24년 1회차

저항은 R = 18 Ω, 전압원은 $V_{x}$ = 166 V이다. 36 V 전원이 위·아래 마디 사이에 직접 걸려 있으므로 R과 12 Ω 양단 전압은 모두 36 V이다.

위쪽 마디 KCL(10 Ω으로 들어오는 13 A = 36 V 전원 쪽 8 A + 12 Ω 전류 + R 전류):
$13=8+\dfrac{36}{12}+\dfrac{36}{R}\;\Rightarrow\;\dfrac{36}{R}=2\;\Rightarrow\;R=18\,\mathrm{\Omega}$

오른쪽 가지 KVL(13 A가 $V_{x}$에서 10 Ω을 지나 마디로 흐름):
$V_x=36+13\times10=166\,\mathrm{V}$

• R = 12 Ω, $V_{x}$ = 94 V 조합은 R 전류가 3 A가 되어 KCL을 만족하지 못하고 $V_{x}$도 다르다.
• R = 12 Ω, $V_{x}$ = 166 V 조합은 전압원은 맞지만 R 전류 2 A 조건과 맞지 않는다.
• R = 18 Ω, $V_{x}$ = 94 V 조합은 저항은 맞지만 10 Ω 양단 전압강하 130 V를 반영하지 못했다.

최대전력 전달 조건은 $R_{L}$ = $R_{th}$ = 9 Ω이다. $R_{L}$을 떼어 낸 단자에서 본 테브난 저항을 구하며, 이때 전압원은 단락, 전류원은 개방한다.

$R_{th}=3+\left(2+12\parallel6\right)=3+\left(2+\dfrac{12\times6}{12+6}\right)=3+6=9\,\mathrm{\Omega}$

• 3 Ω은 전류원을 단락으로 잘못 처리해 직렬 3 Ω만 남긴 값이다.
• 6 Ω은 부하 쪽 직렬 3 Ω을 빠뜨린 값이다.
• 12 Ω은 테브난 저항 9 Ω보다 커서 이때 부하 전력은 최대가 되지 않는다.

T형 등가 인덕턴스는 $L_{a}$ = 8 H, $L_{b}$ = 6 H, $L_{c}$ = −2 H이다. $I_{1}$은 점(·) 단자로, $I_{2}$는 점이 없는 단자로 들어가므로 상호인덕턴스는 차동(−M)으로 작용한다.

단자 방정식: $V_1=6sI_1-2sI_2,\;V_2=-2sI_1+4sI_2$
T형 회로: $V_1=(L_a+L_c)sI_1+L_csI_2,\;V_2=L_csI_1+(L_b+L_c)sI_2$
대응: $L_c=-2,\;L_a=6-(-2)=8\,\mathrm{H},\;L_b=4-(-2)=6\,\mathrm{H}$

• $L_{a}$ = 4 H, $L_{b}$ = −2 H, $L_{c}$ = 6 H 조합은 $L_{a}$+$L_{c}$ = 10 H로 1차 자기인덕턴스 6 H와 맞지 않는다.
• $L_{a}$ = 4 H, $L_{b}$ = 6 H, $L_{c}$ = −2 H 조합은 $L_{a}$+$L_{c}$ = 2 H로 1차 자기인덕턴스와 맞지 않는다.
• $L_{a}$ = 8 H, $L_{b}$ = −2 H, $L_{c}$ = 6 H 조합은 $L_{a}$+$L_{c}$ = 14 H로 1차 자기인덕턴스와 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 주위 매질에 영향을 받지 않는다는 설명이다. 정전기력은 매질의 유전율에 반비례하므로 매질이 바뀌면 크기가 달라진다.

쿨롱의 법칙: $F=\dfrac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon r^2},\;\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$
비유전율이 큰 매질일수록 같은 전하·거리에서 힘이 작아진다.

