09년 1회차

발전기 A의 분담전류는 60 A이다.

병렬운전 중인 두 발전기는 단자전압이 같다: $E_A - I_A R_A = E_B - I_B R_B$, $I_A + I_B = 100$.

$113.2 - 0.12 I_A = 110 - 0.1(100 - I_A)$
$13.2 = 0.22 I_A \;\Rightarrow\; I_A = 60\ \mathrm{A}$

• 40 A는 B가 분담하는 전류다.
• 30 A·70 A를 넣으면 두 발전기의 단자전압이 서로 달라진다.

필요한 동기조상기 용량은 약 3,500 kVA에 가장 가깝다.

역률을 1로 하려면 부하의 지상 무효전력 전부를 동기조상기가 공급해야 한다.

$S = \sqrt{3} \times 3300 \times 1000 \approx 5716\ \mathrm{kVA}$
$Q = S \sin\theta = 5716 \times 0.6 \approx 3430\ \mathrm{kVA}$

• 약 3,150 kVA는 계산값 약 3,430 kVA와 차이가 더 크다.
• 약 315·약 350 kVA는 자릿수가 한 단계 작다.

전압변동률이 최대가 되는 부하역률은 50 %이다.

전압변동률 $\varepsilon = p\cos\theta + q\sin\theta$는 cosθ = p/z일 때 최대가 된다.

$p = \dfrac{100}{10000} \times 100 = 1\ \%,\quad z = \dfrac{66}{3300} \times 100 = 2\ \%$
$\cos\theta = \dfrac{1}{2} = 0.5$

• 87 %는 q/z = √3/2로, 사인과 코사인을 바꿔 쓴 값이다.
• 71 %·58 %는 p/z = 1/2와 맞지 않는다.

2차 전압은 66 V, 슬립 주파수는 18 Hz이다.

운전 중 2차 전압과 주파수는 모두 정지 시 값의 s배다.

$N_s = \dfrac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm},\quad s = \dfrac{1800 - 1260}{1800} = 0.3$
$E_{2s} = 0.3 \times 220 = 66\ \mathrm{V},\quad f_{2s} = 0.3 \times 60 = 18\ \mathrm{Hz}$

• 22 V·6 Hz는 슬립을 0.1로 본 값이다.
• 110 V·30 Hz는 슬립을 0.5로 본 값이다.

직류측 평균전압은 135 V이다.

3상 사이리스터 브리지(전류 연속)의 평균전압은 $\mathrm{V}_{d}$ = (3√2/π)$\mathrm{V}_{L}$ cosα ≒ 1.35$\mathrm{V}_{L}$ cosα이다.

$V_d = 1.35 \times 200 \times \cos\dfrac{\pi}{3} = 1.35 \times 200 \times 0.5 = 135\ \mathrm{V}$

제어각이 0이면 270 V이고, π/3에서 그 절반이 된다.

필요한 여자전류는 35/6 A이다.

포화를 무시하면 자속은 여자전류에 비례하므로 E ∝ $\mathrm{I}_{f}$·N이다.

$I_f' = 4 \times \dfrac{140}{120} \times \dfrac{800}{640} = 4 \times \dfrac{7}{6} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{35}{6}\ \mathrm{A}$

• 6/35 A는 결과의 역수다.
• 14/3 A는 속도 감소(800 → 640 rpm)를 반영하지 않은 값이다.

단락비는 1.2이다.

단락비는 무부하 정격전압을 내는 여자전류에서의 3상 단락전류 ÷ 정격전류이다. 여자전류 300 A에서 무부하 단자전압이 정격전압 6,000 V이므로 이때의 단락전류 600 A를 쓴다.

$I_n = \dfrac{3000\sqrt{3} \times 10^3}{\sqrt{3} \times 6000} = 500\ \mathrm{A}$
$K_s = \dfrac{600}{500} = 1.2$

• 0.83은 정격전류를 단락전류로 나눈 역수다.
• 1.0·1.25는 단락전류 600 A와 정격전류 500 A의 비가 아니다.

1차 단락전류는 750 A이다.

단락전류는 $\mathrm{I}_{s}$ = (100/%Z)·$\mathrm{I}_{n}$이다.

$I_{1n} = \dfrac{60000}{4000} = 15\ \mathrm{A}$
$I_{1s} = \dfrac{100}{2} \times 15 = 750\ \mathrm{A}$

2차 정격전류(300 A)를 쓰면 2차 단락전류 15,000 A가 나오므로, 1차 단락전류는 1차 정격전류를 기준으로 구한다.

슬립은 s = $\mathrm{P}_{c2}$/($\mathrm{P}_{0}$ + $\mathrm{P}_{c2}$)이다.

기계손을 무시하면 2차 입력은 출력과 2차 동손의 합 $P_2 = P_0 + P_{c2}$이고, $\mathrm{P}_{c2}$ = s$\mathrm{P}_{2}$이다.

$s = \dfrac{P_{c2}}{P_2} = \dfrac{P_{c2}}{P_0 + P_{c2}}$

• 2차 동손을 출력으로 나눈 식은 분모에 2차 동손이 빠져 2차 입력이 아니다.
• 출력을 2차 동손으로 나눈 식은 (1−s)/s에 해당한다.
• 출력에서 2차 동손을 뺀 값을 분모로 쓴 식은 2차 입력 관계와 맞지 않는다.

회생제동으로 회수되는 전력은 약 1 kW이다.

하중이 일정 속도로 내려가므로 중력이 하는 일률 P = mgv가 전동기(발전기 동작)로 되돌아온다. 그림처럼 회전방향과 토크방향이 반대라 전동기는 발전 제동 상태다.

