25년 1회차

역률은 피상전력에 대한 유효전력의 비이므로 0.8이다.

피상전력: $S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{800^2+600^2}=1000\,\mathrm{VA}$
역률: $\cos\theta=\dfrac{P}{S}=\dfrac{800}{1000}=0.8$

• 0.6은 무효율 $\sin\theta=\dfrac{Q}{S}$에 해당한다.
• 0.3과 0.4는 전력 삼각형 관계에서 나오지 않는 값이다.

같은 방향 전류가 흐르는 평행도선 사이에는 흡인력이 작용하고, 간격이 2배가 되면 힘은 1/2배가 된다.

단위 길이당 힘은 $F=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$로 간격 $d$에 반비례하므로 $F'=\dfrac{F}{2}$이다.

• 반발력은 두 도선의 전류가 서로 반대 방향일 때 작용한다.
• 1/4배는 힘이 거리 제곱에 반비례한다고 본 경우로, 평행 직선도선에는 맞지 않는다.

두 저항은 3 Ω과 7 Ω이므로 저항값의 차는 4 Ω이다.

합성저항: $R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{42}{20}=2.1\,\mathrm{\Omega}$
병렬이므로 $\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}=2.1$, $R_1+R_2=10$에서 $R_1R_2=21$
두 값은 $x^2-10x+21=0$의 근 $3,\ 7$이므로 차는 $7-3=4\,\mathrm{\Omega}$

• 2 Ω 차이면 4 Ω과 6 Ω이 되어 합성저항이 2.4 Ω으로 맞지 않는다.
• 6 Ω 차이면 2 Ω과 8 Ω이 되어 합성저항이 1.6 Ω으로 맞지 않는다.
• 8 Ω 차이면 1 Ω과 9 Ω이 되어 합성저항이 0.9 Ω으로 맞지 않는다.

Y결선에서 선전류는 상전류와 같으므로 $I=\dfrac{44}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$이다.

상전압: $V_p=\dfrac{220}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V}$, 임피던스 크기: $|Z|=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{\Omega}$
선전류: $I=\dfrac{V_p}{|Z|}=\dfrac{220}{5\sqrt{3}}=\dfrac{44}{\sqrt{3}}\,\mathrm{A}$

• $\dfrac{22}{\sqrt{3}}$는 임피던스 크기를 10 Ω으로 잘못 본 값이다.
• $\dfrac{11}{\sqrt{3}}$는 임피던스 크기를 20 Ω으로 잘못 본 값이다.
• $\dfrac{14}{\sqrt{3}}$는 상전압과 임피던스 관계에서 나오지 않는 값이다.

축전기의 전하량은 $Q=CV$이므로 $1.6\times10^{-3}\,\mathrm{C}$이다.

공식: $Q=CV$
대입: $Q=(8\times10^{-6})\times200$
결과: $Q=1.6\times10^{-3}\,\mathrm{C}$

• $3.2\times10^{-3}\,\mathrm{C}$는 정전용량이나 전압을 2배로 잘못 대입한 값이다.
• $1.6\times10^{-2}\,\mathrm{C}$는 마이크로 단위 환산에서 자릿수를 하나 틀린 값이다.
• $3.2\times10^{-2}\,\mathrm{C}$는 2배 오류와 자릿수 오류가 겹친 값이다.

임피던스 크기 20 Ω, 위상각 30°이므로 $R=10\sqrt{3}\,\mathrm{\Omega}$, $X=10\,\mathrm{\Omega}$이다.

크기: $|Z|=\dfrac{V_m}{I_m}=\dfrac{40}{2}=20\,\mathrm{\Omega}$, 전류가 전압보다 30° 뒤지므로 $\theta=30^\circ$
$R=20\cos30^\circ=10\sqrt{3}\,\mathrm{\Omega}$, $X=20\sin30^\circ=10\,\mathrm{\Omega}$

• $R=5\sqrt{3}$, $X=5$ 조합은 임피던스 크기가 10 Ω으로 절반이다.
• $R=5\sqrt{3}$, $X=5\sqrt{3}$ 조합은 위상각이 45°가 되어 맞지 않는다.
• $R=10\sqrt{3}$, $X=10\sqrt{3}$ 조합도 위상각이 45°가 되어 맞지 않는다.