• 두 전하량의 곱에 비례한다는 설명은 옳다(분자 $Q_{1}$$Q_{2}$).
• 두 전하 사이 거리의 제곱에 반비례한다는 설명은 옳다(분모 $r^{2}$).
• 두 전하를 연결하는 직선을 따라 작용한다는 설명은 옳다(중심력).

입력 임피던스는 $Z_{in}=Z_L\left(\dfrac{N_1}{N_1+N_2}\right)^2$이다. 그림은 1차가 공통 권선 $N_{1}$, 2차가 $N_{1}$+$N_{2}$인 승압형 단권변압기이다.

이상 변압기 관계: $\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{N_1+N_2}{N_1},\;\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{N_1}{N_1+N_2}$
$Z_{in}=\dfrac{V_1}{I_1}=\dfrac{V_2\cdot\dfrac{N_1}{N_1+N_2}}{I_2\cdot\dfrac{N_1+N_2}{N_1}}=Z_L\left(\dfrac{N_1}{N_1+N_2}\right)^2$

• $Z_L\left(\dfrac{N_1}{N_1+N_2}\right)$는 임피던스가 권수비의 제곱으로 변환된다는 점을 빠뜨렸다.
• $Z_L\left(\dfrac{N_2}{N_1+N_2}\right)$는 1차 권선을 직렬 권선 $N_{2}$로 잘못 잡고 제곱도 빠뜨렸다.
• $Z_L\left(\dfrac{N_2}{N_1+N_2}\right)^2$는 1차 전압이 걸리는 권선이 $N_{1}$이라는 점과 맞지 않는다.

유효전력은 550 W, 무효전력은 −100 VAR이다. 실횻값 페이저에서 복소전력은 전압에 전류의 켤레를 곱해 구한다.

$\dot{S}=\dot{V}\,\overline{\dot{I}}=(100+j50)(4-j3)$
$=400-j300+j200+150=550-j100\,\mathrm{VA}$
실수부가 유효전력, 허수부가 무효전력이며, 전류(약 36.9°)가 전압(약 26.6°)보다 앞서는 진상 부하라 Q가 음수이다.

• 250 W, −500 VAR 조합은 켤레 없이 곱한 값(250+j500)에서 부호만 바꾼 것으로 유효전력부터 맞지 않는다.
• 250 W, 500 VAR 조합은 전류의 켤레를 취하지 않고 $(100+j50)(4+j3)$를 계산한 값이다.
• 550 W, 100 VAR 조합은 유효전력은 같지만 진상 부하의 무효전력 부호를 반대로 썼다.

전달함수는 $\dfrac{Ls}{RLCs^2+Ls+R}$이다. $v_{o}$는 L과 C의 병렬 양단 전압이므로 R과 병렬 임피던스의 전압분배로 구한다.

$Z_p=Ls\parallel\dfrac{1}{Cs}=\dfrac{Ls}{LCs^2+1}$
$\dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}=\dfrac{Z_p}{R+Z_p}=\dfrac{Ls}{R(LCs^2+1)+Ls}=\dfrac{Ls}{RLCs^2+Ls+R}$

• $\dfrac{1}{RLCs^2+LCs+1}$은 s=0에서 1이 되지만, 이 회로는 직류에서 인덕터가 출력을 단락해 0이어야 한다.
• $\dfrac{LCs}{RLCs^2+LCs+1}$은 분모 1차항과 분자가 LCs로 되어 있어 전압분배 결과와 다르다.
• $\dfrac{1}{RLCs^2+Ls+R}$은 분자 Ls가 빠져 s=0에서 출력이 0이 되지 않는다.

유도전동기의 역률은 0.7이다. 2전력계법에서 두 전력계 지시의 합이 3상 유효전력이고, 선간전압과 선전류로 피상전력을 구한다.

$P=W_1+W_2=2+2.2=4.2\,\mathrm{kW}$
$S=\sqrt{3}VI=\sqrt{3}\times100\times20\sqrt{3}=6000\,\mathrm{VA}$
$\cos\theta=\dfrac{P}{S}=\dfrac{4200}{6000}=0.7$

• 역률 0.8이려면 유효전력이 4.8 kW여야 하나 두 전력계 합은 4.2 kW이다.
• 역률 0.9이려면 유효전력이 5.4 kW여야 한다.
• 역률 1.0이려면 유효전력이 피상전력과 같은 6 kW여야 한다.

