앞면의 세로 도선·아래 도선과 뒷면 위 도선이 오른쪽 모서리 도선으로 모두 이어져 있어, 전류원 위쪽 마디를 제외한 모든 마디가 같은 전위가 된다. 따라서 둘째·셋째 칸의 1 Ω, 2 Ω은 양 끝이 같은 전위라 전류가 흐르지 않고, 3 A는 첫째 칸의 1 Ω과 2 Ω으로만 나뉜다.

분류 법칙: $I=3\times\dfrac{2}{1+2}=2\ \mathrm{A}$

망 방정식의 계수는 $a_1=40$, $a_2=30$이므로 $a_{1}$+$a_{2}$ = 70이다.

망 방정식에서 자기 계수는 그 망을 이루는 저항의 합이고, 두 망이 공유하는 가운데 가지 5 Ω+15 Ω=20 Ω이 상호 계수(−20)가 된다.

$a_1=20+5+15=40$
$a_2=10+5+15=30$
$a_1+a_2=40+30=70$

전체 피상전력은 100√3 VA이다.

2전력계법에서 유효전력은 두 지시값의 합, 무효전력은 두 지시값 차의 √3배이다.
$P=P_1+P_2=50+100=150\ \mathrm{W}$
$Q=\sqrt{3}\,|P_2-P_1|=\sqrt{3}\times50=50\sqrt{3}\ \mathrm{VAR}$

$S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{150^2+(50\sqrt{3})^2}=\sqrt{30000}=100\sqrt{3}\ \mathrm{VA}$

저항과 인덕턴스는 R = 2 Ω, L = 5 mH이다.

실횻값 전압 $V=\dfrac{40}{\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\ \mathrm{V}$, 피상전력 $S=\dfrac{P}{\cos\theta}=100\sqrt{2}\ \mathrm{VA}$이므로 $I=\dfrac{S}{V}=5\ \mathrm{A}$이다.
$R_T=\dfrac{P}{I^2}=\dfrac{100}{25}=4\ \mathrm{\Omega}$ → $R=4-2=2\ \mathrm{\Omega}$

지상 역률 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이면 순 리액턴스가 전체 저항과 같다.
$\omega L-\dfrac{1}{\omega C}=4$, $\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{1000\times10^{-3}}=1\ \mathrm{\Omega}$
$1000L=5$ → $L=5\ \mathrm{mH}$

• R = 1 Ω, L = 4 mH 조합은 전체 저항 3 Ω, 순 리액턴스 3 Ω으로 역률은 맞지만 평균전력이 약 133 W가 된다.
• R = 3 Ω, L = 4 mH 조합은 전체 저항 5 Ω, 순 리액턴스 3 Ω이어서 역률이 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$가 아니다.
• R = 4 Ω, L = 5 mH 조합은 전체 저항 6 Ω, 순 리액턴스 4 Ω이어서 역률이 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$가 아니다.

인덕턴스가 가장 큰 것은 N = 2,000, r = 1.0 cm, l = 100 cm인 솔레노이드이다.

내부 자기장이 균일한 솔레노이드의 인덕턴스는 $L=\dfrac{\mu N^2\pi r^2}{l}$이므로 $N^{2}r^{2}/l$ 값만 비교하면 된다.

N = 2,000인 경우: $\dfrac{2000^2\times1.0^2}{100}=40000$으로 가장 크다.

• N = 500, r = 0.5, l = 25인 경우는 $\dfrac{500^2\times0.5^2}{25}=2500$이다.
• N = 1,000, r = 0.5, l = 50인 경우는 $\dfrac{1000^2\times0.5^2}{50}=5000$이다.
• N = 3,000, r = 0.5, l = 150인 경우는 $\dfrac{3000^2\times0.5^2}{150}=15000$이다.

t > 0의 전류는 두 실근을 갖는 과제동 응답 $i(t)=\dfrac{1}{4}e^{-t}+\dfrac{7}{4}e^{-9t}\ \mathrm{A}$이다.

개방 직전 정상상태에서 인덕터는 단락, 커패시터는 개방이므로 초깃값은 $i(0)=\dfrac{16}{8}=2\ \mathrm{A}$, $v_C(0)=8\times2=16\ \mathrm{V}$이다. 개방 후에는 C–32 Ω–8 Ω–4 H 직렬 루프가 되어 $s^2+\dfrac{40}{4}s+\dfrac{1}{4\times\frac{1}{36}}=s^2+10s+9=0$, $s=-1,\,-9$이다.

$v_L(0^+)=v_C(0)-40\,i(0)=16-80=-64\ \mathrm{V}$ → $\dfrac{di}{dt}(0^+)=\dfrac{-64}{4}=-16\ \mathrm{A/s}$
$A+B=2$, $-A-9B=-16$ → $A=\dfrac{1}{4},\ B=\dfrac{7}{4}$

• 계수가 7/4, 1/4인 식은 초기 기울기가 $-4\ \mathrm{A/s}$로 맞지 않는다.
• 계수가 9/4, −1/4인 식은 초기 기울기가 0이 되어 맞지 않는다.
• 계수가 −1/4, 9/4인 식은 초기 기울기가 $-20\ \mathrm{A/s}$로 맞지 않는다.