전류원의 전류는 I = 12 A, 3 Ω 양단 전압은 V = 9 V이다.

하단 중앙 마디를 기준(0 V)으로 두면, 오른쪽 2 Ω에 12 V가 걸려 6 A가 흐르므로 오른쪽 위 마디는 $6\times(2+1)=18\,\mathrm{V}$, 18 V 전지 위쪽(중앙 위 마디)은 $-18\,\mathrm{V}$이다.
6 Ω 전류: $\dfrac{18-(-18)}{6}=6\,\mathrm{A}$, 오른쪽 위 마디 KCL: $I=6+6=12\,\mathrm{A}$

왼쪽 위 마디 전위를 $V_A$라 하면 $\dfrac{-18-V_A}{3}+\dfrac{0-V_A}{2+1}=12$에서 $V_A=-27\,\mathrm{V}$
$V=-18-(-27)=9\,\mathrm{V}$

• I = 6 A 조합은 6 Ω 지로와 오른쪽 2 Ω 지로 중 한쪽 전류만 더한 값이다.
• V = 6 V 조합은 3 Ω 양단 전압을 잘못 구한 값으로, 마디 해석 결과와 맞지 않는다.

(a)는 가동 결합, (b)는 차동 결합이므로 La = 6 mH, Lb = 2 mH로 La는 Lb의 3배이다.

상호인덕턴스: $M=k\sqrt{L_1L_2}=0.5\times2=1\,\mathrm{mH}$
(a) 전류가 두 코일 모두 점 쪽으로 들어감: $L_a=L_1+L_2+2M=6\,\mathrm{mH}$
(b) 한 코일은 점 쪽, 다른 코일은 반대쪽으로 들어감: $L_b=L_1+L_2-2M=2\,\mathrm{mH}$

• La가 Lb의 1/3배라는 설명은 가동·차동 접속을 서로 바꾸어 본 결과다.
• La가 Lb의 1/4배라는 설명은 계산 결과와 맞지 않는다.
• La가 Lb의 4배라는 설명도 계산 결과와 맞지 않는다.

무효전력은 Q = 960 VAR, 인덕턴스는 L = 40 mH이다.

피상전력: $S=\dfrac{720}{0.6}=1200\,\mathrm{VA}$, 무효전력: $Q=\sqrt{1200^2-720^2}=960\,\mathrm{VAR}$
전류: $I^2=\dfrac{P}{R}=\dfrac{720}{60}=12$, 리액턴스: $X_L=\dfrac{Q}{I^2}=\dfrac{960}{12}=80\,\mathrm{\Omega}$

$\omega=2\pi\times\dfrac{1000}{\pi}=2000\,\mathrm{rad/s}$, $L=\dfrac{80}{2000}=0.04\,\mathrm{H}=40\,\mathrm{mH}$

• Q = 540 VAR 조합은 무효전력을 잘못 구한 값이다(역률 0.6이면 무효율은 0.8).
• L = 80 mH 조합은 각주파수를 1000 rad/s로 잘못 잡았을 때 나오는 값이다.

초기 전류는 i(0⁺) = 2 A, 정상 상태 전류는 i(∞) = 5 A이다.

$t=0^+$: 인덕터 전류는 연속이므로 0이고 인덕터는 개방으로 본다. $i(0^+)=\dfrac{10}{2+3}=2\,\mathrm{A}$
$t\to\infty$: 인덕터는 단락이 되어 3 Ω을 단락시킨다. $i(\infty)=\dfrac{10}{2}=5\,\mathrm{A}$

• i(0⁺) = 0 A 조합은 인덕터 전류(0)와 전원 전류를 혼동한 것으로, 3 Ω 지로로는 바로 전류가 흐른다.
• i(∞) = 2 A 조합은 정상 상태에서 인덕터가 3 Ω을 단락시키는 점을 빠뜨린 값이다.