정상순 평형 3상 △결선에서는 상전류가 선전류보다 π/6 rad(30°) 앞선다. 선전류는 크기가 상전류의 √3배이고 위상은 30° 뒤진다.

a상 선전류: $\dot{I}_a=\dot{I}_{ab}-\dot{I}_{ca},\;\dot{I}_{ca}=\dot{I}_{ab}\angle120^\circ$
$\dot{I}_a=\dot{I}_{ab}\left(1-\angle120^\circ\right)=\dot{I}_{ab}\left(1.5-j0.866\right)=\sqrt{3}\,\dot{I}_{ab}\angle-30^\circ$

• 상전류가 π/3 앞선다는 것은 위상차를 60°로 본 것으로 틀리다.
• 상전류가 π/3 뒤진다는 것은 위상차 크기와 방향이 모두 틀리다.
• 상전류가 π/6 뒤진다는 것은 역상순(negative sequence)일 때의 관계이다.

전류 I가 최소가 되는 것은 $R_{2}$ = 5 Ω일 때이다. 가변저항의 위쪽 끝이 도선으로 아래 마디에 이어져 있어 와이퍼에서 보면 $R_{1}$과 $R_{2}$가 병렬이다.

$R_{eq}=5+\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}=5+\dfrac{R_2(10-R_2)}{10}$
합이 일정한 두 저항의 병렬값은 같을 때 최대: $R_2=5\,\mathrm{\Omega}\Rightarrow R_{eq}=5+2.5=7.5\,\mathrm{\Omega}$ (최대이므로 I 최소)

• $R_{2}$ = 0이면 병렬 저항이 0이 되어 $R_{eq}$ = 5 Ω으로 전류가 최대가 된다.
• $R_{2}$ = 7.5 Ω이면 병렬 저항이 1.875 Ω으로 5 Ω일 때보다 작아 전류가 더 크다.
• $R_{2}$ = 10 Ω이면 $R_{1}$ = 0이 되어 병렬 저항이 0, 전류가 최대가 된다.

합성용량의 비는 $C_{2}$/$C_{1}$ = 4이다. 같은 용량 C 두 개를 직렬로 하면 C/2, 병렬로 하면 2C가 된다.

$C_1=\dfrac{C\times C}{C+C}=\dfrac{C}{2},\;C_2=C+C=2C$
$\dfrac{C_2}{C_1}=\dfrac{2C}{C/2}=4$

• 1/4은 비를 거꾸로 한 $C_{1}$/$C_{2}$ 값이다.
• 1/2은 직렬 합성용량 C/2를 C에 대해 나타낸 값으로, 병렬과의 비가 아니다.
• 2는 병렬 합성용량 2C를 C에 대해 나타낸 값으로, 직렬과의 비가 아니다.

저장 에너지는 1 J이다. 전하량과 정전용량이 주어졌으므로 $W = Q^{2}/(2C)$를 쓴다.

$W=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{2^2}{2\times2}=1\,\mathrm{J}$
(검산: $V=\dfrac{Q}{C}=1\,\mathrm{V},\;W=\dfrac{1}{2}CV^2=\dfrac{1}{2}\times2\times1^2=1\,\mathrm{J}$)

• 2 J는 계수 1/2을 빠뜨린 $Q^2/C$ 값이다.
• 0.5 J는 올바른 값 1 J를 한 번 더 절반으로 나눈 값이다.
• 1.5 J는 위 두 공식 어느 것으로도 나오지 않는다.

커패시턴스는 C = 1/8 F이다. 전원에서 본 역률이 1이려면 전체 어드미턴스의 서셉턴스(허수부)가 0이어야 한다.