$P = 612 \times 9.8 \times \dfrac{10}{60} \approx 999.6\ \mathrm{W} \approx 1\ \mathrm{kW}$

• 약 6.12 kW는 중력가속도와 분 → 초 환산을 모두 빠뜨린 값(612 × 10)이다.
• 약 10·약 61.2 kW는 속도 단위 환산을 잘못한 값이다.

필요한 전력은 정격전력의 1.44배이다.

출력은 P = ωT로 속도와 토크의 곱이다.

$\dfrac{P'}{P} = 1.2 \times 1.2 = 1.44$

• 1.2배는 속도나 토크 중 하나만 반영한 값이다.
• 2.4배는 두 배율을 곱하지 않고 더한 값이다.

최대 효율이 되는 부하는 200 VA이다.

최대 효율은 철손 = 동손일 때이고, 동손은 부하의 제곱에 비례한다.

$m = \sqrt{\dfrac{P_i}{P_c}} = \sqrt{\dfrac{6}{24}} = \dfrac{1}{2}$
$400 \times \dfrac{1}{2} = 200\ \mathrm{VA}$

• 100 VA는 손실비 1/4을 제곱근 없이 그대로 곱한 값이다.
• 400/√2 VA는 부하율 1/√2로, 손실비와 무관하다.

회전수는 1,620 rpm이 된다.

비례추이에 따라 같은 토크에서 슬립은 2차 저항에 비례한다.

$N_s = 1800\ \mathrm{rpm},\quad s = \dfrac{1800 - 1728}{1800} = 0.04$
$s' = 2.5 \times 0.04 = 0.1,\quad N' = 0.9 \times 1800 = 1620\ \mathrm{rpm}$

• 1,728 rpm은 저항을 바꾸기 전의 속도다.
• 1,530·1,710 rpm은 슬립이 각각 0.15·0.05일 때의 속도다.

최소 스위칭 주파수는 500 Hz이다.

승압형 초퍼에서 스위치가 켜진 DT 동안 커패시터 혼자 부하전류를 공급하므로 출력 맥동은 Δ$\mathrm{V}_{o}$/$\mathrm{V}_{o}$ = D/(RCf)이다.

$f = \dfrac{D}{RC \times 0.04} = \dfrac{0.4}{2 \times 0.01 \times 0.04} = 500\ \mathrm{Hz}$

1,250·750·625 Hz는 모두 500 Hz보다 높아 맥동이 4 % 미만이 되므로 조건은 만족하지만 최소 주파수는 아니다.

전기자 저항은 0.4 Ω이다.

분권발전기는 $\mathrm{I}_{a}$ = I + $\mathrm{I}_{f}$이고 E = V + $\mathrm{I}_{a}$$\mathrm{R}_{a}$이다.

$I_a = 46 + 4 = 50\ \mathrm{A}$
$R_a = \dfrac{240 - 220}{50} = 0.4\ \mathrm{\Omega}$

• 0.43 Ω은 계자전류를 더하지 않고 부하전류 46 A만으로 나눈 값이다.
• 2.5·2.3 Ω은 전압차 20 V를 전기자전류 50 A로 나눈 값과 맞지 않는다.

동기화력은 450 kW/rad이다.

두 발전기 기전력 사이에 위상차 δ가 있을 때 동기화력은 $\mathrm{P}_{s}$ = ($E^{2}$/2$\mathrm{X}_{s}$)cosδ이다.

$P_s = \dfrac{3000^2}{2 \times 5} \times \cos 60^\circ = 900000 \times 0.5 = 450\ \mathrm{kW/rad}$

• 780 kW/rad는 cos 대신 sin 60°를 곱한 값(수수전력에 해당)이다.
• 600·260 kW/rad는 이 식에서 나오지 않는다.

입력은 1.5 kW이다.

이상변압기는 손실이 없으므로 입력 = 출력이고, 전등부하는 역률 1이다.

$V_2 = \dfrac{3000}{20} = 150\ \mathrm{V}$
$P = 150 \times 10 = 1500\ \mathrm{W}$

• 0.5 kW·1.0 kW는 2차 전압을 잘못 구한 값이다.
• 10 A를 1차 전류로 보면 30 kW가 되어 보기와 맞지 않으므로 2차 부하전류다.

기동토크는 전부하 토크의 0.8배이다.

유도전동기 토크는 전압의 제곱에 비례한다.

$T_s' = 1.6 \times \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1.6 \times \dfrac{1}{2} = 0.8$

• 1.6/√2배는 전압에 1차 비례한다고 본 값이다.
• 1.6√2배·3.2배는 전압을 낮췄는데 토크가 커진 값이다.

정격토크는 250 N·m이다.

T = P/ω, ω = 2πN/60이다.

$\omega = \dfrac{2 \times 3.14 \times 1200}{60} = 125.6\ \mathrm{rad/s}$
$T = \dfrac{31400}{125.6} = 250\ \mathrm{N\cdot m}$

정격전압 300 V는 토크 계산에 쓰이지 않는다.

인덕터 전류의 최댓값은 1.5 A이다.

벅 컨버터의 인덕터 평균전류는 부하전류와 같고, 최댓값은 평균 + 리플/2이다.

$V_o = DV_s = 0.4 \times 60 = 24\ \mathrm{V},\quad I_L = \dfrac{24}{24} = 1\ \mathrm{A}$
$\Delta I_L = \dfrac{(V_s - V_o)D}{Lf} = \dfrac{36 \times 0.4}{600 \times 10^{-6} \times 24000} = 1\ \mathrm{A}$
$I_{max} = 1 + \dfrac{1}{2} = 1.5\ \mathrm{A}$

• 1.0 A는 평균전류로, 리플을 반영하지 않았다.
• 2.0 A는 리플 전체를 평균에 더한 값이다.