복소전력의 크기는 순시전력이 아니라 피상전력이므로, 순시전력을 복소전력의 크기라고 한 설명이 옳지 않다.

복소전력은 $\dot{S}=P+jQ$이고 $|\dot{S}|=VI$(피상전력)이며, 순시전력 $p(t)=v(t)i(t)$는 시간에 따라 변하는 값이다.

• 유효전력이 저항에서 실제로 소비되는 전력이라는 설명은 옳다.
• 피상전력이 전압 실횻값과 전류 실횻값의 곱이라는 설명은 옳다.
• 무효전력이 리액턴스에서 전원과 교환되는 전력이라는 설명은 옳다.

△결선에서는 선전류가 상전류의 √3배이므로, 상전류가 선전류의 √3배라는 설명이 옳지 않다.

△결선의 관계는 $V_l=V_p$, $I_l=\sqrt{3}\,I_p$이고 선전류는 상전류보다 30° 뒤진다.

• 평형 3상이므로 각 선전류의 위상차가 120°라는 설명은 옳다.
• 상전압과 선간전압의 크기가 같다는 설명은 옳다.
• 상전류와 선전류 사이에 위상차가 존재한다는 설명은 옳다.

마디 해석으로 구하면 I = 1 A이다.

상단 마디 전압을 $V$라 하면 $I=\dfrac{7-V}{2}$, 즉 $V=7-2I$
KCL(유입 = 1 Ω 유출): $I+2+2I=\dfrac{V}{1}$이므로 $3I+2=7-2I$
결과: $5I=5$, $I=1\,\mathrm{A}$

• 0.4 A를 대입하면 KCL 식의 양변이 같지 않다.
• 1.4 A는 KCL 식을 만족하지 않는다.
• 2 A는 2 A 독립전류원 값을 그대로 옮긴 것이다.

직렬 커패시터에는 같은 전하가 충전되므로 C = 5 μF이다.

직렬 10 μF 전압: $12.5-5=7.5\,\mathrm{V}$, 전하: $Q=10\times10^{-6}\times7.5=75\,\mathrm{\mu C}$
병렬부: $(C+10\,\mathrm{\mu F})\times5=75\,\mathrm{\mu C}$이므로 $C+10=15$, $C=5\,\mathrm{\mu F}$

• 2.5 μF이면 병렬부 전압이 5 V보다 커져 맞지 않는다.
• 7.5 μF이면 병렬부 전압이 5 V보다 작아져 맞지 않는다.
• 10 μF이면 병렬부가 20 μF가 되어 전압이 약 4.2 V로 맞지 않는다.

테브난 등가는 $V_{Th}$ = 30 V, $R_{Th}$ = 8 Ω이다.

2 A 전류원과 25 Ω 병렬을 50 V 전압원(a 쪽이 +)과 25 Ω 직렬로 바꾸면 루프 전류 $i=\dfrac{100+50}{15+25+10}=3\,\mathrm{A}$
$V_{Th}=3\times10=30\,\mathrm{V}$

독립전원 제거(전압원 단락, 전류원 개방): $R_{Th}=(15+25)\parallel10=\dfrac{40\times10}{50}=8\,\mathrm{\Omega}$

• $R_{Th}$ = 10 Ω 조합은 10 Ω만 남기고 40 Ω 경로의 병렬 효과를 빠뜨린 값이다.
• $V_{Th}$ = 50 V 조합은 전류원이 만드는 50 V 크기만 옮긴 값으로, 분압 결과와 맞지 않는다.

전류 실횻값은 $\sqrt{5}\,\mathrm{A}$, 평균전력은 50 W이다.