$\omega=2\,\mathrm{rad/s},\;Z_{RL}=2+j\omega L=2+j2\,\mathrm{\Omega}$
$Y_{RL}=\dfrac{1}{2+j2}=\dfrac{2-j2}{8}=0.25-j0.25\,\mathrm{S}$
$\omega C=0.25\;\Rightarrow\;C=\dfrac{0.25}{2}=\dfrac{1}{8}\,\mathrm{F}$

• 1/4 F이면 ωC = 0.5 S로 유도성 서셉턴스 0.25 S를 넘어 진상이 된다.
• 1/2 F이면 ωC = 1 S로 더 크게 과보상된다.
• 1 F이면 ωC = 2 S로 역률이 1에서 크게 벗어난다.

평균전력은 1 W이다. 부하가 저항만으로 되어 있어 주파수와 관계없이 등가저항이 같고, 비정현파 평균전력은 각 주파수 성분 전력의 합이다.

등가저항: $(10+20+10)\parallel40=20,\;(8+20+12)\parallel40=20,\;R_{eq}=10+20=30\,\mathrm{\Omega}$

$P=\dfrac{5^2}{30}+\dfrac{(3/\sqrt{2})^2}{30}+\dfrac{(1/\sqrt{2})^2}{30}=\dfrac{25+4.5+0.5}{30}=1\,\mathrm{W}$

• 5 W는 실횻값 제곱 합 $30\,\mathrm{V^2}$를 6 Ω에 건 값으로, 등가저항 30 Ω과 맞지 않는다.
• 10 W는 등가저항을 3 Ω으로 본 값이다.
• 20 W는 등가저항을 1.5 Ω으로 본 값이다.

시정수는 $\tau _{1}$ = 4 s, $\tau _{2}$ = 6 s이다. RC 회로의 시정수는 커패시터 단자에서 본 테브난 저항과 C의 곱이며, 이때 전압원은 단락한다.

스위치 닫힘: $R_{th}=1+(2\parallel2)=2\,\mathrm{\Omega},\;\tau_1=2\times2=4\,\mathrm{s}$
스위치 개방: $R_{th}=1+2=3\,\mathrm{\Omega},\;\tau_2=3\times2=6\,\mathrm{s}$

• $\tau _{1}$ = 4 s, $\tau _{2}$ = 4 s 조합은 개방 후 왼쪽 2 Ω 가지가 끊겨 저항이 커지는 것을 반영하지 못했다.
• $\tau _{1}$ = 6 s, $\tau _{2}$ = 4 s 조합은 두 상태의 시정수를 뒤바꾼 값이다.
• $\tau _{1}$ = 6 s, $\tau _{2}$ = 6 s 조합은 닫힘 상태에서 두 2 Ω의 병렬을 반영하지 못했다.

전류는 I = 5 A이다. 브리지가 평형이 아니므로(12×120 ≠ 24×6) 위쪽 12·24·36 Ω의 Δ를 Y로 변환해 직병렬로 정리한다.

Δ→Y(분모 12+24+36=72): $R_{t}=\dfrac{12\times24}{72}=4,\;R_{l}=\dfrac{12\times36}{72}=6,\;R_{r}=\dfrac{24\times36}{72}=12\,\mathrm{\Omega}$
아래 두 가지: $(6+6)\parallel(12+120)=\dfrac{12\times132}{144}=11\,\mathrm{\Omega}$

$R_{eq}=5+4+11=20\,\mathrm{\Omega},\;I=\dfrac{100}{20}=5\,\mathrm{A}$

• 10 A는 전체 저항을 10 Ω으로 본 값으로, 브리지 부분 15 Ω을 과소평가했다.
• 15 A는 전체 저항이 약 6.7 Ω일 때의 값으로 맞지 않는다.
• 20 A는 브리지 부분을 단락으로 보고 5 Ω만 남긴 값이다.

도체 내부(b<a)의 전위는 표면 전위와 같은 일정값으로, 무한대에서 반경 a까지만 적분한 식 $-\int_{\infty}^{a}\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}$이다. 도체의 전하는 모두 표면에 분포하므로 내부 전계는 0이다.

r>a: $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, r<a: $E=0$
$V(b)=-\int_{\infty}^{a}\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr-\int_{a}^{b}0\,dr=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}$

• $-\int_{\infty}^{b}\dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3}dr$은 체적전하 구의 내부 전계식을 무한대부터 잘못 적용한 식이다.
• $-\int_{\infty}^{b}\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr$은 외부 전계를 내부 b까지 연장한 식으로, 도체 내부 전계 0을 무시했다.
• $-\int_{\infty}^{a}\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr-\int_{a}^{b}\dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3}dr$은 전하가 체적에 고르게 퍼진 절연체 구의 식이다.

3상 부하의 전체 평균전력은 150 W이다. 선간전압 크기가 $100\sqrt{3}\,\mathrm{V}$이므로 Y결선 상전압은 100 V이고, 상 임피던스는 $100\angle60^\circ\,\mathrm{\Omega}$이다.

$I_p=\dfrac{V_p}{|Z|}=\dfrac{100}{100}=1\,\mathrm{A}$
$P=3V_pI_p\cos\theta=3\times100\times1\times\cos60^\circ=150\,\mathrm{W}$
3상 피상전력 300 VA에 역률 0.5를 곱한 값이다.

• 100 W는 피상전력 300 VA에서 역률 1/3에 해당해 cos60° = 0.5와 맞지 않는다.
• 200 W는 역률 2/3에 해당해 맞지 않는다.
• 250 W는 역률 5/6에 해당해 맞지 않는다.

인덕터 전류의 최댓값은 √2 A, v(t)와 $i_{L}$(t)의 위상차는 45°(전류가 뒤짐)이다. ω = 1000 rad/s에서 $X_L=1000\times9\times10^{-3}=9\,\mathrm{\Omega}$이다.

직렬 10 Ω과 병렬부(j9 ∥ 90)를 함께 정리한 분류식:
$\dot{I}_L=\dfrac{90\,\dot{V}}{10(90+j9)+j9\times90}=\dfrac{90\,\dot{V}}{900+j900}=\dfrac{\dot{V}}{10(1+j)}$
$=\dfrac{20\angle0^\circ}{10\sqrt{2}\angle45^\circ}=\sqrt{2}\angle-45^\circ\,\mathrm{A}$ (최댓값 페이저)

• 최댓값 √2 A, 위상차 60° 조합은 크기는 맞지만 분모 900+j900의 각 45°와 맞지 않는다.
• 최댓값 2√2 A, 위상차 45° 조합은 위상은 맞지만 크기가 두 배이다.
• 최댓값 2√2 A, 위상차 60° 조합은 크기와 위상이 모두 다르다.

커패시터 전압은 $v_C(t)=48te^{-2t}\,\mathrm{V}$이다. 병렬 RLC의 특성근이 중근이므로 임계제동 응답이다.

$\alpha=\dfrac{1}{2RC}=\dfrac{1}{2\times2\times\frac{1}{8}}=2,\;\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{2\times\frac{1}{8}}}=2$
$\alpha=\omega_0\Rightarrow s=-2$(중근). 직류 정상상태에서 인덕터가 단락하므로 $v_C(\infty)=0$, 따라서 $v_C(t)=(A+Bt)e^{-2t}$

초기조건: $v_C(0^+)=0\Rightarrow A=0$
$i_L(0^+)=0$이고 R 전류도 0이므로 6 A가 모두 C로 흐른다: $\dfrac{dv_C}{dt}(0^+)=\dfrac{6}{1/8}=48=B$

• $24te^{-4t}$는 초기 기울기와 감쇠정수가 모두 다르다.
• $24te^{-2t}$는 감쇠정수는 맞지만 초기 기울기가 48이 아니다.
• $48te^{-4t}$는 감쇠정수를 α = 1/(2RC)가 아닌 1/(RC) = 4로 잘못 잡았다.