실횻값: $I_s=\sqrt{\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9+1}{2}}=\sqrt{5}\,\mathrm{A}$
평균전력: $P=I_s^2R=5\times10=50\,\mathrm{W}$

• 평균전력 100 W 조합은 최댓값을 실횻값처럼 써서 2배가 된 값이다.
• 실횻값 $\sqrt{10}$ 조합은 각 고조파 최댓값을 $\sqrt{2}$로 나누지 않은 값이다.

직렬 RLC 회로에서 $\alpha\lt \omega_0$이므로 자연 응답은 부족감쇠이다.

감쇠 계수: $\alpha=\dfrac{R}{2L}=\dfrac{1000}{2\times0.1}=5000\,\mathrm{s^{-1}}$
공진 각주파수: $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.1\times0.1\times10^{-6}}}=10^4\,\mathrm{rad/s}$
임계저항 $2\sqrt{L/C}=2000\,\mathrm{\Omega}$보다 R = 1 kΩ이 작다.

• 과감쇠는 $\alpha\gt \omega_0$일 때다.
• 임계감쇠는 $\alpha=\omega_0$일 때다.
• 무감쇠는 저항이 0일 때다.

3상 부하 전체의 전력은 P = 300 W, Q = 600 VAR이다.

△ 부하를 Y로 바꾸면 $Z_Y=\dfrac{3+j6}{3}=1+j2\,\mathrm{\Omega}$, 선로 포함 한 상 임피던스 $(2+j2)+(1+j2)=3+j4$, $|Z|=5\,\mathrm{\Omega}$
선전류: $I=\dfrac{50}{5}=10\,\mathrm{A}$

부하 3상 전체: $P=3\times10^2\times1=300\,\mathrm{W}$, $Q=3\times10^2\times2=600\,\mathrm{VAR}$

• 100 W, 200 VAR 조합은 한 상분만 구한 값이다.
• 300 W, 400 VAR 조합은 무효전력을 잘못 구한 값으로, 부하 리액턴스는 저항의 2배이므로 Q는 P의 2배여야 한다.
• 900 W, 1,200 VAR 조합은 선로 임피던스까지 합한 3상 전체 전력이다.

병렬 LC가 공진하면 전체 임피던스가 최대가 되어 전류 진폭이 최소이므로 $f=\dfrac{1}{0.4\pi}\,\mathrm{Hz}$, $I_m=20\,\mathrm{A}$이다.

공진 각주파수: $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.1\times0.4}}=5\,\mathrm{rad/s}$, $f=\dfrac{5}{2\pi}=\dfrac{1}{0.4\pi}\,\mathrm{Hz}$
이때 병렬부는 4 Ω만 남으므로 $I_m=\dfrac{100}{1+4}=20\,\mathrm{A}$

• $\dfrac{1}{0.4\pi}$와 100 A 조합은 1 Ω만으로 전류를 구한 최대 전류 쪽 값이다.
• $\dfrac{1}{0.2\pi}$와 20 A 조합은 각주파수를 주파수로 바꿀 때 2π 대신 π로 나눈 오류다.
• $\dfrac{1}{0.2\pi}$와 10 A 조합은 주파수와 진폭이 모두 맞지 않는다.

부하를 1차로 환산하면 1 Ω이므로 부하 평균전력은 2.5 kW이다.

1차 환산 저항: $R_L'=\dfrac{R_L}{a^2}=\dfrac{100}{10^2}=1\,\mathrm{\Omega}$
1차 전류: $I_1=\dfrac{100}{1+1}=50\,\mathrm{A}$
전력: $P=I_1^2R_L'=50^2\times1=2500\,\mathrm{W}$

이상변압기는 손실이 없어 1차 환산 저항의 전력이 곧 $R_{L}$의 전력이며, 점 극성은 전력 크기에 영향을 주지 않는다.

• 5 kW는 전원 공급 전력(1 Ω 손실 포함)이다.
• 10 kW는 1 Ω을 무시하고 100 V를 그대로 1 Ω에 건 값이다.
• 7.5 kW는 회로 관계에서 나오지 않는 값이다.